滑動(dòng)模態(tài)的吸引區(qū)域?qū)嵸|(zhì)是保證到達(dá)條件成立的區(qū)域。對(duì)于確定性系統(tǒng)可以采用前述方法確定系統(tǒng)的吸引區(qū)域。對(duì)于含有不確定性的系統(tǒng)，需要對(duì)滑動(dòng)模態(tài)的吸引區(qū)域進(jìn)行估計(jì)［106，130～132］。同理，為了保證單向收斂條件的成立，可以對(duì)系統(tǒng)初始狀態(tài)的范圍進(jìn)行限定，即確定系統(tǒng)的單向收斂區(qū)域。

1.重新確定吸引區(qū)域

在控制受限情況下，由傳統(tǒng)到達(dá)條件可以確定系統(tǒng)的吸引區(qū)域，但是出發(fā)于該吸引區(qū)域的系統(tǒng)狀態(tài)未必能到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)。為此，文獻(xiàn)［133］針對(duì)式（5.1）～（5.2）組成的系統(tǒng)，提出了一種新的到達(dá)條件，重新確定了系統(tǒng)的吸引區(qū)域Ω。

根據(jù)上述介紹，系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)在滑模面上的邊界點(diǎn)為A（－k／w，ck／w），B（k／w，－ck／w），其中w=a1－a2 c－c2。

新的到達(dá)條件為

其中，

對(duì)于式（5.1）～（5.3）組成的系統(tǒng)，由式（5.11）確定的吸引區(qū)域Ω如圖36所示。若式（5.2）中c=1時(shí)，系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)存在區(qū)域?yàn)锳B，吸引區(qū)域?yàn)锳CEBDF，上述各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－1，1），（－1，0），（0.5，－1.5），（1，－1），（1，0），（－0.5，1.5）。若式（5.2）中c=0.5時(shí)，系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)存在區(qū)域?yàn)锳’B’，吸引區(qū)域?yàn)锳’C’E’B’D’F’，各點(diǎn)坐標(biāo)分別為（－1.6，0.8），（－1.6，0），（1.28，－1.44），（1.6，－0.8），（1.6，0），（－1.28，1. 44）。對(duì)于上述5.2節(jié)例1，data1與data2兩種初始狀態(tài)均位于ACEBDF內(nèi)。但從仿真結(jié)果可知，出發(fā)于式（5.11）所確定的吸引區(qū)域的狀態(tài)軌線，其收斂過(guò)程未必單向收斂。

圖36　新吸引區(qū)域Ω

2.單向收斂區(qū)域確定

因?yàn)棣=d－c，根據(jù)式（5.1）得

式（5.8）可分段描述為：

當(dāng)Δd＞0時(shí)，要求d·＜0，所以

當(dāng)Δd＜0時(shí)，要求＞0，所以

式（5.12），（5.13）所描述的區(qū)域可表示為Ω1，該區(qū)域能保證d單調(diào)收斂到滑模面。對(duì)于上述例子，即a1=－1，a2=0，k=2，式（5.12）、（5.13）可分別表示為：

當(dāng)Δd＞0時(shí)，＜0，所以

當(dāng)Δd＜0時(shí)，·d＞0，所以

給定任意c，式（5.14），（5.15）所表示的區(qū)域Ω1如圖37所示，深色陰影區(qū)代表Δd＞0的情況，淺色陰影區(qū)域代表Δd＜0的情況。

式（5.11）確定的滑動(dòng)模態(tài)吸引區(qū)域Ω可保證系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模，但不能保證單向收斂。由式（5.12），（5.13）確定的區(qū)域Ω1可保證d單調(diào)收斂到c，但到達(dá)滑模面上的區(qū)域未必是滑動(dòng)模態(tài)。所以，單向收斂區(qū)域Ωs為Ω與Ω1的交集，即Ωs=Ω∩Ω{} 1。對(duì)于上述例子，圖36和圖37的交集即為單向收斂區(qū)域，如圖38所示。當(dāng)c=1時(shí)，單向收斂區(qū)域?yàn)锳CO（x1＜0）+BDO（x1＞0）。當(dāng)c=0.5時(shí)，單向收斂區(qū)域?yàn)锳’C’O（x1＜0）+B’D’O（x1＞0）。

圖37　由單向收斂條件確定區(qū)域Ω1

圖38　單向收斂區(qū)域Ωs

單向收斂區(qū)域提供了一個(gè)保證x1單向收斂到滑動(dòng)模態(tài)的初始狀態(tài)范圍。若系統(tǒng)初始狀態(tài)在該區(qū)域內(nèi)，x1必定能單向收斂。若系統(tǒng)初始狀態(tài)不在該區(qū)域內(nèi)，在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，系統(tǒng)狀態(tài)也可能進(jìn)入單向收斂區(qū)域并實(shí)現(xiàn)單向收斂。所以，系統(tǒng)初始狀態(tài)位于單向收斂區(qū)域是單向收斂的充分條件，而不是必要條件。

上述單向收斂條件和單向收斂區(qū)域僅適于系統(tǒng)初始狀態(tài)位于相平面二、四象限的情況，當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于相平面一、三象限時(shí)，需要重新確定單向收斂條件和單向收斂區(qū)域。在交會(huì)對(duì)接系統(tǒng)中，若出現(xiàn)距離和速率同號(hào)的情況（位于相平面的一、三象限），控制過(guò)程總是先使速度值減小，而后再使速度變號(hào)（進(jìn)入二、四象限），以實(shí)現(xiàn)距離減小的目的。所以，上述適于初始狀態(tài)位于相平面二、四象限的研究可以滿足應(yīng)用需求。