有效數(shù)字和試驗結果的表示_試驗設計與統(tǒng)計分

由于Δx可正可負，因此可進一步轉化為

或

由此可得

試驗時真值往往是未知的，因此絕對誤差也無法計算出來。但是在實驗中，可依據所使用儀器的精確度，或根據實驗數(shù)據進一步通過合理的統(tǒng)計分析方法對絕對誤差的大小進行估算和預測。

2）相對誤差

絕對誤差對于相同或相似的試驗可以反映試驗值的準確程度，而對于不同的試驗有時就無法反映試驗值的準確程度。例如，測量大象的體重時出現(xiàn)幾千克的絕對誤差是正常的，反之測量一個螞蟻的體重要出現(xiàn)幾千克的絕對誤差是無法想象的。因此，為了判斷試驗值的準確性，必須考慮試驗值本身的大小，故引出了相對誤差（relative error），即

即

式中　E r——相對誤差；

Δx——絕對誤差；

x t——真值。

由式（3.8）可知，相對誤差能更準確地表達試驗值的準確程度。

3）標準誤差

標準誤差（standard error）也稱為均方根誤差（mean?root square error）、標準偏差（standard discrepancy），或簡稱為標準差（standard deviation），總體方差用希臘字母σ表示。其計算方法為

在試驗中，參數(shù)往往是未知的，對于樣本（sample）來說，其標準誤差用拉丁字母s來表示。其計算方法為

標準差不僅與資料值中每一個數(shù)據有關，而且能明顯地反映出較大的個別誤差。標準誤差在實驗數(shù)據分析中有很高的利用頻率，通常被用來表示試驗值的精密度。標準誤差越小，則試驗數(shù)據的精密度越高。

3.2.2　誤差的來源

實驗誤差根據其性質或產生的原因，可分為隨機誤差（chance error）、系統(tǒng)誤差（systematic error）和過失誤差（mistake error）。

1）隨機誤差

隨機誤差是指在一定試驗條件下，由于受偶然因素的影響而產生的試驗誤差，如氣溫的微小波動、電壓的波動、原材料質量的微小差異、儀器的輕微振動等。這些影響實驗結果的偶然因素是試驗者無法嚴格控制的，因此，試驗時隨機誤差是無法避免的。試驗者只能在試驗時通過實驗設計控制誤差，進一步通過合理的統(tǒng)計分析方法估算誤差。

隨機誤差是無法預知的，同一個試驗多個重復或重復同一試驗，各觀察值或試驗結果之間絕對誤差時正時負，絕對誤差的絕對值時大時小。隨機誤差值的出現(xiàn)頻率一般具有統(tǒng)計規(guī)律，即一般服從正態(tài)分布，絕對值小的誤差值出現(xiàn)的幾率高，而絕對值大的誤差值出現(xiàn)的幾率低，且絕對值相等的正負誤差值出現(xiàn)的幾率近似相等，故當試驗次數(shù)較多時，由于正負誤差值的相互抵消，隨機誤差的平均值趨向于零。因此，試驗時為了提高試驗的準確度，減小誤差，可增加試驗次數(shù)，或者增加重復次數(shù)。

2）系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是指在一定試驗條件下，由某個或某些因素按某一確定的規(guī)律起作用而產生的誤差。

系統(tǒng)誤差產生的原因是多方面的，可能來自儀器（如砝碼生銹，皮尺因受力變長等），可能來自操作不當，也可來自個人的主觀因素（如讀取液面刻度或尺子刻度時的視角等），還可能來自試驗方法本身的不完善等。

系統(tǒng)誤差的大小及其符號在同一試驗中基本上是恒定的，或者隨試驗條件的改變系統(tǒng)誤差隨某一確定的規(guī)律變化，試驗條件一旦確定，系統(tǒng)誤差就是客觀存在的恒定值。

系統(tǒng)誤差不能通過多次試驗被發(fā)現(xiàn)，也不能通過多次試驗取平均值而減小。但只要對系統(tǒng)誤差產生的原因有了充分的認識，就可對它進行校正或設法消除。

3）過失誤差

過失誤差主要是由于實驗人員的粗心大意或失誤造成的差錯。過失誤差是顯然與事實不符的誤差，沒有一定的規(guī)律，如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤或操作失誤等。要避免過失誤差，就要求實驗者加強工作責任心。

【相關鏈接】

誤差產生的相關因素

（1）人為因素

由于人為因素所造成的誤差，包括誤讀、誤算和視差等。而誤讀常發(fā)生在游標尺、分厘卡等量具。游標尺刻度易造成誤讀一個最小讀數(shù)，如在10.00 mm處常誤讀成10.02 mm或9.98 mm。分厘卡刻度易造成誤讀一個螺距的大小，如在10.20 mm處常誤讀成10.70 mm或9.70 mm。誤算常在計算錯誤或輸入錯誤數(shù)據時所發(fā)生。視差常在讀取測量值的方向不同或刻度面不在同一平面時所發(fā)生，兩刻度面相差為0.3～0.4 mm，若讀取尺寸在非垂直于刻度面時，即會產生視差的誤差量。為了消除此誤差，制造量具的廠商將游尺的刻劃設計成與本尺的刻劃等高或接近等高，游尺為凹V形且本尺為凸V形，因此形成兩刻劃等高。

（2）量具因素

由于量具因素所造成的誤差，包括刻度誤差、磨耗誤差及使用前未經校正等因素。刻度分劃是否準確，必須經由較精密的儀器來校正與追溯。量具使用一段時間后會產生相當程度磨耗，因此必須經校正或送修方能再使用。

（3）環(huán)境因素

測量時，由于受環(huán)境或場地的不同，可能造成的誤差以熱變形誤差和隨機誤差為最顯著。熱變形誤差通常發(fā)生于因室溫、人體接觸及加工后工件溫度等情形下，因此必須在溫濕度控制下，不可用手接觸工件及量具，工件加工待冷卻后才測量。但為了縮短加工時間在加工中需實時測量，因此必須考慮各種材料的熱脹系數(shù)作為補償，以避免因溫度材料的熱膨脹系數(shù)不同所造成的誤差。

反思與練習

1.絕對誤差、相對誤差、標準誤差的概念及計算方法是什么？

2.誤差根據其性質或產生的原因可分為哪幾種？

3.何為系統(tǒng)誤差和隨機誤差？想一想在實驗室如何控制實驗誤差。

任務3.3　試驗數(shù)據的精準度

實驗過程中的誤差是無法消除的，這個誤差可能是由系統(tǒng)誤差產生的，或由隨機誤差造成的，也有可能是兩者疊加造成的。為了更好地將它們加以區(qū)分，則引出精密度、正確度和準確度3個能表示誤差性質的術語。

3.3.1　精密度

精密度（precision）是指在一定條件下多次試驗，或同一試驗多次重復的彼此符合程度或一致程度，它可以反映隨機誤差大小的程度。精密度的概念與重復試驗時單次試驗值的變動性有關，如果試驗數(shù)據的分散程度較小，則說明是精密的。如甲乙兩人各做5次同一個試驗，所得的數(shù)據如下：

甲：8.5，8.6，8.5，8.4，8.5

乙：8.2，8.4，8.7，8.5，8.9

很顯然，甲的試驗數(shù)據彼此符合程度優(yōu)于乙的數(shù)據，故甲試驗員的試驗結果精密度較高。

由于精密度反映了隨機誤差的大小，因此對于無系統(tǒng)誤差的試驗，可通過增加試驗次數(shù)而達到提高試驗精密度的目的。如果試驗足夠精密，則只需少量幾次重復就能滿足要求。

1）極差（range）

極差是指一組實驗數(shù)據中最大值與最小值之間的差值，即

R＝x max－x min

由于極差僅僅利用了最大和最小兩個試驗值，因此無法精確反映隨機誤差的大小。但是，由于它計算方便，在快速檢驗中仍然得到了廣泛的應用。

【相關鏈接】

極差用途和意義

在統(tǒng)計中，常用極差來刻畫一組數(shù)據的離散程度，以及反映變量分布的變異范圍和離散幅度。在總體中，任何兩個單位的標準值之差都不能超過極差。同時，它能體現(xiàn)一組數(shù)據波動的范圍。極差越大，離散程度越大；反之，離散程度越小。

極差只指明了測定值的最大離散范圍，而未能利用全部測量值的信息，不能細致地反映測量值彼此相符合的程度。極差是總體標準偏差的有偏估計值，當乘以校正系數(shù)之后，可作為總體標準偏差的無偏估計值。它的優(yōu)點是計算簡單，含義直觀，運用方便，故在數(shù)據統(tǒng)計處理中仍有相當廣泛的應用。但是，它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況，同時易受極端值的影響。

2）標準差

若隨機誤差服從正態(tài)分布，則可用標準差來反映隨機誤差的大小?？傮w標準差用σ表示，而樣本方差用拉丁字母s表示，σ或s可由式（3.9）或式（3.10）計算獲得。

標準差可以較好地反映試驗值的精密程度，σ或s越小，實驗數(shù)據的分散程度越小，試驗的精密度越高，隨機誤差越小，則試驗數(shù)據的正態(tài)分布曲線越尖。

3）方差

方差是各個數(shù)據與平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)。這里就是標準差的平方，可用σ2（總體方差）和s2（樣本方差）表示。顯然，方差與標準差一樣可反映試驗的精密程度，即可以反映隨機誤差的大小。

3.3.2　正確度

正確度是指大量測試結果的（算術）平均數(shù)與真值或接受參照值之間的一致程度。它反映了系統(tǒng)誤差的大小，是指在一定試驗條件下，所有系統(tǒng)誤差的綜合。

由于精密度與正確度的高低反映了不同的誤差性質、來源，因此試驗的精密度高，正確度不一定高；反之，試驗的精密度不高，也不能得到正確度不高的結論。如圖3.1所示很好地說明了精密度與正確度的關系。

圖3.1　精密度與正確度的關系

3.3.3　準確度

準確度（accuracy）是系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合反映。它表示了試驗結果與真值或標準值之間相接近的程度。

圖3.2　無系統(tǒng)誤差的試驗

圖3.3　有系統(tǒng)誤差的試驗

圖3.2中，A，B，C 3個試驗均無系統(tǒng)誤差，實驗誤差均來自隨機誤差，試驗結果服從正態(tài)分布，且對應著同一個真值，即A，B，C 3個試驗的正確度相同，而3個試驗的精密度則依次下降。圖3.3中，由于試驗存在系統(tǒng)誤差，A?，B?，C?3個試驗的極限平均值均與真值不符，但綜合試驗的正確度與精確度可能多數(shù)情況下A?試驗的準確度還是要高于B試驗和C試驗的準確度。

反思與練習

1.精密度、正確度和準確度的概念及意義是什么？

2.極差、標準差和方差的概念及意義是什么？

任務3.4　有效數(shù)字和試驗結果的表示

3.4.1　有效數(shù)字

在測量結果的數(shù)字表示中，由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字便構成了有效數(shù)字。試驗數(shù)據總是以一定位數(shù)的數(shù)字表示出來，這些數(shù)字都是有效數(shù)字，而有效數(shù)字的末位數(shù)字往往是估計出來的，具有一定的誤差。例如，用量筒測量出試驗液體的體積為35.55 cm3，共有4位有效數(shù)字，其中，35.5是由量筒的刻度讀出的，是準確的，而最后一位“5”則是估計出來的，是存在可疑成分的或欠準確的。

有效數(shù)字的位數(shù)可反映實驗的精度或表示所用實驗儀器的精度，因此不能隨意多寫或少寫。若多寫一位，則該數(shù)據不真實、不可靠：若少寫一位，則損失了實驗精度，實驗結果同樣不可靠，更是對高精儀器和時間的浪費。

小數(shù)點的位置不影響數(shù)據中有效數(shù)字的位數(shù)。例如，120 cm3，10.0 cm3兩個數(shù)據的準確度是相同的，它們有效數(shù)字的位數(shù)都為3。

數(shù)字0在非0數(shù)字之間或末尾為有效數(shù)字，第一個非零數(shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字。例如，12 cm3和12.00 cm3并不等價，前者有效數(shù)字為兩位，后者是4位有效數(shù)字。它們是由精密程度不同的儀器測量獲得的。因此在記錄測量數(shù)據時不能隨便省略末位的0。

3.4.2　有效數(shù)字的運算

在實驗數(shù)據的整理或者數(shù)據分析過程中，總是要涉及有效數(shù)字的運算，有效數(shù)字的運算類型有以下7種：

1）加、減運算

加減法運算后的有效數(shù)字，取到參與運算各數(shù)中最靠前出現(xiàn)可疑數(shù)的那一位。例如，12.6＋8.46＋0.008計算方法為

計算結果應為21.1。

2）乘、除運算

在乘除運算中，乘積和商的有效數(shù)位數(shù)以參與運算各數(shù)中有效位數(shù)最少的為準。例如，12.6×2.21的有效數(shù)字為27.8。

3）乘方、開方運算

乘方、開方運算結果有效數(shù)字的位數(shù)應與其底數(shù)的相同。例如， 5.8＝2.408 3，其有效數(shù)字為2.4；而3.42＝11.56，其有效數(shù)字為11.6。

4）對數(shù)運算

對數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與其真數(shù)的相同。例如，ln 2.84＝1.043 8，其有效值為1.04。

5）自然數(shù)的有效數(shù)字

自然數(shù)不是測量值，不存在誤差，故有效數(shù)字為無窮位。

6）常數(shù)的有效數(shù)字

常數(shù)π，e等的位數(shù)可與參與運算的量中有效數(shù)字最少的位數(shù)相同或多取一位。

7）一般實驗中有效數(shù)字的取位

一般實驗中，有效數(shù)字取2～3位有效數(shù)字就可滿足試驗對精確度的要求。只有實驗對精確度要求特別高時，才取4位有效數(shù)字。

從有效數(shù)字的運算可知，每一個中間數(shù)據對實驗結果的影響程度是不同的，精度低的數(shù)據對結果的影響較大。因此，在實驗中應盡量選用精度一致的儀器和儀表，一兩個高精度的儀器儀表無助于提高整個實驗的精度。

3.4.3　有效數(shù)字的修約規(guī)則

對某一表示實驗結果的數(shù)值（擬修約數(shù)）根據保留位數(shù)的要求，將多余的數(shù)字進行取舍，按照一定的規(guī)則，選取一個近似數(shù)（修約數(shù)）來代替原來的數(shù)，這一過程稱為數(shù)值修約。有效數(shù)字的修約規(guī)則有以下3種：

①擬舍棄數(shù)字的最左一位小于5，則舍棄，即保留的個位數(shù)不變。例如，53.442 3修約到小數(shù)點后一位為53.4，將4.234 8修約到小數(shù)點后兩位為4.23。

②擬舍棄數(shù)字的最左一位大于或等于5，且其后跟有非0數(shù)值時，則進1，即保留的末位數(shù)加1。例如將1 578修約到保留兩位有效數(shù)字為16×102；將10.50修約到保留兩位有效數(shù)字為11。

③擬舍棄數(shù)字的最左一位等于5，且其右無數(shù)字或皆為0時，若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)（1，3，5，7，9）則進1，為偶數(shù)（2，4，6，8，0）則舍棄。例如，將13.50修約到保留兩位有效數(shù)字為14；將18.50修約到保留兩位有效數(shù)字為18。

需要注意的是，若有多位要舍去，不能從最后一位開始進行連續(xù)的取舍，而是以擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字作為取舍的標準。

【相關鏈接】

有效數(shù)字中“0”的意義

“0”在有效數(shù)字中有兩種意義：一種是作為數(shù)字定值；另一種是有效數(shù)字。例如，在分析天平上稱量物質，得到以下質量：

以上數(shù)據中“0”所起的作用是不同的。在10.143 0中兩個“0”都是有效數(shù)字，因此它有6位有效數(shù)字。在2.104 5中的“0”也是有效數(shù)字，因此它有5位有效數(shù)字。在0.2104中，小數(shù)點前面的“0”是定值用的，不是有效數(shù)字，而在數(shù)據中的“0”是有效數(shù)字，因此它有4位有效數(shù)字。在0.012 0中，“1”前面的兩個“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效數(shù)字，因此它有3位有效數(shù)字。

綜上所述，數(shù)字中間的“0”和末尾的“0”都是有效數(shù)字，而數(shù)字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”結尾的正整數(shù)，有效數(shù)字的位數(shù)不確定。例如，4 500這個數(shù)就不能確定是幾位有效數(shù)字，可能為2位或3位，也可能是4位。遇到這種情況，應根據實際有效數(shù)字書寫為：

4.5×103　2位有效數(shù)字。

4.50×103　3位有效數(shù)字。

4.500×103　4位有效數(shù)字。

因此很大或很小的數(shù)，常用10的乘方表示。當有效數(shù)字確定后，在書寫時一般只保留一位可疑數(shù)字，多余數(shù)字按數(shù)字修約規(guī)則處理。

對于滴定管、移液管和吸量管，它們都能準確測量溶液體積到0.01 mL。因此，當用50 mL滴定管測定溶液體積時，如測量體積大于10 mL小于50 mL時，應記錄為4位有效數(shù)字，如寫成24.22 mL；如測定體積小于10 mL，應記錄3位有效數(shù)字，如寫成8.13 mL。當用25 mL移液管移取溶液時，應記錄為25.00 mL。當用5 mL吸量管吸取溶液時，應記錄為5.00 mL。當用250mL容量瓶配制溶液時，所配溶液體積應記錄為250.0mL。當用50mL容量瓶配制溶液時，應記錄為50.00 mL。

總而言之，測量結果所記錄的數(shù)字，應與所用儀器測量的準確度相適應。

反思與練習

1.何為有效數(shù)字？自己出題練習有效數(shù)字的運算。

2.有效數(shù)字的修約規(guī)則是什么？