流體可以看做是由無限多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)介質(zhì)，而流體流動(dòng)就是這些眾多的流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間和空間的運(yùn)動(dòng)過程。因此，在研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)就存在一個(gè)如何描述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的問題。有兩類描述流體運(yùn)動(dòng)的方法，即拉格朗日法和歐拉法。

4．1．1　拉格朗日法

拉格朗日法是以流體質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，通過觀察每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以得到整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這種方法類似于理論力學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的方法，也稱為質(zhì)點(diǎn)系法。

一般以質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻所處位置的空間坐標(biāo)a，b，c作為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)。不同的流體質(zhì)點(diǎn)有不同的a，b，c值。這樣，對(duì)于一流體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻所處某位置的空間坐標(biāo)為

式中a，b，c和t統(tǒng)稱為拉格朗日變數(shù)，或拉格朗日變量。式(4-1)給出了流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。當(dāng)固定a，b，c時(shí)，式(4-1)則表示某指定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;當(dāng)固定t時(shí)，式(4-1)則表示t時(shí)刻各流體質(zhì)點(diǎn)所處的位置。

根據(jù)拉格朗日變數(shù)的定義，任一流體質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度u、加速度a，可以從式(4-1)分別對(duì)時(shí)間取一階偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)得到

式中ux、uy、uz和ax、ay、az分別為速度u和加速度a在x、y、z坐標(biāo)方向的分量。

拉格朗日法以流體質(zhì)點(diǎn)為中心，描述流體的運(yùn)動(dòng)，其物理概念明確。但由于每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是復(fù)雜的，要全面跟蹤眾多的流體質(zhì)點(diǎn)來描述整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在數(shù)學(xué)上是困難的。因而在流體力學(xué)的數(shù)學(xué)表述中，除個(gè)別運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(如波浪運(yùn)動(dòng))外，一般不采用拉格朗日法，而是采用下面所述的歐拉法來描述流體的運(yùn)動(dòng)。但拉格朗日法作為描述流體運(yùn)動(dòng)的方法，將體現(xiàn)在流體力學(xué)方程的敘述和推導(dǎo)中。

4．1．2　歐拉法

歐拉法是以觀察不同的流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過各固定的空間點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，來了解流體在整個(gè)空間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。流體的運(yùn)動(dòng)是在一定的空間中進(jìn)行的，這個(gè)被流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)的空間稱為流場(chǎng)。歐拉法關(guān)注的是流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況和有關(guān)運(yùn)動(dòng)要素的分布狀況，所以也稱為空間點(diǎn)法。

用歐拉法觀測(cè)分析流場(chǎng)，首先觀測(cè)的是在某具體空間點(diǎn)x，y，z處流體的流速、壓強(qiáng)等運(yùn)動(dòng)要素，以及這些運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間、空間的連續(xù)變化。這時(shí)，流速、壓強(qiáng)等運(yùn)動(dòng)要素可以表述為

式中x，y，z和t統(tǒng)稱為歐拉變數(shù)，或歐拉變量。在上式中，若令x，y，z不變，t變化，則為某一固定空間點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)所表現(xiàn)的流速等運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間的變化;若令t不變，x，y，z變化，則為同一時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)所表現(xiàn)的流速等運(yùn)動(dòng)要素在不同空間點(diǎn)處的分布情況，也稱為流速場(chǎng)、壓強(qiáng)場(chǎng)等。

對(duì)于流場(chǎng)中某空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)加速度a，按照定義加速度a應(yīng)是流體質(zhì)點(diǎn)沿其運(yùn)動(dòng)軌跡在Δt時(shí)間內(nèi)流速產(chǎn)生的增量Δu，即。然而按歐拉法，對(duì)于某空間點(diǎn)A，在時(shí)刻t0時(shí)恰好有一流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到該空間點(diǎn)，又在Δt時(shí)段內(nèi)離開該空間點(diǎn)A沿其軌跡運(yùn)動(dòng)著，同時(shí)另有其他流體質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)到空間點(diǎn)A。上述分析有兩點(diǎn)啟示，Δt時(shí)段內(nèi)空間點(diǎn)A處的流速隨時(shí)間t在變化;經(jīng)過A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)本身所處的坐標(biāo)是隨著時(shí)間t在變化的。也就是說，流速u=u(x，y，z，t)在隨時(shí)間t變化時(shí)，坐標(biāo)x，y，z并不是常數(shù)，是時(shí)間t的函數(shù)，即流速u=u(x，y，z，t)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)。那么在求加速度a時(shí)，應(yīng)按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，即

式中dx，dy，dz為流體質(zhì)點(diǎn)在Δt時(shí)段內(nèi)沿其運(yùn)動(dòng)軌跡的微小位移在x、y、z坐標(biāo)軸上的投影，有

故由歐拉法表述的加速度表達(dá)式為

沿x、y、z坐標(biāo)軸的分量為

由式(4-7)、式(4-8)可見，歐拉法表述的加速度是由兩部分組成的，一部分為反映同一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時(shí)間變化率的當(dāng)?shù)丶铀俣?或稱時(shí)變加速度)，即右邊的第一項(xiàng)?u及?t其對(duì)應(yīng)投影項(xiàng);另一部分為同一時(shí)刻由于相鄰空間點(diǎn)上流速差所引起的遷移加速度(或稱位變加速度)，即右邊的后三項(xiàng)及其對(duì)應(yīng)投影項(xiàng)。

同理對(duì)于如壓強(qiáng)、溫度、密度等物理量，用歐拉法表述的對(duì)時(shí)間的變化率為

綜合式(4-7)～式(4-11)，可見均為流速u、壓強(qiáng)p等運(yùn)動(dòng)要素對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)，其中

或

類似于數(shù)學(xué)中的算子。在流體力學(xué)中，一般將某運(yùn)動(dòng)要素受算子作用的導(dǎo)數(shù)式稱為這一運(yùn)動(dòng)要素的隨體導(dǎo)數(shù)。如式(4-11)就是密度的隨體導(dǎo)數(shù)。