部分與整體

在一個(gè)大盒子里，裝著許多黑的和白的圍棋棋子，怎么才能知道哪種顏色的棋子多一些呢？一種辦法是分別數(shù)出它們的個(gè)數(shù)，進(jìn)行比較；另一種辦法是，每次同時(shí)取出一黑一白兩種棋子，一直取下去，如果最后只剩下某種顏色的棋子，就說(shuō)明這種顏色的棋子多，如果剛好取完，就說(shuō)明兩種顏色的棋子一樣多。

然而，如果那個(gè)大盒子里裝著無(wú)窮多個(gè)棋子，那就沒(méi)有辦法把兩種顏色的棋子分別數(shù)出來(lái)比較多少了，因?yàn)?，至少有一種顏色的棋子是無(wú)窮多的。但是后一種辦法卻仍然可以使用，如果取了若干次之后，盒子里只剩下某一種顏色的棋子，就可知道這種顏色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一個(gè)黑的，總能再拿出一個(gè)白的；拿出一個(gè)白的，也總能再拿出一個(gè)黑的，就說(shuō)明它們是同樣多的。

部分小于整體，這是一條古老而又令人感到無(wú)可置疑的真理。把一個(gè)蘋(píng)果切成三塊，原來(lái)的整個(gè)蘋(píng)果當(dāng)然大于切開(kāi)后的任何一塊，但這僅僅是對(duì)數(shù)量有限的物品而言的。17世紀(jì)的大科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)，當(dāng)涉及無(wú)窮多個(gè)物品時(shí)，情況可就大不一樣了。

假如有人問(wèn)你這樣一個(gè)問(wèn)題，整數(shù)和偶數(shù)哪一種數(shù)多呢？也許你會(huì)認(rèn)為：當(dāng)然是整數(shù)比偶數(shù)多，而且是多一倍。如果從1到100，那么就有100個(gè)整數(shù)，而其中只有50個(gè)偶數(shù)。那要是無(wú)窮多個(gè)整數(shù)和偶數(shù)呢？我們可以用“一一對(duì)應(yīng)”的方法來(lái)比較：

……－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6……

……－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12……

對(duì)于每一個(gè)整數(shù)，我們可以找到一個(gè)偶數(shù)和它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)對(duì)于每一個(gè)偶數(shù)我們又一定可以找到一個(gè)整數(shù)和它對(duì)應(yīng)，這就是說(shuō)整數(shù)和偶數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，也就是說(shuō)整數(shù)和偶數(shù)是一樣多的。

怎么可能得出這樣的結(jié)論呢？這是因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在討論的整數(shù)和偶數(shù)是無(wú)限多的，在無(wú)限的情況下，整體可能等于部分。

19世紀(jì)后期，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾在這個(gè)思想的啟發(fā)下，創(chuàng)立了集合論。它揭示出：部分可以和整體之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這正是含有無(wú)窮多個(gè)元素的集合的本質(zhì)屬性之一。它也告訴人們：不要隨便地把在有限的情形下得到的定理應(yīng)用到無(wú)限的情形中去。