2．好玩的素數(shù)

素數(shù)在自然數(shù)當中的出現(xiàn)是沒有“章法”的，人們總希望能夠找到素數(shù)的一般表達式，許多數(shù)學家投入了大量精力，尚未能如愿．著名數(shù)學家馬林·梅森和費馬也只給出特殊結(jié)構(gòu)的素數(shù)表達式．現(xiàn)在找大的素數(shù)采用梅森的表達式12?^p，其中指數(shù)p是素數(shù)，只能靠高級計算機．但是梅森數(shù)12?^p是不是素數(shù)，還要再用計算機進行驗算．

關于素數(shù)的論述甚多，下面挑些好玩的素數(shù)展示給大家．

法國數(shù)學家費馬于1640年提出了以下猜想：形如12²+^[2]（n為自然數(shù)）的數(shù)叫費馬數(shù)，記作F_n，可以發(fā)現(xiàn)F₀＝12⁰

2+＝3，F(xiàn)₁＝12¹²+＝5，F(xiàn)₂＝12²

2+＝17，F(xiàn)₃＝12³²+＝257，F(xiàn)₄＝12⁴²+＝65537，F(xiàn)₅＝12⁵²+＝4294967297．

前5個是素數(shù)，在當時第6個數(shù)實在太大了，費馬認為是素數(shù)．由此提出（費馬沒有給出證明）形如F_n＝12²+ⁿ的數(shù)都是素數(shù)的猜想．1732年，歐拉算出F₅＝4294967297＝641×6700417，不是素數(shù)，宣布了費馬的這個猜想不成立，它不能作為一個求素數(shù)的公式．以后，人們又陸續(xù)找到了不少反例，如n＝6時，F(xiàn)₆＝18446744073709551617＝274177×67280421310721，不是素數(shù)．至今這樣的反例總共找到了46個，卻還沒有找到第6個正面的例子，也就是說目前只有n＝0、1、2、3、4這5種情況下，F(xiàn)_n才是素數(shù)．甚至有人猜想：當n＞4時費馬數(shù)全是合數(shù)!

素數(shù)之間的間隔也是“無序”的，有時彼此非常疏遠，有時卻靠得很緊．數(shù)學家已經(jīng)用計算機列出素數(shù)表．一個素數(shù)本身的數(shù)字排列，素數(shù)與素數(shù)之間的關系，以及素數(shù)與合數(shù)之間的關系，都是受到關注的焦點．同時由于各人關注點不同，引起的興趣各異．

由同一個數(shù)字構(gòu)成的數(shù)稱作純元數(shù)；有的素數(shù)自身對稱，是謂對稱素數(shù)；有的素數(shù)自身不對稱，但是倒過來讀、倒過來寫也是素數(shù)，因而形成的兩個不同素數(shù)是對稱的，猶如鏡子反射所成，是謂回文素數(shù)．

有的幾個相鄰素數(shù)，個位數(shù)（尾數(shù)）相同，如果四個以上同尾數(shù)且相鄰，在素數(shù)表中也是一道風景線，是謂連排素數(shù)．有的連續(xù)10個自然數(shù)中有4個素數(shù)，是謂四君子素數(shù)．關于對稱素數(shù)、回文素數(shù)和四君子素數(shù)，以后還要專門闡述．

素數(shù)在大于100的自然數(shù)當中的分布是稀疏的，但在有的自然數(shù)區(qū)間卻比較“密集”．比如在自然數(shù)72167到72271的105個連續(xù)自然數(shù)中，有12個相鄰素數(shù)，占11.4%：

72167，72169，72173，72211，72221，72223，72227，72229，72251，72253，72269，72271．

這其中有5對孿生素數(shù)，包括一個對稱素數(shù)72227，還有四對是回文素數(shù)：72221與12227，72229與92227，72251與15227，72253與35227．

從9600551到9600589的39個連續(xù)自然數(shù)中有9個素數(shù)：9600551，9600553，9600557，9600559，9600571，9600581，9600583，9600587，9600589，分別“擠滿”在兩個10個連續(xù)自然數(shù)當中，可謂“親密無間”．其中有四對孿生素數(shù)（兩組四君子素數(shù)）和5個回文素數(shù)：

9600551與1550069，9600553與3550069，9600559與9550069，9600571與1750069，9600589與9850069．

從1006301到1006339的39個連續(xù)自然數(shù)中，包含8個素數(shù)（兩組四君子素數(shù)）：

1006301，1006303，1006307，1006309；1006331，1006333，1006337，1006339．

這些是素數(shù)緊密的典型情景，稀疏就很難列舉了．

有的素數(shù)有幾個相同數(shù)字并列，有的素數(shù)前幾位不完全相同，但是后面幾位卻完全相同，這也很有趣．

素數(shù)除了個位數(shù)僅限于1、3、7、9（2、5除外），其他的數(shù)字排列卻很“隨機”，但是又有不少卻很整齊．比如六位數(shù)111119，333331，333337，700001；311111，733333，799999，911111．

有的素數(shù)不同的數(shù)字少而排列結(jié)構(gòu)又很簡單，顯得很“清純”：1399999，1999993，2000003，5888887，6333337，8000009，8999993，9999991．

首位之外后邊的數(shù)字都相同的那是太稀奇了：5111111111111，31111111111111，911111111111111111111，…．

有的孿生素數(shù)前幾位數(shù)字相同：2222249，2222251；5555507，5555509；9999929，9999931；9999971，9999973．

我們發(fā)現(xiàn)了下面的55位孿生素數(shù)，由6個987654321鏈接而成，可謂珍?。?/p>

2987654321987654321987654321987654321987654321987654321，2987654321987654321987654321987654321987654321987654323．

由順序或逆序數(shù)字構(gòu)成的素數(shù)，有：

1234567891234567891234567891（Raphael Finkelsten，1972）（28位混合型），

1234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567（Alan Cassel，1978，7個123456789連接1234567，70位）^[3]．

我們還發(fā)現(xiàn)屬于混合型的，數(shù)字排列具有特色，既有順序排列，也有順序逆序交錯，還有全部由奇數(shù)組成的：

9876543217（10位），　　100000000123456789（18位），　　8987654321987654321987654321（28位），

19876543219876543219876543219876543219876543（44位），　98765432100001（14位），

98765432198765432111111111111（29位），　98765432100000000000000000000000000001（38位），

12345676421123456764211234567（29位），　212345678987654321（18位），

123456789876543211234567898765432112345678987654329（51位），　21234567898765432112345678987654321123456789（44位），

81357913579（11位），1357913579135791357913（22位），　7135791357913579135791357913579135791357913579（46位），

1357913579135791357913579135791357913579135791111117（52位），

913579135791357913579135791357913579135791379137913791379（57位），

718940614198911197（18位），　23809523809523809523809523809523809（35位），

1371894061419891119731（22位），

11001100110017（14位），1101101101101101（16位），　1100110011001100110019（22位），

11001100110011001100110017（26位），　1101101101101101101101101101101109（34位），

1100110011001100110011001100110011001（37位），　1101101101101101101101101101101101101103（40位），

1100110011001100110011001100110011001100110019（46位），

110011001100110011001100110011001100110011001100110017?。?4位）．

（1）位數(shù)相同的素數(shù)中最小的：

100000000003（12位），1000000000000000003（19位），1000000000000000000000000000000000000003?。?0位）；

（2）位數(shù)相同的素數(shù)中最大的：

99999999999999997（17位），999999999999999999999999999999991（33位），

999999999999999999999999999999999999999999991（45位）；

（3）全由奇數(shù)構(gòu)成的素數(shù)：

111111111111111111111113（24位），11111111111111111111111311111（29位），1111111111111111111111131111179（31位），

1111111111111111111111135777777777777（37位），111111111111111111131111111111111111111（39位），

111111111111111111111113577777777777791111111117（48位，5個不同的奇數(shù)），

1111111111111111111111131111179711111311111111111111111111111（61位）．

生日數(shù)碼福緣素數(shù)

一名1993年10月29日出生的學生，他的生日數(shù)碼19931029就是一個素數(shù)；一名2004年3月1日出生的小朋友，他的生日數(shù)碼20040301也是素數(shù)；而一位1983年11月17日出生的老師，她的生日數(shù)碼19831117＝19×1043743，不是素數(shù)．有意思的是在她的生日數(shù)碼前面或后面添上3，就都是素數(shù)了：319831117與198311173．

每個人都有生日數(shù)碼，存在一個甚至數(shù)個含有自己生日數(shù)碼的素數(shù)．素數(shù)的存在猶如星空繁星璀璨，如果將星星進行編碼，能夠找到同自己生日數(shù)碼相對應的素數(shù)，無疑也是一件樂事．

有意義的紀念素數(shù)

2011年是辛亥革命百年紀念，從1911年10月10日到2011年10月10日，有紀念素數(shù)如下：

191110101002011101019999，100191110109901011102001，19111010100201110101111111111111，

1001911101020111010100191919191919．

2011年也是中國共產(chǎn)黨建黨九十周年，從1921年7月1日到2011年7月1日，有紀念素數(shù)如下：

192107018820110701，1921070190201107017，907119217120117190719，901921070120110701719，192107012011070190719，

1921070190201107019071，719071901921070120110701907171，19210701902011070190719099999999999，

19210701123456789987654321120110701，907119217190201171909999999，9031921719020117190719071909，

90719071192171902011719071907171999，1921070112345678909876543211201107019999，

717190711907192171201171909171102171291170917091717．

從1921年建黨，到1949年新中國成立，到1978年改革開放至今，中國共產(chǎn)黨經(jīng)歷了不平凡的歷程，數(shù)碼組成一組紀念素數(shù)：

19210701194907011978070120110701，7119210701194907019019780701201107019071，

907119210701194907019019780701201107019071，90711921070119490701907119780701201107019071．

同毛主席結(jié)緣的素數(shù)：毛主席生于1893年12月26日，1976年9月9日逝世，生卒日子數(shù)碼就是素數(shù)1893122619760909．

9、8341、300是同毛主席結(jié)緣的數(shù)字，它們同生卒日子數(shù)碼組成素數(shù)：189312261976090983413，1893122619760909834177，30083419999999999999991，以及9090909090909090918931226197609092830083419999999999999991（58位），其中素數(shù)909090909090909091是素數(shù)中的“佼佼者”．

資料：結(jié)構(gòu)“清純”的素數(shù)

【注釋】

[1]王樹禾．數(shù)學聊齋．第二版．北京：科學出版社，2008

[2]吳鶴齡．幻方與素數(shù)——娛樂數(shù)學兩大經(jīng)典名題．北京：科學出版社，2008