第四章　互為Hilbert變換對的正交小波構造及其應用

DWT由于缺乏平移不變性等缺陷而阻礙著它的進一步應用。采用a trous算法（或多孔算法）進行非下采樣的小波變換可以解決不具有平移不變性的缺點，然而這樣做會導致計算量的急劇增加，且使得輸出信息存在很大的冗余，給后續(xù)處理帶來冗余計算。常規(guī)復小波在給變換帶來一定的冗余的同時也可以克服這個問題，但是超過一層分解的復小波變換的輸入是復數(shù)形式，要構造它的完全重構的逆濾波器非常困難。

為了解決這些問題，Kingsbury提出了DT?CWT，它既滿足完全重構條件，又保留了復小波的其他優(yōu)點?？偟膩碚f，它具有以下性質(zhì)[104]：具有近似平移不變性；對多維信號具有良好的方向選擇性；完全重構特性；有限的冗余度，其冗余性與分解的尺度無關，對m維的信號存在2m倍的冗余；較小的計算量，對m維信號其計算量是原DWT的2m倍。

近年來很多研究者提出，可以同時采用兩個互為Hilbert變換的小波對處理信號，通過兩個不同系統(tǒng)的綜合信息來更有效地表示信號中各向異性的奇異性[96,99,105]。DT?CWT中實際上就用到了兩個互為Hilbert變換的小波對[106]。

Selesnick[107]給出了正交小波系構成Hilbert變換對的必要條件，并在文獻[90,106]中提出了一種基于延遲濾波器的構造算法。Ozkaramanli等[91]進一步指出Selesnick在文獻[107]中給出的必要條件還是充分的。與此同時，Kingsbury[99]從平移不變性的角度提出了一種DT?CWT結(jié)構，并給出了相應的構造算法。王紅霞等[108,109]也于近期提出了新的互為Hilbert變換對的小波構造方法，取得一定成果。

本章在Selesnick和Kingsbury等人的基礎上，結(jié)合構成正交小波的充要條件，提出了構造互為Hilbert變換對的正交小波的代數(shù)構造方法，并指出構造互為Hilbert變換對的雙正交小波也可以用類似的方法。與文獻[90]相比，這種小波構造方法更加靈活，適當調(diào)整設計參數(shù)，可以得到更加對稱、更加平滑的小波。

第一節(jié)　基于延遲濾波器的構造方法

一維DT?CWT通過一對濾波器組同時作用在輸入數(shù)據(jù)上來實現(xiàn)其對信號的處理。它包含兩個平行的小波樹，兩棵樹中的實數(shù)濾波器h0(n)和h1(n)、g0(n)和g1(n)各代表了一個共軛正交濾波器對。設這兩個濾波器對所對應的實數(shù)值尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為：?h(t)、ψh(t)、?g(t)、ψg(t)，復小波變換的優(yōu)點源于復小波函數(shù)ψ(t)的頻譜單邊性，為了具有這種性質(zhì)，小波函數(shù)ψg(t)必須是ψh(t)的Hilbert變換。設H0(w)與G0(w)分別是低通濾波器h0(n)和g0(n)的Fourier變換。

文獻[106]指出：如果H0(w)和G0(w)是兩個共軛正交的低通濾波器組，并且滿足如下關系式：

那么它們所對應的小波互為Hilbert變換對，即：

ψg(t)=H{ψh(t)}

或

則相應的小波濾波器g0(n)與h0(n)相差半個采樣的延遲。

為了構造這樣的兩個正交的小波對，設它們的低通尺度濾波器有如下形式：

h0(n)=f(n)*d(n)

g0(n)=f(n)*d(L?n)

其中濾波器d(n)是能夠獲得（或近似獲得）半個采樣延遲的分數(shù)延遲濾波器，L為d(n)濾波器的延遲度，f(n)是待求濾波器，*表示求卷積。上式在z域中可表示成下式：

由此得到下式：

則傳遞函數(shù)為：

如果把此傳遞函數(shù)A(z)設計成一個具有半個采樣延遲的全通濾波器，即：

A(ω)≈e?jω/2　　　ω在0附近取值

或

A(z)≈z?1/2　　　z在1附近取值

那么式（4.1.4）就可以寫成式：

由此近似得到了式（4.1.1）。

下面的問題就是如何設計這個A(z)。

文獻[110]提出了一種有τ個采樣延遲的Thiran延遲濾波器D(z)：

其中

而

(x)n=(x)(x+1)…(x+n?1)，x=τ?L或x=τ?1

對于D(z)，式（4.1.5）可以改寫成式：

A(z)≈z?τ　　　z在1附近取值

或

該分數(shù)延遲濾波器d(n)的系數(shù)按式（4.1.7）計算：

其中：L為分數(shù)延遲度（決定著d(n)濾波器長度），τ為采樣延遲數(shù)，當取τ=1/2時，由式（4.1.4）、式（4.1.5）和式（4.1.6）就得到了式（4.1.1）。

在此基礎上文獻[90]提出了基于延遲濾波器和譜分解的互為Hilbert變換對的小波構造方法。

第二節(jié)　互為Hilbert變換對的正交小波的代數(shù)構造方法

根據(jù)Selesnick提出的小波互為Hilbert變換對的思想，本章結(jié)合構成正交小波的充要條件，提出構造互為Hilbert變換對的正交小波的代數(shù)構造方法。

定理 4.1[111]：設φ∈L2(R)是一可積的尺度函數(shù)，那么

h[n]=<2?1/2φ(t/2), φ(t?n)>的傅里葉級數(shù)滿足

反之，如果以2π為周期，在ω=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微，滿足式（4.2.1）、（4.2.2），且

那么

是某個尺度函數(shù)φ∈L2(R)的傅里葉變換，其中

定理4.1說明：任何尺度函數(shù)都被一個叫“共軛鏡像濾波器”的離散濾波器所確定。傳遞函數(shù)滿足式（4.2.1）的離散濾波器叫共軛鏡像濾波器。

若φ為正交尺度函數(shù)，h={h0,h1,…,hN}是對應φ的雙尺度方程的濾波器，則構造正交小波時h應滿足以下方程（4.2.3）、（4.2.4）：

其中，當n=0時，δ=1，當n≠0時，δ=0。

定理 4.2[111]：設?和φ是生成一組正交基的小波和尺度函數(shù)。設?(t)= o((1+t2)?p/2?1)且φ(t)=o((1+t2)?p/2?1)，則：

（1）小波?有p階消失矩；

（2）和它的前p1?階導數(shù)在ω=0處為零；

（3）和它的前p1?階導數(shù)在ω=π處為零；

（4）對任意0≤k<p，是一個k階的多項式。

由定理4.2可以得到[112]：

聯(lián)立式（4.2.3）、（4.2.4）、（4.2.5）、（4.2.6），得到構造有限正交小波濾波器的代數(shù)方法。通過解以上方程組得到濾波器h={h0,h1,…,hN}，然后，按下式（4.2.7）：

求出在ω=0～2π范圍內(nèi)的上界值，如果它小于等于2p?1，則h即為所求濾波器[112]。

聯(lián)立式（4.2.3）、（4.2.4）、（4.2.5）、（4.2.6）、（4.2.7）即得到構造正交小波的充要條件，再結(jié)合式（4.1.2）、（4.1.3），可以構造各種互為Hilbert變換對的正交小波。本章提出的互為Hilbert變換對的正交小波的代數(shù)構造方法具體步驟如下：

（1）設定消失矩階數(shù)p，濾波器延遲度L；

（2）求解分數(shù)延遲濾波器（式（4.1.7）），得D(z)；

（3） 設F(z)為{x1,x2,…,xN}，其中N=2p+2。并分別求出F(z)D(z)、F(z)Z?LD(1/z)的表達式h(n)、g(n)；

（4）求解方程組（4.2.3）、（4.2.4）、（4.2.5）、（4.2.6）、（4.2.7）式，得F(z)；

（5）F(z)D(z)、F(z)Z?LD(1/z)即為所求。

當延遲濾波器長度為3時，其中步驟（3）、（4）中會產(chǎn)生方程個數(shù)總是比未知變量個數(shù)多4的問題，由于表達式h(n)、g(n)的對稱性，由g(n)得到的方程（4.2.3）、（4.2.4）、（4.2.5）這四個方程（式（4.2.3）代表2個方程）總是與h(n)的相應方程完全相同，因而步驟（4）總是可以得到確定解。

用類似的方法可以很方便地構造互為Hilbert變換對的雙正交小波。

第三節(jié)　構造實例

一、本方法構造的新小波

根據(jù)上節(jié)提到的步驟，表4.1、表4.2是本章方法構造的兩個正交尺度濾波器h、g及其對應的互為Hilbert變換對的正交小波如圖4.1、圖4.2（部分示例）。

表4.1　本方法構造的互為Hilbert變換對的正交尺度濾波器系數(shù)（濾波器長度是12）

二、降低消失矩得到的新小波

通過降低消失矩同時保持濾波器長度不變，按照前面所討論的方法還得到了如圖4.3、圖4.4所示的小波（部分示例），其對應的正交尺度濾波器如表4.3、表4.4。它們均為4階消失矩小波，濾波器長度均是14。

圖4.1　表4.1所對應的互為Hilbert變換對的正交小波（4階消失矩）

圖4.2　表4.2所對應的互為Hilbert變換對的正交小波（5階消失矩）

表4.3　本方法構造的互為Hilbert變換對的正交尺度濾波器系數(shù)

圖4.3　表4.3所對應的互為Hilbert變換對的正交小波

圖4.4　表4.4所對應的互為Hilbert變換對的正交小波

表4.4　本方法構造的互為Hilbert變換對的正交尺度濾波器系數(shù)

三、本方法構造的消失矩不一樣的小波

本方法還可得到消失矩不一樣的小波，如圖4.5、圖4.6所示（部分示例），其中圖4.5所對應的正交尺度濾波器如表4.5，h對應的小波是5階消失矩，g對應的小波是4階消失矩。

圖4.5　表4.5所對應的互為Hilbert變換對的正交小波

圖4.6　消失矩不一樣的互為Hilbert變換對的正交小波

注：h對應的小波是5階消失矩，g對應的小波是4階消失矩

表4.5　本方法構造的互為Hilbert變換對的正交尺度濾波器系數(shù)

圖4.6是本章方法構造的另外一些消失矩不一樣的互為Hilbert變換對的小波（沒有給出濾波器系數(shù)）。

第四節(jié)　DT?CWT的平移不變性

DT?CWT是一種具有近似的平移不變性、較高的計算效率和可以精確重構等優(yōu)良特性的離散小波變換形式[113,114]。一維DT?CWT通過一對濾波器組同時作用在輸入數(shù)據(jù)上，它相當于對一個信號同時作兩個離散小波變換，這兩個小波變換的小波濾波器是特殊設計的，它們互相形成Hilbert變換對。

DT?CWT分解重構過程示意如圖4.7[99,115]：

圖4.7　DT?CWT的簡化的分解和重構的過程示意圖

圖4.7顯示了DT?CWT的簡化的分解和重構的過程，所有向上采樣和向下采樣操作都被移到分解濾波器的輸出端和相應的重構濾波器的輸入端，M是整個的down/up-sampling factor[115]。重構時對兩棵樹的結(jié)果進行了綜合，如下式所示：

通過對濾波器A(z)、B(z)、C(z)、D(z)的特殊設計，使得最后的結(jié)果Y(z)獲得良好的平移不變性。

具體來說，在正交雙通道濾波器組中，分解端低通濾波器設為H0(z)，高通濾波器為H1(z)，相應的合成端濾波器分別為H0(z?1)、H1(z?1)。對于一個輸入信號S(z)，通過分解端和向上抽樣產(chǎn)生如下的低通系數(shù)[103]：

相應的，分解產(chǎn)生的低頻部分為：

對于DWT，如果一個輸入信號有一個點的時間平移，記作z?1S(z)，通過小波濾波器得到：

其中，代表高頻部分，而低頻部分為：

從這個計算中可以看到，DWT是平移敏感的。

對于DT?CWT，應用了一個額外的經(jīng)過了平移的分解濾波器z?1H0(z)和z?1H1(z)，這兩個濾波器組的低、高通道最后被平均。例如，如果兩個濾波器組被分別標示為a、b，那么其低通部分可如下表示：

由此可見，在中沒有包含混淆項S(?z)，分解結(jié)果獲得平移不變的特性。

DT?CWT的平移不變性圖示效果如圖4.8[99,116]所示?？梢奃T?CWT對消除偽Gibbs現(xiàn)象的能力相對DWT有明顯的提高。劉芳、劉文學、焦李成[117]用試驗說明了DT?CWT比常規(guī)離散小波變換可以取得更好的降噪效果。

圖4.8　DT?CWT的平移不變性

S—原始信號，a4—第4層近似系數(shù)、d1～d4—第1～4層細節(jié)系數(shù)的重構信號

第五節(jié)　DT?CWT分解及其應用

傳統(tǒng)的Fourier變換可有效地分析平穩(wěn)信號，而對于眾多的非平穩(wěn)故障信號采用小波變換能起到好的分析效果。由于DT?CWT比DWT有更多優(yōu)良特性，所以本章在此研究了基于本章構造的小波的DT?CWT的一些應用，并與DWT進行了比較。

一、仿真試驗

圖4.9　Heavisine信號及其降噪信號

對三個典型的非平穩(wěn)信號Heavisine信號和Doppler信號（它們的原始信號見圖1.5、圖1.6）以及Blocks信號（如圖4.9所示）分別進行降噪處理，其中本文方法是指用本章構造的互為Hilbert變換對的小波（表4.1中的數(shù)據(jù)）經(jīng)DT?CWT分解得到的，Selesnick方法是指用文獻[90]構造的互為Hilbert變換對的小波經(jīng)DT?CWT分解得到的。各種方法降噪后的信噪比見表4.6。比較可見：DT?CWT可以得到比DWT更好的降噪效果，而用基于本章構造的小波對的DT?CWT比用Selesnick的方法可以得到更高的信噪比。

表4.6　各種方法降噪后的信噪比 單位：dB

二、應用試驗

試驗一：軋機齒輪箱的故障診斷

在某鋼廠現(xiàn)場的一精軋機齒輪箱上測得有故障的振動加速度信號如圖4.10，采樣頻率是5 000Hz，采樣長度是1 024點。

圖4.10　原始故障信號

圖4.11是用DB4小波經(jīng)DWT分解得到的各層近似信號（a1～a4）和細節(jié)信號（d1～d4）。圖4.12是用本章構造的互為Hilbert變換對的小波（表4.1中的數(shù)據(jù)）經(jīng)DT?CWT分解得到的各層近似信號（a1～a4）和細節(jié)信號（d1～d4）。

圖4.11　用DB4小波經(jīng)DWT分解得到的各層近似信號（a1～a4）和細節(jié)信號（d1～d4）

從圖4.12中的a1～a4可以看出：在1 024/5 000=0.204 8（秒）的時間內(nèi)，非常清楚地出現(xiàn)了12個沖擊，這些沖擊所對應的頻率為12/0.204 8=58.593 75（Hz）。而該精軋機錐箱I軸的軸頻的理論計算值是58.594Hz，二者完全吻合。經(jīng)檢查結(jié)果是該軋機錐箱軸的軸承偏心，使回轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)一周便產(chǎn)生一次振動沖擊。而在圖4.11中對應的a1～a4低頻信號沒有圖4.12明顯。經(jīng)驗證得知：當用DB系列小波經(jīng)DWT分解得到的相應結(jié)果都與圖4.11類似，均沒有圖4.12明顯。

圖4.12　用本章構造的互為Hilbert變換對的小波經(jīng)DT?CWT分解得到的各層近似信號（a1～a4）和細節(jié)信號（d1～d4）

試驗二：轉(zhuǎn)子沖擊特征信號的試驗分析

試驗在Bently RK?4轉(zhuǎn)子試驗臺（見圖4.13）上進行。轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)頻為20Hz，采樣頻率為8 000Hz，采樣點數(shù)為1 024點。在轉(zhuǎn)子試驗臺上附加沖擊信號，使轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)一周就會受到兩次沖擊。

圖4.14為轉(zhuǎn)子受沖擊的位移（電壓）信號。從圖4.14（a）表示的時域圖中可以看到轉(zhuǎn)頻20Hz的諧波成分，且信號中具有沖擊成分，但很難直接從時域圖中計算沖擊信號的周期。在圖 4.14（b）中的信號頻域圖中出現(xiàn)了 20Hz與40Hz的頻率成分。由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)頻為20Hz，所以在頻域圖中一定會出現(xiàn)20Hz的頻率成分。但是，如果信號中具有20Hz或40Hz的沖擊成分，在信號的頻域圖中，都會出現(xiàn)40Hz的頻率。這樣，依據(jù)圖4.14（b）中出現(xiàn)的40Hz頻率成分并不能確認信號中的沖擊成分。因此，從原始信號的時域圖或頻域圖中都不能直接判斷是否有附加的沖擊信號。

圖4.13　轉(zhuǎn)子試驗臺實物圖

圖4.14　轉(zhuǎn)子受沖擊的信號的時域圖和頻域圖
（頻域圖中樣本長度采用8 192點）

圖4.15是用DB4小波經(jīng)DWT分解得到的各層近似信號（a1～a5）和細節(jié)信號（d1～d5）。

圖4.15　用DB4小波經(jīng)DWT分解得到的各層近似信號（a1～a5）和細節(jié)信號（d1～d5）

圖4.16是用本章構造的互為Hilbert變換對的小波（表4.1中的數(shù)據(jù)）經(jīng)DT?CWT分解得到的各層近似信號（a1～a5）和細節(jié)信號（d1～d5）。

圖4.16　用本章構造的互為Hilbert變換對的小波經(jīng)DT?CWT分解得到的各層近似信號（a1～a5）和細節(jié)信號（d1～d5）

從圖4.16中的d3～d5可以看出：在1 024/8 000=0.128 0（秒）的時間內(nèi)，非常清楚地出現(xiàn)5個沖擊，每兩個沖擊所對應的時間間隔約為25ms。而在轉(zhuǎn)子試驗臺上附加的沖擊信號的頻率是40Hz，即每兩次沖擊的時間間隔為25ms，二者基本吻合。而在圖4.15中對應的d3～d5沒有圖4.16明顯。