“科克曼女生問題”

我國包頭市第九中學(xué)的一位物理教師，在20世紀(jì)60年代獨(dú)立地解決了科克曼女生問題，以后又解決了斯坦納三元系問題，聞名中外。他就是數(shù)學(xué)家陸家羲。

1850年，英國人科克曼提出下列問題:一位女教師帶領(lǐng)15名女生每天作例行散步。她把女生按3人一行排成5行，在同一行中的3個(gè)女生彼此稱為同伴。現(xiàn)問:能否作出一個(gè)連續(xù)7天的計(jì)劃，使得每一個(gè)女生和其他同學(xué)只同伴一次?這就是原始的科克曼女生問題。

后來，人們把這個(gè)問題一般化:設(shè)有v個(gè)元素的集合X，每3個(gè)一組，分成b組，如果要求X中每一對元素必同在一個(gè)且僅在一個(gè)三元組中，是否能夠辦得到?這就是現(xiàn)稱的科克曼女生問題，而最初的科克曼女生問題是它的一個(gè)特例，即v=15，b=7×5=35的情況。

一般的情形我們不討論了。下面介紹一個(gè)最簡單的特例，v=7，b=7的情形。它可以有以下的三元組:

(1，2，3);

(2，5，4);

(3，6，4);

(4，7，1);

(3，5，7);

(1，5，6);

(2，7，6)。

用圖表示，它正好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的三條邊、三條中線和一個(gè)內(nèi)切圓。每兩個(gè)數(shù)字必在一個(gè)三元組中同時(shí)出現(xiàn)，且只有一次。對原始的科克曼女生問題(v=15，b=35)，你不妨也做做看。