所謂剛體，是由無數(shù)個(gè)相對(duì)距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)組成的集合。與質(zhì)點(diǎn)模型一樣，剛體是力學(xué)的第二個(gè)理想模型，它代表在任何情況下，其形狀和大小都不會(huì)發(fā)生變化的物體。剛體內(nèi)有一直線保持不動(dòng)的運(yùn)動(dòng)，稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)，這條固定的直線稱為剛體的轉(zhuǎn)軸。顯然，剛體內(nèi)的其他各點(diǎn)分別在垂直于轉(zhuǎn)軸的各平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓心都在轉(zhuǎn)軸上。

一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)研究背景

生活中我們觀察到的運(yùn)動(dòng)，除了平動(dòng)以外，還有一類廣泛存在的運(yùn)動(dòng)形式——轉(zhuǎn)動(dòng)。為了使問題簡(jiǎn)化，我們討論一種稱為剛體——但實(shí)際上并不存在的理想物體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這里，剛體的意思是說物體的原子之間的作用非常強(qiáng)，由于這種特性，使它運(yùn)動(dòng)的力不會(huì)使它發(fā)生形變，或者說剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)它的形狀保持不變。對(duì)于一些發(fā)生在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的宏觀量的研究，往往通過將剛體分成無窮多個(gè)小的質(zhì)量元，每個(gè)質(zhì)量元可以看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣剛體可以看成是由無窮多個(gè)相對(duì)位置保持不變的質(zhì)點(diǎn)組成的特殊質(zhì)點(diǎn)系。對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用力學(xué)定律，只需求和，便能推出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)兩大類。其中定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是指剛體內(nèi)存在一條直線保持不動(dòng)，其他點(diǎn)繞著這條直線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式，這條直線叫定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸，它是我們這一講的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容；定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)是指剛體內(nèi)僅存在一點(diǎn)保持不動(dòng)，其他點(diǎn)繞這點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)平面方向可以改變的運(yùn)動(dòng)形式，這種運(yùn)動(dòng)形式將在下一講中闡述。

二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述及物理解析

1．剛體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

我們首先來定義描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量。與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)不同，剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其運(yùn)動(dòng)范圍與它本身尺度在一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此不能把剛體看成一個(gè)點(diǎn)而要把它視為沒有相對(duì)位移的無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的組合。小時(shí)候大家都玩過老鷹捉小雞的游戲，知道排在前面的小朋友基本不需要怎么跑動(dòng)，而排在后面的一些小朋友需要跑得很快。為什么會(huì)這樣呢？如果小朋友排成的一條龍不散架的話可以視為一個(gè)剛體。從這個(gè)例子我們知道剛體中各點(diǎn)的線速度（沿圓周跑動(dòng)的速度）是不一樣的。如果我們用線速度來描述剛體的運(yùn)動(dòng)，無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的剛體就需要無窮多個(gè)線速度來描述它的運(yùn)動(dòng)。顯然，這是不可能做到的，也是不必要的。那到底用什么物理量來描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合適呢？我們進(jìn)一步觀察排成一條龍的小朋友的運(yùn)動(dòng)，假設(shè)最前面的小朋友不動(dòng)，看成一個(gè)固定軸，其他小朋友圍繞第一個(gè)小朋友做圓周運(yùn)動(dòng)，他們?cè)谕瑯拥臅r(shí)間內(nèi)跑過的圓周的長(zhǎng)度不一樣，但他們跑過的角度卻是相同的！如果我們用這個(gè)角度除以跑過這個(gè)角度所需要的時(shí)間，我們就得到角速度的概念。這樣，由于剛體上各點(diǎn)具有相同的角速度，我們就可以用角速度來描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。仿照線速度的定義，我們定義角速度的大小為

式中，φ是剛體中垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)從轉(zhuǎn)軸引出的任意一條直線與選定的參考方向之間的夾角，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。角加速度的大小為

那么，角速度與線速度又有怎樣的關(guān)系呢？上面講到的排成一條龍的小朋友跑動(dòng)的圓周長(zhǎng)度不一樣而角度一樣，這是怎么回事呢？實(shí)際上這個(gè)角度可以用他們各自跑過的線長(zhǎng)除以各自所在位置的半徑得到，即

如果我們把各自的方向也考慮進(jìn)來寫成矢量關(guān)系式有

v=ω×r（14-4）

式（14-4）就是線速度與角速度之間的矢量關(guān)系式。

2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)

1）作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的合外力矩

剛體可以看成是由無窮多個(gè)質(zhì)量元組成的特殊質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部的作用力對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)沒有影響，所有內(nèi)力對(duì)任意參考點(diǎn)的合力矩為0，故只需討論合外力的力矩。設(shè)第i個(gè)質(zhì)元受到外力Fi的作用。對(duì)于固定軸z軸，任何平行于z軸方向的外力都不會(huì)產(chǎn)生任何效果，因此，我們可以假設(shè)外力Fi垂直于z軸。如圖14-1所示，其中O為質(zhì)量元Δmi對(duì)轉(zhuǎn)軸的垂足，而Ri為從原點(diǎn)O′引向Δmi的矢量，O對(duì)原點(diǎn)O′的位置矢量為OO′，ri為Δmi對(duì)O的位矢。外力Fi對(duì)點(diǎn)O′的力矩為

圖14-1

Mi=Ri×Fi（14-5）

由圖14-1可知，Ri=OO′+ri，這樣式（14-5）可寫為

Mi=Ri×Fi=OO′×Fi+ri×Fi

式中，OO′×Fi垂直于z軸（O與O′的連線），它被固定軸的軸承反力矩所抵消，因此可以不考慮；第二項(xiàng)平行于z軸，是使剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩，將其記為Miz，因此

Miz=ri×Fi（14-6）

其大小為Miz=riFisinθi。這樣，所有外力產(chǎn)生的力矩沿轉(zhuǎn)軸方向的分量為

Mz稱為合外力矩的z分量，它可改變剛體繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。由式（14-7）可知參考點(diǎn)可選擇在轉(zhuǎn)軸的任意點(diǎn)上，力矩在z方向的分量都一樣，都等于以轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)軸心為參考點(diǎn)計(jì)算的力矩。

2）剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理

類似上節(jié)的討論，第i個(gè)質(zhì)元對(duì)點(diǎn)O的角動(dòng)量為

Li=Ri×Δmivi（14-8）

由于剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Ri與vi垂直，有Li=RiΔmivi，進(jìn)而有

Liz=RiΔmivisinθi=riΔmivi（14-9）

考慮到vi=riω，式（14-9）可寫成

總分量

記為

Lz=Jω（14-12）

式（14-12）中

稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。剛體繞某個(gè)固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是一個(gè)常數(shù)，它與平動(dòng)慣性量度——質(zhì)量一樣是量度物質(zhì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量，但也有不同，對(duì)于宏觀低速運(yùn)動(dòng)的物體，我們一般將質(zhì)量視為常數(shù)，與參考系無關(guān)；而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)與參考點(diǎn)選擇有關(guān)的量，所以必須指明相對(duì)于哪個(gè)參考點(diǎn)（或者哪個(gè)參考軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。根據(jù)角動(dòng)量定理

Mzdt=d Lz（14-14）

將式（14-12）代入（14-14），并令=β為角加速度，Mz用M表示（Mx，My被作用在軸上的反力矩抵消可不考慮對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響），有

式（14-15）稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理。與牛頓第二定律表示的質(zhì)點(diǎn)一維平動(dòng)方程F=m=ma有類似的形式。如果牛頓第二定律方程中的m有平動(dòng)慣性的含義，那么顯然式（14-15）中的J表示物體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性，故稱之為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

3）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

（1）剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般計(jì)算。

由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與參考軸有關(guān)，不同的參考軸有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，我們需要對(duì)它進(jìn)行一些討論。首先對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義

J=∫r2dm（14-16）

來計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例如，考慮一根木棒繞穿過其一端的垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，如圖14-2（a）所示。按照式（14-16），我們以軸心為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿木棒為x軸建立一維Ox坐標(biāo)。按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式（14-16）對(duì)木棒的質(zhì)量微元與距離x平方的乘積求積分（在此例中y等于零）即為木棒繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即

圖14-2

J=∫x2dm（14-17）

假設(shè)木棒質(zhì)量均勻分布，總質(zhì)量為M，總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則質(zhì)量微元與長(zhǎng)度微元的關(guān)系是

將式（14-18）代入式（14-17）可得

由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱總是質(zhì)量乘以長(zhǎng)度的平方，所以我們真正關(guān)心的是因子1／3。如果轉(zhuǎn)軸選取在木棒的中心［見圖14-2（b）］，則將x的積分范圍變?yōu)?到，再積分式（14-19）可得

比較式（14-19）和式（14-20），我們發(fā)現(xiàn)繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)一根棒比繞它的端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)要容易得多。

（2）薄板的垂直軸定理。

如圖14-3所示，對(duì)于一些厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于寬度的薄板，我們可以證明沿厚度方向軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz與沿平板長(zhǎng)度方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和沿平板寬度方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足

圖14-3

Jz=Jx+Jy（14-21）

式（14-21）為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的垂直軸定理。

證明：如圖14-3所示，在厚度可以忽略不計(jì)的情況下，有

代入剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般表達(dá)式J=，得

即

Jz=Jx+Jy（14-23）

剛體垂直軸定理得證。

（3）薄板的平行軸定理。

如圖14-4所示，過質(zhì)量元Δmi與兩平行軸垂直的平面分別交兩平行軸于點(diǎn)O和點(diǎn)O′，質(zhì)量元Δmi相對(duì)于點(diǎn)O和O′的位矢分別為ri和，點(diǎn)O′相對(duì)O的位置矢量為d。假設(shè)過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸是過剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸，按照定義，剛體對(duì)O′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

圖14-4

由于

將式（14-25）代入式（14-24）可得

在質(zhì)心坐標(biāo)系中有

將式（14-27）代入式（14-26）可得

即

J=Jc+md2（14-28）

其中Jc=為剛體相對(duì)于通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，d為考察軸與過質(zhì)心的軸之間的距離。

三、實(shí)驗(yàn)測(cè)量剛體慣性系數(shù)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。它與剛體的質(zhì)量、形狀大小和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。形狀簡(jiǎn)單的剛體，可以通過數(shù)學(xué)計(jì)算求得其繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；而形狀復(fù)雜的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則大都采用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定。下面介紹一種用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。

實(shí)驗(yàn)上測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，一般都是使剛體以某一形式運(yùn)動(dòng)，通過描述這種運(yùn)動(dòng)的特定物理量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系來間接地測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)方法較多，如拉伸法、扭擺法、三線擺法等，本實(shí)驗(yàn)采用拉伸法利用“剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀”來測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

剛體繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度β與剛體所受到的合外力矩M，以及剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J之間有M=Jβ的關(guān)系，這一關(guān)系稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。本實(shí)驗(yàn)所用儀器裝置如圖14-5所示。當(dāng)忽略了各種摩擦阻力，不計(jì)滑輪和線的質(zhì)量，并且線長(zhǎng)不變時(shí)，塔輪僅僅受到線的拉力T的力矩作用，砝碼m以加速度a下落，則

圖14-5

T=m（g-a）（14-29）

Tr=Jβ（14-30）

式中，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?；r，β為塔輪的半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度；J為轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若砝碼m由靜止開始下落高度h所用的時(shí)間為t，則

將式（14-31）代入式（14-29），并利用a=rβ可以解得m。如果實(shí)驗(yàn)過程中使g?a，則有

下面就公式（14-32）分兩種情況來討論：

（1）若保持m，h大小不變，改變r(jià)，測(cè)出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t。根據(jù)（14-32）式有

作r圖，如果圖線是一條直線，則公式（14-33）被驗(yàn)證，從而間接地驗(yàn)證了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，同時(shí)由直線的斜率可求出系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。

（2）若保持r、h及J不變，改變砝碼的質(zhì)量，測(cè)出砝碼下落高度的時(shí)間，式（14-32）可化為

若實(shí)驗(yàn)測(cè)得一系列m和t，在直角坐標(biāo)紙上作m圖像。如果得一直線，則說明實(shí)驗(yàn)過程中轉(zhuǎn)動(dòng)定律成立，再由圖解法求出直線的斜率，便可求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和機(jī)械能

我們知道剛體會(huì)在力矩作用下由靜止?fàn)顟B(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)力矩與其角位移的乘積定義為力矩對(duì)剛體做的功。我們也可以把剛體看成連續(xù)質(zhì)量分布的質(zhì)點(diǎn)系，從剛體中某個(gè)質(zhì)元在外力作用下的運(yùn)動(dòng)通過微分、積分的方法來推導(dǎo)作用在剛體上力矩做的功。假設(shè)作用在質(zhì)元Δmi上的外力Fi處于質(zhì)元的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)過dφ時(shí)Δmi的位移為dri，則做的功為

d Wi=Fi·dri=Ficosθiridφ=Midφ（14-35）

式（14-35）中Mi表示Fi相對(duì)轉(zhuǎn)軸中心的力矩。如果剛體在該力矩作用下從角位置φ0轉(zhuǎn)動(dòng)到角位置φ，則力做的功為

在式（14-36）基礎(chǔ)上對(duì)作用在剛體上的所有力矩的功求和，得到所有外力矩對(duì)剛體做的功，即

式（14-37）就是作用在剛體上所有外力矩對(duì)剛體做功的表達(dá)式。

另外，重新改寫剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理為

將式（14-38）兩邊同乘以dφ可得

式（14-39）兩邊積分可得

式（14-40）即是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，它表示外力矩對(duì)剛體做的功等于剛體動(dòng)能的增量，其中Ek=為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，則Ek0=表示剛體在初始位置的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

當(dāng)然，在地球上的剛體，由于受到重力的作用應(yīng)該具有重力勢(shì)能。原則上剛體的重力勢(shì)能等于剛體中各個(gè)質(zhì)元的重力勢(shì)能之和，即

現(xiàn)在，我們把式（14-41）進(jìn)行變形，寫為

式（14-42）就是剛體的勢(shì)能表達(dá)式，其中zc是剛體質(zhì)心在豎直方向的位置參量。這樣重力對(duì)剛體做的功就可表示為剛體勢(shì)能增量的負(fù)值，即

將式（14-40）中力矩的功分為除重力矩以外的其他力矩M′做的功W′和重力矩Mg做的功Wg兩部分，并把重力矩做的功用剛體重力勢(shì)能增量的負(fù)值即式（14-43）表示，可得

式（14-44）就是剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理表達(dá)式，它表示除重力矩以外其他外力矩對(duì)剛體做的功等于剛體機(jī)械能的增量。

如果M′=0，則有

式（14-45）是剛體機(jī)械能守恒的表達(dá)式，它說明當(dāng)除了重力矩以外的外力矩為零時(shí)，剛體在任一個(gè)位置的機(jī)械能與初始位置的機(jī)械能相等，或者說剛體的機(jī)械能是一個(gè)常數(shù)，我們稱之為剛體的機(jī)械能守恒。

五、應(yīng)用舉例

例 如圖14-6所示，兩物體質(zhì)量分別是m1與m2，定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，可視作均勻圓盤。已知m2與桌面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ，求m1下落的加速度和繩子兩端的拉力。

圖14-6

解：由于繩子不可伸長(zhǎng)或者斷裂，質(zhì)量為m1與m2兩滑塊的加速度應(yīng)該相等，按照牛頓第二定律有

m1g-T1=m1a ①

T2-μm2g=m2a ②

對(duì)滑輪用轉(zhuǎn)動(dòng)定律

另根據(jù)繩在滑輪上不打滑的條件有

β=a／r ④

聯(lián)立式①、②、③、④解得

顯然，T1≠T2，但如果我們忽略滑輪的質(zhì)量，式⑥和式⑦將給出T1=T2的結(jié)果。

六、關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念的拓展

關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法，上面已經(jīng)做了詳細(xì)的闡述，主要涉及兩種情況：轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心以及轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)心。但是，這是否包含所有情況呢？答案是否定的。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：地球圍繞太陽旋轉(zhuǎn)（假定地球自轉(zhuǎn)不受太陽的影響，且地球半徑不忽略，地球公轉(zhuǎn)軌道為圓形），此時(shí)地球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何求解呢？假設(shè)地球半徑為r，質(zhì)量為M，公轉(zhuǎn)半徑為R，若按照常規(guī)解法，運(yùn)用平行軸定理，很容易得到

但是根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：“剛體由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，繞z軸旋轉(zhuǎn)，則其相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=”，顯然地球的例子就不適應(yīng)了，因?yàn)榈厍虿坏泄D(zhuǎn)還有自轉(zhuǎn)。嚴(yán)格意義上講，地球上的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞太陽旋轉(zhuǎn)的軌跡不再是圓，而是一種復(fù)雜的擺線，從而傳統(tǒng)的平行軸定理可能是錯(cuò)誤的。下面介紹另一種可能的方法。

我們首先定義兩種慣量。

自轉(zhuǎn)慣量J′：剛體圍繞通過其質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

公轉(zhuǎn)慣量J″：將剛體抽象為質(zhì)點(diǎn)時(shí)圍繞某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

假設(shè)任何旋轉(zhuǎn)的物體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫成J=J′+J″，下面進(jìn)行證明。

證明 （1）對(duì)于質(zhì)點(diǎn)情形。假設(shè)某一質(zhì)點(diǎn)繞某一轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。

情況一：轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)點(diǎn)，由于質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離恒為零，所以有

J′=0，J″=0，J=J′+J″

顯然假設(shè)成立。

情況二：轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點(diǎn)，且質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸為R，則有

J′=0，J″=MR2，J=MR2=J′+J″

顯然假設(shè)成立。

（2）對(duì)于細(xì)桿情形，假設(shè)某一細(xì)桿，長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m。

情況一：轉(zhuǎn)軸通過細(xì)桿質(zhì)心，J″=0，J=J′+J″=J′，假設(shè)成立。

情況二：轉(zhuǎn)軸不通過細(xì)桿質(zhì)心，質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸為l／2，有

上式對(duì)比式（14-19），假設(shè)成立。

同理可證，當(dāng)物體為圓環(huán)、圓盤、薄球殼、球體時(shí)，應(yīng)用平行軸定理都可證明假設(shè)成立，因此我們認(rèn)為對(duì)于地球這種既有自轉(zhuǎn)又有公轉(zhuǎn)的剛體，假設(shè)成立。當(dāng)然，這種舉例式證明的正確性有待進(jìn)一步證明。

七、課后習(xí)題

14-1 一個(gè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，平放在摩擦系數(shù)為μ的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度ω0繞過中心且垂直于桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖14-7所示。試求：

圖14-7

（1）作用于桿的摩擦力矩；

（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。

14-2 質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)桿在平面x Oy內(nèi)，與x軸夾角為α，其一端在原點(diǎn)O，求此桿對(duì)x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

14-3 如圖14-8所示，一個(gè)質(zhì)量為m的人手拉著一繞過定滑輪的繩子勻速往上爬，滑輪的另一端吊一個(gè)質(zhì)量為m的物體B。設(shè)滑輪質(zhì)量亦為m，且均勻分布在其邊沿，求物體B上升的加速度。

圖14-8

14-4 一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上，圓盤與水平桌面的摩擦系數(shù)為μ。開始時(shí)，圓盤靜止。當(dāng)一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v垂直于圓盤半徑打入圓盤邊沿并且嵌在盤邊上后，圓盤開始繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問：

（1）子彈擊中圓盤后圓盤獲得的角速度是多少？

（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

14-5 有一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿（見圖14-9），其一端固定一個(gè)質(zhì)量也為M的小球，且可繞垂直于細(xì)桿的水平軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，組成一球擺?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的子彈以水平速度v射向小球，子彈穿過小球后速率減為v／2，方向不變。試求：

（1）如果要使球擺能在豎直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，子彈射入速度的大小是多少？

（2）如果測(cè)得球擺擺到與轉(zhuǎn)軸同一水平位置時(shí)的角速度為ω1，試計(jì)算此位置球擺的角加速度及對(duì)支點(diǎn)O的作用力。

圖14-9