繞一個(gè)懸點(diǎn)來回?cái)[動的物體，都稱為擺，其周期一般和物體的形狀、大小及密度的分布有關(guān)。但若把尺寸很小的物體懸于一端固定的長度為l且不能伸長的細(xì)繩上，把物體拉離平衡位置，使細(xì)繩和過懸點(diǎn)鉛垂線所成角度小于5°，放手后物體往復(fù)振動，可視為質(zhì)點(diǎn)的振動，其周期T只和繩長l以及當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)，而與物體的質(zhì)量、形狀和振幅的大小都無關(guān)，其運(yùn)動狀態(tài)可用簡諧振動運(yùn)動方程表示，稱為單擺或數(shù)學(xué)擺。如果振動的角度大于5°，則單擺不再做簡諧振動，振動的周期將隨振幅的增加而變大。復(fù)擺是一剛體繞固定的水平軸在重力的作用下做微小擺動的動力運(yùn)動體系，又稱物理擺。復(fù)擺的周期與擺球的尺寸有關(guān)。

一、單擺、復(fù)擺運(yùn)動研究背景

擺與其性質(zhì)是由伽利略發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行初步研究的。第十七講中曾提到，伽利略在意大利比薩大教堂中無意發(fā)現(xiàn)了吊燈的擺動規(guī)律，激發(fā)了他對擺動的研究興趣。他發(fā)現(xiàn)并提出了單擺的等時(shí)性，即小角度振動的單擺的周期與擺動物體的質(zhì)量、形狀和振幅無關(guān)，并通過實(shí)驗(yàn)求得單擺的周期隨擺線長度的二次方根而變動。在此基礎(chǔ)上，荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯經(jīng)過長期的研究，發(fā)現(xiàn)了單擺的周期規(guī)律，確定了單擺做簡諧運(yùn)動的周期公式，此公式為單擺做簡諧運(yùn)動時(shí)的周期T與擺長l、重力加速度g之間的定量關(guān)系。

如擺球的尺寸相當(dāng)大，繩的質(zhì)量不能忽略，在重力作用下，擺球繞通過自身某固定水平軸擺動，視為剛體運(yùn)動，當(dāng)擺角不同時(shí)，其運(yùn)動方程的解也不同。

二、經(jīng)歷的困難

首先，伽利略實(shí)驗(yàn)所用的大小不同的木球、鐵球、石塊、銅球，體積都較大，并不能很好地視其為質(zhì)點(diǎn)，且繩子與小球連接起來也有困難，對擺線的長度測量也有誤差。其次，當(dāng)時(shí)沒有標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)時(shí)工具，伽利略按自己脈搏的跳動來計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們往復(fù)運(yùn)動的時(shí)間總是相等的，因此伽利略無法精確地得到單擺的周期公式。后來，惠更斯在重復(fù)伽利略的實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，單擺的等時(shí)性只是近似成立，當(dāng)擺動幅度增大時(shí)，擺的周期就會變化。惠更斯出眾的數(shù)學(xué)才能幫助他解決了上述困難，他通過精心研究從理論上證明，真正等時(shí)的擺，擺動軌跡是一條擺線。并且，他通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)計(jì)算發(fā)現(xiàn)要使擺動軌跡成一條擺線，單擺擺動時(shí)就必須按照一定的規(guī)律改變擺線懸點(diǎn)的位置。在此基礎(chǔ)上，惠更斯建立了擺運(yùn)動的數(shù)學(xué)理論。

三、擺運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述

1．單擺

如圖18-1所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，繩長為l。當(dāng)繩偏離豎直方向θ角時(shí)，質(zhì)點(diǎn)受重力和繩的張力作用。重力的切向分力mgsinθ決定質(zhì)點(diǎn)沿圓周的切向加速度，根據(jù)牛頓第二定律可得質(zhì)點(diǎn)的切向運(yùn)動方程為

圖18-1

式中，負(fù)號表示切向加速度總與擺角θ增大的方向相反。

（1）當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，忽略阻力，式（18-1）變?yōu)?/p>

整理后得

我們知道，彈簧振子運(yùn)動所滿足的方程為

式（18-2）與式（18-3）有相同的形式，因此小角度的單擺的運(yùn)動也是簡諧振動。

另外，式（18-3）是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為x=Acos（ωt+φ），式中A、φ為任意常數(shù)，由初值條件給定。仿照這個(gè)解的形式，單擺的非線性運(yùn)動做線性近似（利用了sinθ≈θ）后的運(yùn)動方程為

θ=Θcos（ωt+φ）（18-4）

式中，Θ為角振幅，ω=為單擺的角頻率，為單擺的周期，φ為初相位。這樣，伽利略的結(jié)論“單擺的周期隨擺線長度的二次方根而變動”得到了驗(yàn)證。因此，當(dāng)單擺做小角度振動時(shí)，單擺的周期T=2π，完全決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)，僅與重力加速度g和擺長l有關(guān)，而與擺球的質(zhì)量m以及擺幅無關(guān)。

小角度的范圍：因?yàn)?°≈0．087266rad，sin5°≈0．087156，故通常規(guī)定振動角度θ≤5°時(shí)單擺的運(yùn)動可近似為簡諧振動。

（2）當(dāng)θ不是很小時(shí)，sinθ=-…，物體所受的回復(fù)力與擺角θ不成簡單的正比關(guān)系，因此物體也不再做簡諧運(yùn)動。

下面我們來看任意角度下單擺周期公式的推導(dǎo)（忽略阻力）。

設(shè)擺長為l，擺線與豎直方向的夾角為θ，那么單擺的運(yùn)動公式為

令ω=表示角速度，于是有。式（18-5）可改寫成

分離變量得

其通解為

給定初始條件θ|t=0=θ0（0≤θ0≤π），ω|t=0=0，則其特解為

得

設(shè)sinφ=，則

又因?yàn)?θ=2arcs in

化簡式（18-11）得到

式中θ0為擺角，F(xiàn)為第一類完全橢圓積分，上式也可以用級數(shù)表示為

所以，單擺大角度擺動時(shí)的周期與單擺的初始擺角θ0、繩長l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭均有關(guān)。

2．復(fù)擺

復(fù)擺是剛體運(yùn)動，如圖18-2所示。

圖18-2

若復(fù)擺的轉(zhuǎn)動慣量為J，質(zhì)量為m，質(zhì)心C到固定轉(zhuǎn)軸的垂直距離為h。

由剛體定軸轉(zhuǎn)動定理得

（1）當(dāng)擺角θ較小時(shí)，sinθ≈θ，忽略阻力，復(fù)擺的運(yùn)動方程為

即

式中，=ω。由式（18-15）可知，在擺角θ較小的情況下，復(fù)擺的運(yùn)動也是簡諧運(yùn)動，其運(yùn)動學(xué)方程為θ=Θcos（ωt+φ）周期為T=2π。

（2）當(dāng)復(fù)擺擺角較大時(shí)，忽略阻力，其運(yùn)動的微分方程為J=-mghsinθ。方程不存在解析解，只能用數(shù)值解法求解這一方程。將上述方程簡化為兩個(gè)一階微分方程，即

然后可以用計(jì)算精度較高的龍格-庫塔法求解，編寫程序輸出結(jié)果。

因此，在無阻力情況下單擺根據(jù)擺角不同可分為兩種情況。當(dāng)擺角小于等于5°時(shí)，近似推導(dǎo)出單擺做簡諧振動，且周期T=2π，只與重力加速度g以及擺線長度l有關(guān)；當(dāng)單擺振幅變大時(shí)，不再做簡諧振動，根據(jù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得出其周期與振幅有關(guān)，振幅越大，周期也隨之增大。

而復(fù)擺是繞不通過質(zhì)心的水平固定軸擺動的剛體的擺動，忽略阻力時(shí)，根據(jù)M=Jβ得出運(yùn)動方程。當(dāng)擺角較小時(shí)，近似推導(dǎo)出復(fù)擺的運(yùn)動也是簡諧振動，且周期T=2π。當(dāng)復(fù)擺振幅變大時(shí)，方程不存在解析解，需要通過編程來進(jìn)一步研究復(fù)擺的振幅對周期是否有影響。

四、擺運(yùn)動方程的物理解析

從上述討論可知，單擺及復(fù)擺只有在做小角度擺動的情況下，其運(yùn)動才是簡諧振動，其原因就在于它們所受的回復(fù)力F∝-sinθ都是非線性力。若θ很小，則可作泰勒公式展開sinθ=θ-（-）…，略去高階項(xiàng)得到F∝-θ的線性關(guān)系，進(jìn)而得到簡諧振動滿足的動力學(xué)方程式+ω2θ=0。這個(gè)處理方法屬于數(shù)學(xué)上的線性近似，其前提條件是θ趨向于0，只有在θ=0附近的小區(qū)域中，直線才與正弦曲線近似重合。在物理學(xué)上，從勢能的角度進(jìn)行分析，單擺或復(fù)擺在運(yùn)動過程中重力勢能的變化可以表示為Ep=mgr C（1-cosθ），式中r C是質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。由于cosθ=1--…，在小角度擺動的情況下，略去θ4及以上各高階項(xiàng)，勢能函數(shù)Ep≈mgr Cθ2，其形式與彈簧振子的彈性勢能相仿，所以，一個(gè)做微振動的系統(tǒng)一般都可以當(dāng)作簡諧振動處理。

五、存在的問題

（1）復(fù)擺大角度振動時(shí)的運(yùn)動分析問題。由于大角度復(fù)擺的運(yùn)動微分方程不存在解析解，因此我們需要借助計(jì)算機(jī)模擬得到具體問題的具體解。

（2）考慮阻力時(shí)，大角度單擺以及復(fù)擺的周期問題。這個(gè)問題如今的解答都是通過計(jì)算機(jī)模擬仿真得到。

六、意義及影響

在發(fā)現(xiàn)了擺的等時(shí)性后，伽利略很想應(yīng)用擺的等時(shí)性指示時(shí)間，但是他從事科學(xué)活動遭到了教會的迫害。1636年，伽利略已經(jīng)雙目失明，還向荷蘭政府建議試制擺鐘，卻沒有如愿。1656年，荷蘭科學(xué)家惠更斯完成了伽利略的遺愿，從理論上研究完善了鐘擺及其理論，在《擺鐘》（1658年）及《擺式時(shí)鐘或用于時(shí)鐘上的擺的運(yùn)動的幾何證明》（1673年）中提出了著名的單擺周期公式。在研制擺鐘時(shí)，惠更斯制作了一個(gè)秒擺（周期為2秒的單擺），導(dǎo)出了單擺的運(yùn)動公式。同時(shí)他應(yīng)用擺的等時(shí)性，造出了一座帶擺的時(shí)鐘，利用重錘做單擺的擺錘，由于擺錘可以調(diào)節(jié)，計(jì)時(shí)就比較準(zhǔn)確。擺鐘的出現(xiàn)大大提高了時(shí)鐘的精確度，直至今天仍在使用。擺鐘的出現(xiàn)也為后世科學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)間的精確測量作出了巨大的貢獻(xiàn)。單擺不僅是準(zhǔn)確測定時(shí)間的儀器，也可用來測量重力加速度的變化。只要測出擺長l和周期T，就可以算出重力加速度；而復(fù)擺可以應(yīng)用于許多物理實(shí)驗(yàn)，測量重力加速度以及測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量，并運(yùn)用于機(jī)械制造及生產(chǎn)中。

七、課后習(xí)題

18-1 有一單擺，擺長為1．0m，小球質(zhì)量為10g，t=0時(shí)小球正好經(jīng)過θ=-0．06rad處，并以角速度=0．2rad／s向平衡位置運(yùn)動。設(shè)小球的運(yùn)動可看成簡諧振動，試求：

圖18-3

（1）角頻率、頻率和周期；

（2）小球的振動方程。

18-2 如圖18-3所示，質(zhì)量為m的密度計(jì)，放在密度為ρ的液體中。已知密度計(jì)圓管的直徑為d。試證明：推動密度計(jì)后，在豎直方向的振動為簡諧振動，并計(jì)算周期。

18-3 如圖18-4所示，質(zhì)量為m，半徑為r的均勻?qū)嵭男∏蛟诎霃綖镽的球形碗底做純滾動，求微小振動的周期。

18-4 對于諧振子，若廣義動量為p，廣義坐標(biāo)為q，則有∮pdq=，其中E為諧振子的能量，ν為諧振子振動頻率，積分在振動的一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行，試就彈簧和單擺的情況證明此式。

圖18-4