二、數(shù)學(xué)概念的表征

數(shù)學(xué)概念是所有陳述性知識(shí)的基礎(chǔ)，也是思維的基本單位。從數(shù)學(xué)概念的獲得過(guò)程分析，數(shù)學(xué)概念具有過(guò)程特征和對(duì)象特征的二重性，活動(dòng)過(guò)程的概念表征與獲得結(jié)果的概念表征有不同的心理機(jī)制；從概念之間各關(guān)系角度分析，概念之間具有橫向的映射與對(duì)應(yīng)的聯(lián)系結(jié)構(gòu)與縱向的層次結(jié)構(gòu)所形成的概念聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

1．?dāng)?shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)及其表征

數(shù)學(xué)概念包括類別（對(duì)象集合S）、特征（對(duì)S中元素的共同特征的描述）和模型（S中的元素）三個(gè)要素，如初中“函數(shù)”概念中，類別指的是兩個(gè)變量之間的各種依存關(guān)系：像勻速運(yùn)動(dòng)物體中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與位移之間的關(guān)系、某地氣溫與時(shí)間之間的關(guān)系、在銷售價(jià)格確定的情況下銷售收入與商品銷售量之間的關(guān)系等；特征指的是兩個(gè)變量之間的本質(zhì)聯(lián)系：當(dāng)自變量確定時(shí)，函數(shù)值唯一確定；而模型指的是個(gè)體把類別中的某一個(gè)對(duì)象作為“函數(shù)”的代表經(jīng)過(guò)加工保存在自己的記憶中——形成概念的意象表征。

1．1數(shù)學(xué)概念的過(guò)程特征的表征。它指的是學(xué)生形成概念的思維操作過(guò)程中對(duì)概念的表征。這種表征是伴隨著學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的過(guò)程而體現(xiàn)出從模糊到清晰的過(guò)程，數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程從概念類別分析有兩種形式：①概念同化是通過(guò)特征添加來(lái)研究概念類別集合的子集；②概念順應(yīng)是對(duì)一類概念類別的特征進(jìn)行再抽象后所形成的新的類別集合；這兩種形成方式都是在概念聯(lián)系中表征新的概念。在形成初中“函數(shù)”概念的過(guò)程中，學(xué)生大腦中首先具有各種不同的變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的辨別、分類過(guò)程，從中形成對(duì)函數(shù)概念的過(guò)程特征的理解，而且初中“函數(shù)”定義是結(jié)合過(guò)程特征進(jìn)行的：“在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于一個(gè)變量x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，x叫自變量”，而在體驗(yàn)這種過(guò)程特征時(shí)，圖形、圖式與意象具有重要的作用。

學(xué)生在形成數(shù)學(xué)概念的過(guò)程階段對(duì)概念表征的心理模式是“模型＋特征＋概念聯(lián)系”。

模型是對(duì)象集合中的元素，是個(gè)體聚焦而且在大腦中留下鮮明知覺(jué)的一種意象，特征是個(gè)體對(duì)模型意象的一種意義注釋（用語(yǔ)言文字或數(shù)學(xué)符號(hào)），例如，盡管數(shù)學(xué)上有圓的各種等價(jià)的定義，但學(xué)生頭腦中對(duì)圓的意象表征“Ο”是占據(jù)中心位置的表征方式，學(xué)生對(duì)圓的線段運(yùn)動(dòng)定義、點(diǎn)集定義、軌跡定義、坐標(biāo)定義（方程）的理解和記憶都需要建立在對(duì)圓的意象進(jìn)行特征分析的基礎(chǔ)上，意象是個(gè)體大腦中建立的數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在知覺(jué)對(duì)應(yīng)物，數(shù)學(xué)概念的意象表征往往具有直觀的視覺(jué)表象，具有形象性。

1．2對(duì)數(shù)學(xué)概念的“對(duì)象”特征的表征，是在對(duì)“過(guò)程”特征表征的基礎(chǔ)上進(jìn)行縮略——以語(yǔ)言符號(hào)或圖標(biāo)的形式進(jìn)行表征，這種縮略的神經(jīng)機(jī)制是神經(jīng)激活擴(kuò)散的模塊化。由于學(xué)生的個(gè)體差異，他們的概念“過(guò)程”特征與“對(duì)象”特征的表征階段的邊界并不清晰，有時(shí)是以共存的形式出現(xiàn)的，這就導(dǎo)致了數(shù)學(xué)概念表征的差異性：不同的個(gè)體對(duì)同一數(shù)學(xué)概念可能用不同的表征方式。

如關(guān)于“函數(shù)”的概念，有的用形式記號(hào)f（x）表征，有的是用函數(shù)圖像，甚至更為具體的函數(shù)圖像（一元二次函數(shù)圖像）進(jìn)行表征。

意象表征具有片面性，意象的片面性指的是個(gè)體的概念意象不一定能反映概念的本質(zhì)屬性，例如，學(xué)生關(guān)于“函數(shù)”的概念意象就有以下錯(cuò)誤：函數(shù)只對(duì)應(yīng)一個(gè)法則，所以分段函數(shù)不是函數(shù)；函數(shù)圖像應(yīng)該是連續(xù)的，所以取整函數(shù)不是函數(shù)；函數(shù)自變量的變化必定會(huì)引起因變量的變化，所以f（x）＝8，x∈（1，2）不是函數(shù)；函數(shù)一定包含代數(shù)表達(dá)式，所以y＝±是一個(gè)函數(shù)。而下列對(duì)應(yīng)關(guān)系則不是函數(shù)：在若干次數(shù)學(xué)測(cè)試中，小明的成績(jī)分別為67分、84分、95分、80分，因?yàn)楦揪驼也坏揭粋€(gè)代數(shù)表達(dá)式與之對(duì)應(yīng)。

意象表征的缺點(diǎn)主要靠特征表征和概念聯(lián)系表征來(lái)彌補(bǔ)，如對(duì)與圓，我們可以用下面的綜合表征模式：

概念表征的意象性來(lái)源于個(gè)體接受到的大量的具有相同特征的視覺(jué)刺激所引起的空間表征加工，這種空間加工在大腦中能進(jìn)行定位，如顏色與形狀等客體特征是從枕頁(yè)到顳頁(yè)的腹側(cè)視覺(jué)通路上的層級(jí)連接區(qū)域得到表征的，而運(yùn)動(dòng)等空間特征是在從枕頁(yè)到頂頁(yè)的背側(cè)通路上得到表征的。由于這些加工具有同時(shí)激活的自動(dòng)加工特征，因此具有使用注意資源的最小性，導(dǎo)致使用圖形和空間表征的喜好，即使在代數(shù)概念和抽象概念的表征中，也往往借助于意象圖形（圖式）來(lái)表征，如在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，用圖形作為意象進(jìn)行表征，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減運(yùn)算時(shí)，用數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)理解運(yùn)算的意義，即使在學(xué)習(xí)群、環(huán)、域等抽象概念時(shí)，學(xué)生還是需要尋找到先前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)、式、變換等意象來(lái)幫助理解這些抽象概念。另一方面，數(shù)學(xué)概念的表征需要在意象的基礎(chǔ)上添加數(shù)學(xué)特征注釋，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)特征的捆綁，就只能形成概念的表象而不能形成數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，如果不對(duì)“圓”的意象進(jìn)行特征注釋，對(duì)“圓”的理解就只能停留在模型識(shí)別水平（那不是數(shù)學(xué)）而不能形成對(duì)“圓”的概念的本質(zhì)表征，也就是說(shuō)，不能建立起表達(dá)視覺(jué)意象“○”與表達(dá)“圓”的數(shù)學(xué)特征之間神經(jīng)局部網(wǎng)絡(luò)的同步激活機(jī)制。如下圖：

圖4－2－1

2．概念之間聯(lián)系的結(jié)構(gòu)與表征

數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系的廣泛性和良好的系統(tǒng)性，概念之間聯(lián)系的方式有橫向的同級(jí)聯(lián)系（等價(jià)、對(duì)偶、對(duì)應(yīng)）和縱向的層級(jí)聯(lián)系（抽象），因此數(shù)學(xué)概念的表征往往需要用低層級(jí)的概念來(lái)表征高層級(jí)的概念。數(shù)學(xué)中的相互關(guān)系有很多種，但基本的關(guān)系是序關(guān)系、運(yùn)算關(guān)系和映射關(guān)系。

圖4－2－2

2．1定義：對(duì)于集合A、B，則A×B的任意一個(gè)子集R就叫集合A、B之間的一個(gè)關(guān)系（如圖4－2－2），如果對(duì)于a∈A，b∈B，叫a、b之間具有關(guān)系R，記做aRb。

2．2序關(guān)系與概念抽象：

對(duì)于集合X，如果R是X×X上的二元關(guān)系（也叫X上的二元關(guān)系），R滿足下面條件，則叫R是X上的序關(guān)系：

Aa∈X，aRa；（自反性）

若aRb，bRc，則有aRc；（傳遞性）

若aRb，bRa，則a＝b（反對(duì)稱性）

在數(shù)學(xué)概念體系中，強(qiáng)抽象（從一般到特殊）和弱抽象（從特殊到一般）都符合這種序關(guān)系的要求，因此數(shù)學(xué)概念的強(qiáng)抽象和弱抽象是一種序關(guān)系，另外，任何其他符合序關(guān)系的抽象叫廣義抽象。如果一組概念滿足C₁R₁C₃R₃A R_nC_n，表達(dá)式中的R_i（I＝1，2，…，n－1）表示弱抽象、強(qiáng)抽象或廣義抽象3種數(shù)學(xué)抽象關(guān)系中的一種，則稱C₁R₁C₂R₂C₃R₃A R_nC_n為一條概念鏈；如果2條概念鏈的交集非空，則稱這2條鏈相交；如果m條概念鏈中的每一條都至少與其余的一條鏈相交，則稱m條鏈所組成的概念網(wǎng)絡(luò)的圖式為概念系。

數(shù)學(xué)概念強(qiáng)抽象和弱抽象的概念類別之間的關(guān)系是：

圖4－2－3

因此對(duì)應(yīng)著心理上的強(qiáng)抽象和弱抽象的是概念類別之間的包含（被包含）關(guān)系。人們可以用概念的抽象關(guān)系（概念鏈、概念系）對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類表征，如對(duì)有理數(shù)與有理式概念關(guān)系可以用如圖4－2－4的概念系進(jìn)行表征：

圖4－2－4

一方面，從整數(shù)到有理數(shù)和從整式到有理式是一種通過(guò)運(yùn)算產(chǎn)生的弱抽象，另一方面，從數(shù)到式通過(guò)把數(shù)的一般化而進(jìn)行弱抽象，但抽象過(guò)程的相似性為在學(xué)生的心理中產(chǎn)生類比的思維活動(dòng)奠定了同態(tài)結(jié)構(gòu)相似表征的基礎(chǔ)。

2．3等價(jià)關(guān)系與概念域。

如果集合X上的關(guān)系～滿足下面條件，則叫關(guān)系～為等價(jià)關(guān)系：

a∈X，a～a

若a～b，b～c，則有a～c

若a～b，則b～a。

與數(shù)學(xué)概念a的表征等價(jià)的不同表征模型的集合叫a的概念域。如果兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象具有等價(jià)關(guān)系，則在大腦中用概念域的方式來(lái)表征它們之間的相互關(guān)系，像具有相似、全等、同解、相等、平行、同構(gòu)、同態(tài)等映射關(guān)系的數(shù)學(xué)概念（對(duì)象），用概念域的方式對(duì)這些對(duì)象進(jìn)行表征。人們可以用等價(jià)關(guān)對(duì)對(duì)象進(jìn)行分類，其內(nèi)在的表征方式是以概念域?yàn)榛鶞?zhǔn)進(jìn)行的分類表征，而概念域表征方式的認(rèn)知神經(jīng)學(xué)證據(jù)是人腦信息加工具有局部特異性。

2．4概念之間的對(duì)偶關(guān)系及其表征。

對(duì)偶空間的定義：對(duì)于線性空間V，V上的一切線性泛函的集合L（V）叫線性空間V的對(duì)偶空間。L（V）可以理解為從V到實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）域的線性映射的集合。

例如：設(shè)有實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的線性空間X到Y(jié)的線性變換式：

中，如果矩陣是一個(gè)滿秩矩陣，那么線性空間Y與線性空間X就是對(duì)偶的空間，系數(shù)空間也叫變量空間的對(duì)偶空間。如果令n＝2，a₁₁＝a，a₁₂＝bi，a₂₁＝c，a₂₂＝di，當(dāng)X為實(shí)數(shù)空間時(shí)，Y就是復(fù)數(shù)空間，因此實(shí)空間與復(fù)空間具有對(duì)偶關(guān)系，虛數(shù)空間與實(shí)數(shù)空間是對(duì)偶空間。

還有，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Y＝｛a₀＋a₁x＋a₂x²＋Λ＋a_nxⁿ｝＝［a₀ a₁ Λ a_n］是系數(shù)空間｛a₀ a₁ Λ a_n｝的對(duì)偶空間，也是變量空間（1　x Λ xⁿ）的對(duì)偶空間。

平面上的點(diǎn)與起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量是同構(gòu)的線性空間，如果把平面上點(diǎn)（a，b）所對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)固定的角度得到向量，則向量的集合與向量的集合就具有對(duì)偶關(guān)系，特別地，把一個(gè)向量空間中的每一個(gè)向量旋轉(zhuǎn)90°得到自己的一個(gè)對(duì)偶的向量空間，例如，圓上的所有點(diǎn)對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)以圓心為起點(diǎn)的向量空間，那么過(guò)圓上的點(diǎn)作切線，這些切線所代表的向量也構(gòu)成一個(gè)向量空間，這兩個(gè)向量空間是對(duì)偶空間，這就是圓上的點(diǎn)的性質(zhì)與圓的切線性質(zhì)具有對(duì)偶關(guān)系的內(nèi)在原因：

圖4－2－5

學(xué)生對(duì)概念的對(duì)偶關(guān)系的表征是最薄弱的，因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)過(guò)程中往往忽視這種概念之間的關(guān)系，但對(duì)偶思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本思想之一，我們有必要在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生用合適的方法表征概念之間的對(duì)偶關(guān)系。學(xué)生對(duì)對(duì)偶關(guān)系的表征是用類比的方法通過(guò)圖式相似改造來(lái)進(jìn)行表征，如用實(shí)數(shù)的分類圖式改造后變成復(fù)數(shù)的分類圖式，實(shí)數(shù)運(yùn)算表征改造成復(fù)數(shù)的運(yùn)算圖式，甚至有的學(xué)生直接把實(shí)數(shù)的序關(guān)系表征圖式直接用到復(fù)數(shù)的表征，造成對(duì)復(fù)數(shù)的錯(cuò)誤表征。因此，概念對(duì)偶關(guān)系表征中要注意概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，把原來(lái)的表征圖式進(jìn)行相似改變時(shí)應(yīng)特別注意概念之間的區(qū)別，防止出現(xiàn)表征的扭曲。

3．?dāng)?shù)學(xué)概念表征的特點(diǎn)。

3．1數(shù)學(xué)概念表征的意象性。

在數(shù)學(xué)概念的表征中，意象具有中心地位。首先，數(shù)學(xué)概念的表征起源于意象，學(xué)生首先要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的類別對(duì)象進(jìn)行分類，明確對(duì)象的集合邊界，然后選取具有典型性的對(duì)象作為概念的代表進(jìn)行加工，建立概念的模型。其次，學(xué)生大腦中保持的往往是一種概念的意象而不是語(yǔ)言符號(hào)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的表征圖式是意象為主體的附加意象各種注釋的帶有過(guò)程體驗(yàn)的綜合體。

3．2數(shù)學(xué)概念表征的綜合性。

由于意象是對(duì)數(shù)學(xué)概念直觀表象，它具有片性，因此需要對(duì)概念進(jìn)行命題和語(yǔ)言符號(hào)的注釋，進(jìn)行概念之間聯(lián)系的概念域和概念系的表征，如圖4－1是綜合運(yùn)用意象、語(yǔ)言符號(hào)和命題對(duì)圓的概念進(jìn)行表征的例子。

3．3數(shù)學(xué)概念表征的多樣性。

由于學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平和認(rèn)知加工方式的不同，對(duì)同一個(gè)概念可能有不同的表征方式，表征沒(méi)有對(duì)錯(cuò)，只有好差，學(xué)生可能有不同的概念意象和不同的意象注釋，數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過(guò)討論和交流，改善學(xué)生的概念表征方式，建立概念之間的廣泛聯(lián)系。

3．4數(shù)學(xué)概念表征的二重性。

有些數(shù)學(xué)概念（尤其是代數(shù)概念）具有二重性：既表現(xiàn)為一種過(guò)程操作，又表現(xiàn)為對(duì)象、結(jié)構(gòu)。例如a＋b，既代表2個(gè)不相交集合中的元素合并或添加起來(lái)的過(guò)程，又代表合并或添加后的結(jié)果。正是數(shù)學(xué)概念的二重性，導(dǎo)致了它在表征時(shí)的二重性，作為過(guò)程操作以程序性知識(shí)產(chǎn)生式系統(tǒng)的方式表征，作為對(duì)象、結(jié)構(gòu)則是以陳述性知識(shí)中的概念表征方式進(jìn)行表征。形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，往往要經(jīng)歷由過(guò)程開(kāi)始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)象的認(rèn)知過(guò)程，而且最終結(jié)果是2者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中共存，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)分別發(fā)揮作用。如學(xué)習(xí)函數(shù)概念，總是先按表達(dá)式找若干個(gè)自變量的值，去計(jì)算對(duì)應(yīng)的因變量的值，再把它變?yōu)橐粋€(gè)以定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系3要素構(gòu)成的對(duì)象。一般來(lái)講，數(shù)學(xué)概念表征與這個(gè)順序相吻合，但有時(shí)會(huì)根據(jù)具體的問(wèn)題情境作過(guò)程表征，或作對(duì)象表征，甚至過(guò)程與對(duì)象共存的表征。

3．5數(shù)學(xué)概念表征的發(fā)展性。

隨著學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累和知識(shí)的增長(zhǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的表征也在不斷完善。學(xué)生概念表征是沿著過(guò)程＋意象→意象→意象＋注釋（圖式）→語(yǔ)言符號(hào)→概念網(wǎng)絡(luò)的模式進(jìn)行不斷完善的。如“三角函數(shù)”的概念，先從直角三角形的邊、角關(guān)系發(fā)現(xiàn)角度與邊的比值之間的關(guān)系（過(guò)程），建立角度變化與比值變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把原來(lái)的函數(shù)概念（實(shí)數(shù)上的對(duì)應(yīng)關(guān)系）擴(kuò)展到角與實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系——三角函數(shù)（泛函），這時(shí)，學(xué)生以角度與實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表征三角函數(shù)，到高中后，利用單位圓定義三角函數(shù)，同時(shí)通過(guò)單位圓上的弧把角度轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)值，使三角函數(shù)納入到函數(shù)概念體系中，同時(shí)建立起三角函數(shù)的第一個(gè)意象：?jiǎn)挝粓A中的有向線段，再通過(guò)利用單位圓畫(huà)三角函數(shù)圖象建立起三角函數(shù)的另一個(gè)意象——函數(shù)圖象，這樣，對(duì)三角函數(shù)的表征便有了圖象這個(gè)形象的意象工具，然后研究三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性，對(duì)三角函數(shù)圖象進(jìn)行注釋，形成概念圖式，在此基礎(chǔ)上，把三角函數(shù)作為對(duì)象進(jìn)行各種運(yùn)算（符號(hào)化），并建立三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活中聯(lián)系，與其它概念之間的聯(lián)系，建立概念網(wǎng)絡(luò)。