二、認(rèn)知活動(dòng)的組織策略

數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)主要包括以下幾種活動(dòng)：數(shù)學(xué)閱讀與感知活動(dòng)、數(shù)學(xué)概括活動(dòng)、數(shù)學(xué)表述與交流、數(shù)學(xué)記憶活動(dòng)、數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)。

1．組織學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀與感知活動(dòng)的基本策略。

（1）數(shù)學(xué)化活動(dòng)策略：組織學(xué)生用數(shù)學(xué)的數(shù)量、字母、圖表來刻畫和表述生活中的實(shí)際問題和針對某一數(shù)學(xué)概念、原理，尋找生活中的應(yīng)用模型，即所謂的“生活數(shù)學(xué)化”和“數(shù)學(xué)生活化”。

（2）數(shù)學(xué)感知的多種通道協(xié)調(diào)整合策略：組織學(xué)生通過視覺、觸覺、聽覺等多種通道對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行感知，并通過比較、綜合，經(jīng)歷從生活語言到數(shù)學(xué)語言的升華，形成對數(shù)學(xué)對象具有多種通道綜合協(xié)調(diào)的完整數(shù)學(xué)表象。

（3）數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)化感知策略：分析數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)要素和這些結(jié)構(gòu)要素之間的相互關(guān)系。

2．組織學(xué)生數(shù)學(xué)概括活動(dòng)的基本策略。

（1）概括數(shù)學(xué)概念。組織學(xué)生經(jīng)歷以下的概念形成過程：

圖9－2－1

在經(jīng)歷這種概念的形成過程時(shí)，類別實(shí)例的豐富性和典型性十分重要，類別實(shí)例的豐富性對拓寬概念的應(yīng)用遷移領(lǐng)域具有非常重要的作用，但是類別實(shí)例的典型性可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)概念的縱向遷移水平，是真正有心理意義的活動(dòng)資源。例如，在有理數(shù)有關(guān)概念的學(xué)習(xí)中，既要為學(xué)生提供豐富的相反意義的量的不同類別的實(shí)例，以便形成正數(shù)和負(fù)數(shù)的正確概念，又要選擇具有典型意義的實(shí)例（如，直線上東西方向的位置的刻畫），因?yàn)橹挥凶プ〉湫蛯?shí)例的精細(xì)加工，才能使學(xué)生的概括活動(dòng)具有深刻性。如東西方向直線上點(diǎn)的不同類別可以提供正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的實(shí)例和分類問題情境、數(shù)軸概念的實(shí)際情境；如討論直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離則又是絕對值的問題情境實(shí)例。這樣，通過多次使用典型實(shí)例，不但使學(xué)生具有這些概念的典型實(shí)例的探究經(jīng)歷，而且更容易形成這些概念之間的相互聯(lián)系，形成概念關(guān)系心理結(jié)構(gòu)。

（2）概括數(shù)學(xué)原理。在組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)原理的概括活動(dòng)時(shí)，應(yīng)該首先搞清楚目標(biāo)原理與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)原理的關(guān)系。目標(biāo)原理與學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系主要有以下幾種：下位關(guān)系、上位關(guān)系和平列關(guān)系，與之相對應(yīng)的數(shù)學(xué)探究與概括活動(dòng)有：把一般原理遷移應(yīng)用到特殊情境的概括（演繹應(yīng)用）、從具體的同類實(shí)例中概括一般規(guī)律（歸納與綜合）、通過結(jié)構(gòu)映射進(jìn)行類比概括。

然后根據(jù)這種關(guān)系確定提供怎樣的活動(dòng)平臺(tái)。可以考慮的基本平臺(tái)是：

①在一般到特殊的遷移中主要是數(shù)學(xué)一般原理的結(jié)構(gòu)回憶、對新情境問題的結(jié)構(gòu)分析、原理結(jié)構(gòu)與問題結(jié)構(gòu)的比較、原理結(jié)構(gòu)的識(shí)別與問題結(jié)構(gòu)的補(bǔ)全與轉(zhuǎn)化活動(dòng)。例如在人教版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教材八年級（上）第十一章《一次函數(shù)》中，教材有意識(shí)地先安排對變量與函數(shù)概念的介紹、函數(shù)的描述方法介紹，然后研究正比例函數(shù)和一次函數(shù)的描述、性質(zhì)。把正比例函數(shù)（一次函數(shù)的特例）放在一次函數(shù)之前進(jìn)行討論，從函數(shù)關(guān)系、圖象及其性質(zhì)的關(guān)系來說是從特殊到一般的概括，而從研究的方法來說，都是先討論函數(shù)關(guān)系的描述、再討論函數(shù)性質(zhì)，最后討論函數(shù)模型的應(yīng)用，因此，是函數(shù)一般研究方法的應(yīng)用，是一般到特殊的原理概括。在正比例函數(shù)和一次函數(shù)的教學(xué)中，我們可以用以下的順序展開學(xué)生的學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)：

圖9－2－2

當(dāng)然，在一次函數(shù)的研究中，還需要引導(dǎo)學(xué)生比較正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系（表示式、圖象）。在歸納函數(shù)性質(zhì)、研究函數(shù)圖象特征與函數(shù)表示式系數(shù)關(guān)系的過程中，則是從特殊到一般的歸納。

②在特殊到一般的概括中主要的是思考一類對象的共同特性，如一類數(shù)與式的共同特性、一類圖形圖表的共同特性、一類關(guān)系的共同特性的探究活動(dòng)。這種探究的基本思維方式是特殊化和一般化方法；重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的作用，通過做一做、想一想、變一變等實(shí)驗(yàn)活動(dòng)形成對象特征的概括。同時(shí)，在感性地獲得知識(shí)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律后及時(shí)進(jìn)行理性分析和證明，解釋發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的合理性和發(fā)現(xiàn)過程的合理性。如在函數(shù)性質(zhì)的研究中，首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，形成函數(shù)性質(zhì)的直觀感知，然后通過歸納發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，最后需要用邏輯的方法證明得到的結(jié)論（初中階段不作要求，高中階段有要求）。

③進(jìn)行類比與聯(lián)想概括時(shí)，需要進(jìn)行目標(biāo)結(jié)構(gòu)與映像結(jié)構(gòu)的相似性比較活動(dòng)，從中提出對新對象的特性的猜想，然后通過邏輯方法進(jìn)行證實(shí)或證偽。

（3）概括數(shù)學(xué)思想方法。分三個(gè)階段組織活動(dòng)，首先是提供貫穿某一思想方法的數(shù)學(xué)問題由學(xué)生進(jìn)行解決（可以獨(dú)立解決也可以模仿解決），形成目標(biāo)思想方法的內(nèi)隱學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；其次是歸納這種思想方法；第三階段是針對這種思想方法進(jìn)行變式訓(xùn)練，使思想方法變成學(xué)生的外顯記憶與內(nèi)隱經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合的心理傾向。而且，第一階段與第二、三階段最好是有一定的延時(shí)，而第二階段與第三階段應(yīng)該注意及時(shí)銜接。

3．組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的基本策略是：

（1）數(shù)學(xué)交流活動(dòng)應(yīng)建立在學(xué)生進(jìn)行自主探究并初步獲得結(jié)果的基礎(chǔ)上。

（2）設(shè)置學(xué)生交流的平臺(tái)，盡可能地使每個(gè)學(xué)生都有發(fā)表意見的機(jī)會(huì)，為節(jié)約時(shí)間，提高效率，可以進(jìn)行異質(zhì)編組討論，各組主題發(fā)言的方法；也可以通過開辟專欄，學(xué)生書面表達(dá)的方法。

（3）有計(jì)劃地對某些數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行局部的邏輯整理，如知識(shí)小結(jié)等。

（4）組織學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，組織同一專題組成員進(jìn)行交流。

（5）通過進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)習(xí)效率，騰出時(shí)間，保證學(xué)生的交流活動(dòng)。

4．組織學(xué)生記憶活動(dòng)的基本策略。

（1）延長學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、原理、方法、策略和思想的過程性經(jīng)歷與體驗(yàn)的時(shí)間，促進(jìn)學(xué)生建立數(shù)學(xué)對象的形成過程的完整的心理表象，形成學(xué)生對數(shù)學(xué)對象在理解基礎(chǔ)上的內(nèi)隱的、直觀的加工經(jīng)驗(yàn)。

（2）通過探索、交流把數(shù)學(xué)對象提升到具有結(jié)構(gòu)化和抽象化的對象特征的認(rèn)識(shí)層次。

（3）通過學(xué)生小結(jié)，集中幾分鐘時(shí)間，讓學(xué)生在課內(nèi)進(jìn)行放映式的短時(shí)記憶，強(qiáng)化過程性與對象性之間的心理聯(lián)結(jié)。

（4）通過知識(shí)之間的聯(lián)系與小結(jié)，建立不同的數(shù)學(xué)對象之間的聯(lián)系，這樣既是對數(shù)學(xué)對象系統(tǒng)化特征記憶訓(xùn)練，又是數(shù)學(xué)對象的延時(shí)記憶，可以把數(shù)學(xué)對象納入長期記憶中，形成具有開放性，多結(jié)點(diǎn)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過內(nèi)隱記憶與外顯記憶的結(jié)合，即時(shí)記憶與延時(shí)記憶的結(jié)合，提高數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化記憶的效率，減少遺忘的影響。

（5）在學(xué)生初始學(xué)習(xí)時(shí)就重視知識(shí)線索的形成，引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的線索組織知識(shí)，形成自我參照線索，便于在知識(shí)應(yīng)用時(shí)能夠順利提取。

5．組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)的基本策略是：

（1）在新知識(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中強(qiáng)化現(xiàn)實(shí)情境的作用，在知識(shí)獲得的過程中使知識(shí)一開始就與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用情境相聯(lián)系。

（2）強(qiáng)化“現(xiàn)實(shí)情境——提出問題——建立數(shù)學(xué)模型——解決數(shù)學(xué)問題——解釋結(jié)果的實(shí)際意義——數(shù)學(xué)模型的拓廣”的數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展，在平時(shí)學(xué)習(xí)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。

（3）通過單元復(fù)習(xí)中有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用訓(xùn)練、數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用策略的專題研究，促進(jìn)學(xué)生形成解決問題的基本策略，體會(huì)數(shù)學(xué)基本思想的應(yīng)用。