（數(shù)學，牛津）

-1的平方根或許是數(shù)學里最難捉摸的一個數(shù)字。幾千年來，歷史上所有的偉大數(shù)學家都在不懈地努力鉆研這個難題，但至今仍然沒有人能徹底解決它。當然，這個問題并不僅僅局限于-1，還適用于所有負數(shù)。平方根是平方的逆運算：3 × 3 = 9，則9的平方根為3；2 × 2 = 4，則4的平方根為2；1 × 1 = 1，則1的平方根為1。但是該定義并不適用于負數(shù)，因為兩個負數(shù)相乘結(jié)果為正數(shù)，如（-2）×（-2） =（+）4，（-1） × -1 =（+）1。

那么，負數(shù)的平方根到底應該如何計算呢？答案是無法計算，數(shù)學家用字母“i”來表示它，這是英語單詞imaginary的縮寫，意為-1的平方根是一個“想象的數(shù)字”，中國人將其命名為“虛數(shù)”。實際上，或許稱之為 “不可能的數(shù)字”、“荒謬的數(shù)字”，或者干脆叫“傻瓜數(shù)字”更為合適，因為這樣的數(shù)似乎根本就不存在。但今時今日，我們似乎又離不開虛數(shù)，因為虛數(shù)對于先進的量子科學、飛機機翼和懸索橋設(shè)計都非常重要。之所以說這些數(shù)字是“想象出來的”，那是因為我們無法用它來標簽任何實際數(shù)字。但與此同時，它們又是“真實存在的”，因為虛數(shù)也是真實世界的一個組成部分。這就構(gòu)成了一個悖論：虛數(shù)既是想象出來的又是真實存在的，既是不可能的又是可能的。

古埃及人很早就發(fā)現(xiàn)了這一模棱兩可的概念。大約兩千多年前，偉大的古希臘數(shù)學家亞歷山大港的希羅（Hero of Alexandria）在計算金字塔尖部分體積的時候就遇到過這個問題。在計算的過程中，希羅需要知道81-144的平方根是多少，答案當然是但是因為平方根下的數(shù)字為負數(shù)，因此無法進行下一步計算。于是希羅直接去掉負號，表示計算結(jié)果為這當然是不對的，但是除此之外希羅還能有什么別的辦法呢？要知道，在他那個時代，人們對負數(shù)這一概念尚且持保留態(tài)度，完全無法接受負數(shù)的平方根。

中世紀的數(shù)學家們在解三次方程的時候也會遇到這個問題，但他們直接將負數(shù)的平方根歸為“不可能數(shù)字”這一類別?？磥硎菚r候讓局外人出面解決這個讓數(shù)學家束手無策的無解難題了。果然，最終打破這個僵局的竟然是意大利聲名狼藉的星相家卡爾達諾（Girolamo Cardano）。他后來榮升梵蒂岡的御用星相專家，此前早在1545年就已經(jīng)在其論著《大術(shù)，或論代數(shù)法則》（Ars Magna）中探究-1的平方根這一數(shù)學難題。他認為這種數(shù)字的存在是可能的，但同時也認為它毫無用處。

意大利數(shù)學家邦貝利（Rafael Bombelli）在1572年出版的《代數(shù)學》中對負數(shù)所持的態(tài)度則更加積極，證明了兩個虛數(shù)相乘其結(jié)果永遠為實數(shù)。他開始也對此有過疑問，曾在書中這樣寫道：“整件事情看上去似乎很像是詭辯，似乎并未建立在事實的基礎(chǔ)之上。但是經(jīng)過長期的鉆研，我最終還是證明了這個事實。”

此后的兩個世紀里，很多數(shù)學家都對這個問題表達了自己的觀點，有些接受負數(shù)的平方根這一概念，有些則拒絕接受。后來，瑞士數(shù)學家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）在晚年以過人的才華最終解決了這一難題。他引入了“虛數(shù)單位”這一概念，用字母“i”表示-1的平方根這一虛數(shù)。因此，就等于i，方程式中任何負數(shù)的平方根均可用i 乘以該數(shù)的平方根來表示。此外，歐拉還表示，雖然等負數(shù)的平方根均為虛數(shù)，但“虛”并不等于“無”，不等于沒有意義，這只不過是一個數(shù)學概念而已。

用符號 i 表示虛數(shù)，這個解決方案十分簡單，同時也非常聰明，讓數(shù)學家得以在方程式中使用以及其他負數(shù)的平方根進行運算。用 i 這一虛數(shù)單位來表示負數(shù)的平方根，這就意味著數(shù)學家不再需要解決虛數(shù)的根本屬性這一問題，只需將其作為實用工具加以運用即可。

盡管如此，原來的悖論實際上仍然繼續(xù)存在。歐拉雖然發(fā)明了虛數(shù)單位并用“i”這一符號使虛數(shù)成為一種現(xiàn)實，但他同時也承認虛數(shù)是不可能存在的。他在書中寫道：“我們可以認為虛數(shù)并非‘無’，既不比‘無’大，也不比‘無’小，因此只能是想象的或者不可能的。”雖然有很多人對其理論表示懷疑，這并沒有使歐拉動搖。他認為，如果在數(shù)學上行得通，那么虛數(shù)和實數(shù)一樣就都具有同樣的真實性。

歐拉所帶給我們的啟發(fā)是：在不同領(lǐng)域進行探索研究的時候，我們有時并不需要掌握所有的答案。虛數(shù)的本質(zhì)是什么以及-1的平方根到底是多少，這些難題或許會一直成謎，但這并不意味著我們無法使用這一概念。牛頓基于同樣的大膽和魄力用純數(shù)學概念的方式提出了萬有引力理論，他并未假裝自己真的了解物體在一定距離內(nèi)到底是如何運動的。時至今日，我們還是不知道引力的具體運作原理，但這并不妨礙牛頓所提出的萬有引力定律成為構(gòu)建科學理論體系的重要基石之一。同樣道理，雖然虛數(shù)單位總的來說仍然是一個謎，但它們在實際應用中具有極高的價值，是當今大部分數(shù)學家所熟悉的應用工具。此外，這一概念的存在也證明了想象與數(shù)學邏輯并非水火不相容的兩極。