第一節(jié)　基于點(diǎn)集理論的空間拓?fù)潢P(guān)系分類

一、空間目標(biāo)的描述

二維地理空間中任何空間目標(biāo)可表示為一個(gè)集合A，設(shè)A是子空間X的一個(gè)子集，A＞X＞R²。在集合A的拓?fù)淇臻g中，若一個(gè)子集的所有鄰域在A內(nèi)，則該子集就是集合A的內(nèi)域，可以表示為A°;若一個(gè)子集的元素的鄰域中有一部分在A內(nèi)，但不全在A內(nèi)，則該子集合就是集合A的邊界，可以表示為aA。內(nèi)域和邊界的特性是:A°∩aA=ō;A°∪aA=A。若用柵格模型表示空間目標(biāo)，就能比較好地理解這些問(wèn)題，如圖3－1(a)所示，像素值為0的單元是像素值為1的單元的鄰域，圖3-1(b)表示了一個(gè)空間對(duì)象，它的像素值為1，對(duì)應(yīng)這樣一個(gè)目標(biāo)，圖3-1(c)說(shuō)明了它的內(nèi)域(像素值為2)和邊界(像素值為1)。

(a)

(b)

(c)

圖3-1柵格模型表示的空間目標(biāo)及其內(nèi)域和邊界

二、基于4交集的空間拓?fù)潢P(guān)系分類

空間拓?fù)潢P(guān)系可以用點(diǎn)集理論來(lái)描述，Egenhofer等(1991)提出了一種基于4交集的空間拓?fù)潢P(guān)系分類模型。設(shè)有兩個(gè)空間目標(biāo)A和B(A≠ō，B≠ō)，空間目標(biāo)A和B的內(nèi)域和邊界分別定義為:A°和aA、B°和aB。這四個(gè)集合的組合可以描述為:

通過(guò)這些集合的交集是否為空(ō或0)來(lái)判斷空間目標(biāo)A和B之間的拓?fù)潢P(guān)系，理論上，共有2⁴=16種拓?fù)潢P(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，有些空間拓?fù)潢P(guān)系是不存在的，若空間目標(biāo)A和B都是區(qū)域(Region)，那么，對(duì)于兩個(gè)區(qū)域而言，只有8種關(guān)系存在。線與線之間有16種空間拓?fù)潢P(guān)系。線與區(qū)域之間有11種空間拓?fù)潢P(guān)系。

三、基于9交集的空間拓?fù)潢P(guān)系分類

9交集模型是在4交集模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，用于描述兩個(gè)地理空間目標(biāo)之間的空間拓?fù)潢P(guān)系的三個(gè)集合是:目標(biāo)的內(nèi)域、外域和邊界。目標(biāo)的內(nèi)域、邊界的定義都與4交集中的定義相同，目標(biāo)的外域可被定義為目標(biāo)集合的補(bǔ)集，因?yàn)樵撃繕?biāo)是位于一個(gè)有限的空間中，如圖3-2所示，圖3-2(a)是一個(gè)地理空間目標(biāo)(區(qū)域)，圖3-2(b)說(shuō)明了該目標(biāo)的內(nèi)域、外域和邊界，它們的像素值分別為2、0和1。

設(shè)有兩個(gè)空間目標(biāo)A和B(A≠ō，B≠ō)，它們的內(nèi)域、邊界和外域分別為:A°、aA和A^－;B°、aB和B－。這六個(gè)集合的組合可以描述為:

理論上共有2⁹=512種拓?fù)潢P(guān)系，但實(shí)際上，還要考慮一些具體的空間規(guī)則的限制，例如，任意兩個(gè)目標(biāo)的補(bǔ)集總是相交的，即A^－∩B^－=1，這就使得該模型所描述的拓?fù)潢P(guān)系類型的數(shù)量減少了一半。

圖3-2　目標(biāo)的內(nèi)域、外域和邊界

兩個(gè)區(qū)域之間的拓?fù)潢P(guān)系在9交集模型中可以表達(dá)8種;線與區(qū)域之間的拓?fù)潢P(guān)系有19種;線與線之間的拓?fù)潢P(guān)系有33種，如圖3-3所示(Egenhofer和Herring，1994)。當(dāng)線為復(fù)雜線(有兩個(gè)以上的端點(diǎn)，而簡(jiǎn)單線只有兩個(gè)端點(diǎn)，并且線不自交)時(shí)，可以增加24種拓?fù)潢P(guān)系，如圖3-4所示(Egenhofer和Herring，1994)。

四、9交集模型的其他形式

陳軍等(2002)對(duì)9交集模型作了進(jìn)一步的改進(jìn)，提出了“V9I模型”。也有學(xué)者對(duì)9交集模型中所使用的三種集合的定義做了其他形式的改變，以便滿足不同的要求。

1.V9I模型

V9I模型的主要思想是:首先用Voronoi圖建立目標(biāo)之間的鄰近關(guān)系，并且用一個(gè)空間目標(biāo)的Voronoi區(qū)域作為該目標(biāo)的外域，目標(biāo)的內(nèi)域和邊界的定義與9交集模型中的定義相同，拓?fù)潢P(guān)系的定義方法類似于9交集模型，即利用兩個(gè)目標(biāo)的內(nèi)域、外域和邊界相互間的交集的值的不同組合來(lái)區(qū)分目標(biāo)之間的空間拓?fù)潢P(guān)系。設(shè)有兩個(gè)空間目標(biāo)A和B(A≠ō，B≠ō)，它們的內(nèi)域、邊界和外域分別定義為:A°、aA和A^v;B°、aB和B^v。A^v和B^v分別表示目標(biāo)A和B的Voronoi區(qū)域，兩個(gè)空間目標(biāo)之間的拓?fù)潢P(guān)系可以描述為:

在9交集模型中，我們只考慮一個(gè)子空間中的兩個(gè)空間目標(biāo)，并假設(shè)其他空間目標(biāo)不存在。這是一種理論上的分析，在空間關(guān)系的判別和查詢中，空間目標(biāo)總是位于目標(biāo)群中，目標(biāo)群之間本身就存在空間鄰近關(guān)系，Voronoi圖是描述目標(biāo)鄰近關(guān)系的方法之一，在空間目標(biāo)之間拓?fù)潢P(guān)系的分類中使用Voronoi圖明顯是非常恰當(dāng)?shù)?，其主要的?yōu)點(diǎn)是:把空間鄰近關(guān)系納入拓?fù)潢P(guān)系的考慮因素中。因此，特別是當(dāng)兩個(gè)空間目標(biāo)相離時(shí)，利用V9I模型可以進(jìn)一步對(duì)其拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行劃分。

3-3　線與線之間的33種拓?fù)潢P(guān)系(Egenhofer和Herring，1994)

圖3-4　增加的24種線與線之間的拓?fù)潢P(guān)系(Egenhofer和Herring，1994)

Egenhofer等(1993)比較了9交集模型和4交集模型，表3-1說(shuō)明了不同模型在描述線與區(qū)域之間拓?fù)潢P(guān)系時(shí)的差別，在矩陣中A為線，B為區(qū)域。

表3-1　基于不同模型的線與區(qū)域之間的拓?fù)潢P(guān)系舉例

2.外域、內(nèi)域和邊界的另類定義

我們習(xí)慣地認(rèn)為，一個(gè)空間目標(biāo)所在的子空間集合總是完全包含該空間目標(biāo)，實(shí)際上，一個(gè)空間目標(biāo)有可能被子空間的邊界剪裁掉，這一點(diǎn)，對(duì)于區(qū)域來(lái)說(shuō)，非常重要，因?yàn)樗倪吔鐣?huì)變得不完整，以至9交集模型的集合必須重新定義，圖3-5顯示了一個(gè)完整的區(qū)域，“1”表示邊界，“2”表示內(nèi)域，“0”表示外域，但是，當(dāng)子空間發(fā)生變化時(shí)，該子區(qū)域的邊界被剪裁掉了一部分，圖3-6說(shuō)明了這一點(diǎn)。

設(shè)子空間是一個(gè)有限的無(wú)空洞的空間，用X表示，它具有的特性是:X＞R²，(X^°)^－=X，其中，X°表示X的內(nèi)域，X^－表示X的閉包。設(shè)一個(gè)空間目標(biāo)集合為S，那么可定義它的內(nèi)域?yàn)镾°、邊界為aS、閉包為S^－、補(bǔ)集為S^c，用補(bǔ)集表示外域。對(duì)于空間中的一個(gè)點(diǎn)P而言，它的邊界、內(nèi)域和補(bǔ)集可以分別定義為:aP=P°=P，P^c=X\P，其中，“\”表示減去。

對(duì)于空間中的一條線L，它的邊界、內(nèi)域和補(bǔ)集可以分別定義為:aL={x₁，x_n}，x₁和x_n是線的端點(diǎn);L°=L\{x₁，x_n};L^c=X\L。對(duì)于一個(gè)區(qū)域R而言，R=(R°)^－，因?yàn)樗锌赡鼙患舨?，這里引用一個(gè)集合R^d，它是R的內(nèi)域與子空間邊界的交集，R^d=R°∩aX，那么，在這種情況下，R的邊界為aR∪R^d;R的內(nèi)域?yàn)镽°\R^d;R的補(bǔ)集為R^c=X\R。

在分析空間目標(biāo)的邊界時(shí)，以及在考慮空間目標(biāo)的拓?fù)潢P(guān)系時(shí)，我們始終默認(rèn)空間目標(biāo)的邊界是非常窄的，或者說(shuō)是“無(wú)寬度的”，因?yàn)閹缀紊系木€確實(shí)是無(wú)寬度的。但是，在客觀地理世界里，邊界始終是有寬度的。在寬邊界的條件下，空間目標(biāo)之間的拓?fù)潢P(guān)系會(huì)發(fā)生很大變化，Clementini和Felice(1994)以區(qū)域與區(qū)域之間的拓?fù)潢P(guān)系為例研究了這個(gè)問(wèn)題。用4交集模型，寬邊界的區(qū)域之間的拓?fù)潢P(guān)系的數(shù)量是如下11個(gè):

圖3-5　子空間與空間目標(biāo)圖3-6子空間的變化