相親的次數(shù)太多，是不是不好？

□曾加

我們不妨從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析這個(gè)相親問(wèn)題~

假設(shè)你要從一個(gè) x 個(gè)人的全集中盡可能準(zhǔn)確地找到最適合自己的人，但又不想把 x 個(gè)人全部試一遍，想盡可能少地去相親，同時(shí)，不希望把已經(jīng)相親過(guò)的人晾在一邊。那你應(yīng)該怎么辦呢？

數(shù)學(xué)家會(huì)告訴我們答案：先與 y 個(gè)人相親，但全部都不要，然后繼續(xù)相親，一旦遇到一個(gè)比之前所有人都【合適】的對(duì)象，就選定他。

顯然，y 是 一個(gè)關(guān)于 x 的函數(shù)，那么，y 是多少呢？

解：

假設(shè)相親對(duì)象是隨機(jī)的，即每一個(gè)人都是等概率地和你最合適。

易見(jiàn)，當(dāng) A 先生出現(xiàn)在前 y 個(gè)位置時(shí)，你會(huì)錯(cuò)過(guò)他。

當(dāng) A 先生出現(xiàn)在第 y+1 個(gè)的位置時(shí)，你會(huì)得到他；

但當(dāng) A 先生出現(xiàn)在 更后面的位置時(shí)，你就不一定得到他了。

假設(shè) A 先生出現(xiàn)在第 t 個(gè)位置（），那什么時(shí)候，你能得到他呢？

正確答案是，在前 t-1 個(gè)位置中，「相對(duì)」最合適的人恰好出現(xiàn)在前 y 個(gè)人中，（這樣的話，你就不會(huì)挑走 y+1 到 t-1 位置的人了），而這個(gè)概率是 。

于是，我們把上面的概率按照 A 先生出現(xiàn)的位置相加，得到

對(duì)于這個(gè)式子，學(xué)過(guò)一點(diǎn)積分的朋友會(huì)很容易確定它的上下界，易見(jiàn)，

于是，

我們得到了 的一個(gè)下界 ；

為了求這個(gè)下界的最大值，我們對(duì) y 求導(dǎo)：

當(dāng) 時(shí)，，這就是極值點(diǎn)！

真相大白！

原來(lái) ，我們要先拒絕 的人，然后遇到一個(gè)更合適的人，再去答應(yīng)，這樣的話，我們遇到最適合的人的概率就高達(dá) ！

所以，數(shù)學(xué)告訴你了一個(gè)最佳的解決方案：

比如，如果你想在 100 個(gè)人中挑一個(gè)最適合你的人，又不想吃回頭草，那么，你應(yīng)該先拒絕前 37 個(gè)人，然后從第 38 個(gè)人開(kāi)始，一旦遇到比之前更合適的，就答應(yīng)他吧。

補(bǔ)充：

評(píng)論區(qū)有人提到，之前在別的地方看到過(guò)類似的內(nèi)容，這里說(shuō)明一下，這篇回答確實(shí)是我的作品，但是核心的數(shù)學(xué)問(wèn)題也確實(shí)不是我的原創(chuàng)，我最早在 Introduction to Algorithms 看到過(guò)類似的問(wèn)題。

另外，這個(gè)回答其實(shí)只是一個(gè) 抖機(jī)靈+吐槽 而已，我并未仔細(xì)琢磨，靠回憶和理解花了 20 分鐘就刷刷刷寫完了。而真正的戀愛(ài)模型，顯然要比它復(fù)雜得多，比如吃回頭草是可行的，我們也未必非要找到最好的，等等。這個(gè)問(wèn)題就留給大家一起探索啦~

2015-03-30