牛頓在他的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出了著名的三大定律，即牛頓第一定律（慣性定律）：任何物體如果沒有力的作用，都將保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。牛頓第二定律：物體運(yùn)動(dòng)的加速度與作用在其上的合力成正比，與物體的慣性質(zhì)量成反比，并且加速度的方向在所加合力的那個(gè)直線方向上。牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）：每一個(gè)作用總是有一個(gè)相等的反作用與它相對(duì)抗；或者說，兩種物體彼此之間的相互作用大小永遠(yuǎn)相等，并且各自指向其對(duì)方。其中第三定律是牛頓對(duì)力學(xué)基本原理的一個(gè)最具有獨(dú)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。

一、牛頓三大定律提出的背景

我國(guó)墨家最早提出了力的定義：“力，刑之所以?shī)^也。”這里的“力”象征用農(nóng)具奮力翻土，說明力就是用身體克服阻力的原因。例如重力是向下的，舉重就是“奮”。關(guān)于合力，我國(guó)淮南學(xué)者使用了“積力”的概念。他們?cè)凇痘茨献?主術(shù)訓(xùn)》中寫道“積力所舉，無不勝也”“力勝其任，則舉之不重也?！边@里的“積力”就是一些力相加的結(jié)果。單個(gè)力小于重物之重力就不能舉起重物，但是幾個(gè)力的積力則可舉起重物。對(duì)于力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，我國(guó)科學(xué)家張衡（78—139）在物理學(xué)和機(jī)械制造方面均有建樹。他發(fā)明建造的“候風(fēng)地動(dòng)儀”是一項(xiàng)非常了不起的發(fā)明，也是世界上最早測(cè)量地震的儀器。遺憾的是，當(dāng)時(shí)我國(guó)數(shù)學(xué)家沒有發(fā)明代數(shù)方法，使得我國(guó)的科學(xué)理論沒有量化標(biāo)準(zhǔn)，因而在近代科學(xué)史上貢獻(xiàn)寥寥。下面看看西歐關(guān)于力和運(yùn)動(dòng)的研究情況。

公元前4世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家亞里士多德（Aristotle，公元前384—前322）指出：靜止是物體的自然狀態(tài)，如果沒有作用力就沒有運(yùn)動(dòng)。該觀點(diǎn)認(rèn)為力是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因，但他第一次提出了力與運(yùn)動(dòng)間存在關(guān)系，為力學(xué)發(fā)展作出了一定貢獻(xiàn)。公元6世紀(jì)，希臘學(xué)者菲洛彭諾斯（J．Philoponus）對(duì)亞里士多德的運(yùn)動(dòng)學(xué)說持批判態(tài)度。他認(rèn)為拋體本身具有某種動(dòng)力，推動(dòng)物體前進(jìn)，直到耗盡才趨于停止，這種看法后來發(fā)展為14世紀(jì)的“沖力理論”。公元14世紀(jì)，法國(guó)哲學(xué)家布里丹（Jean Buridan， 1295—1358）、阿爾伯特、尼克爾·奧里斯姆（Nicole Oresme，1320—1382）等人提出“沖力理論”，他們認(rèn)為：“推動(dòng)者在推動(dòng)一物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，便對(duì)它施加某種沖力或某種動(dòng)力，速度越大，沖力越大，沖力耗盡時(shí)，物體停止下來。”這一理論為意大利物理學(xué)家伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564—1642）和英國(guó)物理學(xué)家艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643—1727）的相關(guān)理論奠定了基礎(chǔ)。17世紀(jì)，伽利略在他的著作中多次提出類似于慣性原理的說法。他分別于1632年和1638年在《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》和《關(guān)于力學(xué)和位置運(yùn)動(dòng)的兩門新科學(xué)的對(duì)話》中記錄了理想斜面實(shí)驗(yàn)，并推理“如有一足夠長(zhǎng)而絕對(duì)光滑的表面，將沒有東西能阻礙小球運(yùn)動(dòng)，所以小球一直繼續(xù)運(yùn)動(dòng)或者直到有東西（外力）阻礙它”，從而得到結(jié)論：“物體在自然狀態(tài)下會(huì)維持原有運(yùn)動(dòng)而非趨于停止?！痹摻Y(jié)論打破了自亞里士多德以來約一千三百年間“力是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因”的陳舊觀念，但仍未擺脫其影響。該結(jié)論很接近慣性定律。1644年，法國(guó)物理學(xué)家勒內(nèi)·笛卡兒（Rene Descartes，1596—1650）在《哲學(xué)原理》中彌補(bǔ)了伽利略的不足。他明確地指出，除非物體受到外因的作用，物體將永遠(yuǎn)保持其靜止或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且還特地聲明，慣性運(yùn)動(dòng)的物體永遠(yuǎn)不會(huì)使自己趨向曲線運(yùn)動(dòng)，而只保持在直線上運(yùn)動(dòng)。他把這條基本原理表述為兩條定律：

（1）每一單獨(dú)的物質(zhì)微粒將繼續(xù)保持同一狀態(tài)，直到與其他微粒相碰被迫改變這一狀態(tài)為止；

（2）所有的運(yùn)動(dòng)，其本身都是沿直線的。

然而笛卡兒沒有建立起他試圖建立的那種能演繹出各種自然現(xiàn)象的體系，不過他的思想對(duì)牛頓對(duì)此類定律之后的總結(jié)產(chǎn)生了一定的影響。笛卡兒的最大貢獻(xiàn)在于他第一個(gè)認(rèn)識(shí)到：力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。1662年，伽利略指出：“以任何速度運(yùn)動(dòng)著的物體，只要除去加速或減速的外因，此速度就可以保持不變?！钡芽▋阂舱J(rèn)為：“在沒有外加作用時(shí)，粒子或者勻速運(yùn)動(dòng)，或者靜止?！迸ｎD把這一假定作為牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律，并將伽利略的思想進(jìn)一步推廣到有力作用的場(chǎng)合，提出了牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律。1664年，牛頓受到對(duì)碰撞問題研究較早的笛卡兒的影響，也開始研究?jī)蓚€(gè)球形非彈性碰撞的問題。1665—1666年，牛頓又研究了兩個(gè)球形剛體碰撞的問題。他沒有把注意力集中在動(dòng)量和動(dòng)量守恒方面，而是集中在物體之間的相互作用上。對(duì)于兩剛體的碰撞，他提出：“在它們相碰的瞬間，它們的壓力處于最大值，它們的整個(gè)運(yùn)動(dòng)被此一瞬間彼此之間的壓力所阻止，只要這兩個(gè)物體都不互相屈服，它們之間將會(huì)持有同樣猛烈的壓力，它們將會(huì)以之前彼此趨近的速度大小相互離開?！?668—1669年，荷蘭物理學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）、沃里斯和英國(guó)物理學(xué)家克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren，1632—1723）也分別對(duì)碰撞問題做了很多研究，并得出了一些重要的結(jié)論。其中，惠更斯的工作比較突出，他證明了兩硬的物體在碰撞過程中同一方向的動(dòng)量保持不變，糾正了笛卡兒不考慮動(dòng)量具有方向性的錯(cuò)誤，而且首次提出碰撞前后的動(dòng)量守恒。牛頓在正式提出牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律時(shí)，肯定了他們的工作，同時(shí)也指出了他們的局限性。牛頓認(rèn)為：“雷恩和惠更斯的理論以絕對(duì)硬的物體為前提，而用理想彈性體可以得到更肯定的結(jié)果，并且用非理想彈性體，如壓緊的木球、鋼球和玻璃球做實(shí)驗(yàn)，消除誤差后結(jié)果是一致的?！?673年，法國(guó)物理學(xué)家馬里奧特（Edme Mariotte，1620—1684）用兩個(gè)單擺做碰撞實(shí)驗(yàn)，巧妙地測(cè)出了碰撞前后的瞬時(shí)速度。牛頓也重復(fù)做了此實(shí)驗(yàn)，他進(jìn)一步討論了空氣阻力的影響及改進(jìn)辦法，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了修正。1684年8月起，在英國(guó)物理學(xué)家埃德蒙多·哈雷（Edmond Halley，1656—1742）的勸說下，牛頓開始系統(tǒng)地整理手稿，重新考慮部分問題。1687年，牛頓發(fā)表了《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。在這部巨著中，牛頓概括了伽利略、笛卡兒、開普勒、惠更斯、胡克等人的研究成果以及他自己的創(chuàng)造，首次明確提出了關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)問題的三大定律。但在第二定律中，他是這樣說的：“運(yùn)動(dòng)的改變和所加的力成正比，并且發(fā)生在所加的力的那個(gè)直線方向上”，即F∝Δv。1750年，歐拉才指出應(yīng)該把力同動(dòng)量的變化率聯(lián)系起來，形成了現(xiàn)代人們公認(rèn)的牛頓第二定律F∝m∝ma。

二、牛頓三大定律的數(shù)學(xué)表述及物理解析

1．牛頓第一定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

這個(gè)定律的解釋是當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度保持不變。它定義了慣性的概念，即任何物體都有保持運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變和反抗其他物體改變其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的屬性，物體這種固有的屬性稱為物體的慣性。物體慣性大小的量度就是物體的質(zhì)量；定義了力的概念，即力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因；定義了慣性參考系和非慣性參考系的概念，即一切做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系稱為慣性系，反之，稱為非慣性系。

2．牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力不為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)獲得加速度。加速度大小與合外力大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的慣性質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力方向一致。這個(gè)定律定義了力的單位（N），也就是說使1kg的物體獲得1m／s2的加速度，則作用在這個(gè)物體上的合力為1N，同時(shí)也指明了合力的方向?yàn)榧铀俣鹊姆较颉?/p>

3．牛頓第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

F12=-F21（2-3）

該定律表明，作用力和反作用力總是大小相等、方向相反地成對(duì)出現(xiàn)，且同時(shí)出現(xiàn)，同時(shí)消失。

三、牛頓第二定律在具體坐標(biāo)中的表示

1．牛頓第二定律在三維空間直角坐標(biāo)中的表示

由于F=Fxi+Fyj+Fzk，v=vxi+vyj+vzk，a=axi+ayj+azk，i，j，k是直角坐標(biāo)三個(gè)方向的單位矢量，而且它們的大小和方向都保持不變，將這三式代入式（2-2），比較等式兩邊有

式（2-4）即是牛頓第二定律在三維直角坐標(biāo)中的表示，它把矢量問題代數(shù)化，方便人們求出具體問題的解析式。而且，如果一個(gè)物體受到三個(gè)方向沒有聯(lián)系的力的作用，它在x、y和z方向的三個(gè)運(yùn)動(dòng)將是獨(dú)立的。比如一個(gè)平拋的物體，它的水平方向的速度沒有任何變化，而豎直方向的速度按v0+gt的方式隨時(shí)間增加，所以它在豎直方向的運(yùn)動(dòng)方式就和水平方向運(yùn)動(dòng)不存在時(shí)的運(yùn)動(dòng)方式相同。

2．牛頓第二定律在平面自然坐標(biāo)中的表示

在平面自然坐標(biāo)中F=Ftet+Fnen，a=atet+anen=，其中et和en分別是自然坐標(biāo)切線方向和法向方向的單位矢量，它們的大小不變，方向隨運(yùn)動(dòng)物體的軌跡變化而變化。將力的表達(dá)式和加速度的表達(dá)式代入式（2-2）有

式（2-5）是牛頓第二定律在平面自然坐標(biāo)中的表示，它為理解曲線運(yùn)動(dòng)特別是圓周運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式。

四、牛頓三大定律的科學(xué)意義及其對(duì)人類生活的影響

牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》以其宏大的篇幅、精湛的思想、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系和豐富的內(nèi)容成為物理學(xué)發(fā)展史上一部光輝的經(jīng)典著作。蘊(yùn)含其中的三大定律是這本巨著的靈魂，它像一盞明燈照亮了世界。牛頓在這部書中，從力學(xué)的基本概念（包括質(zhì)量、動(dòng)量、慣性、力）和這三個(gè)基本定律出發(fā)，運(yùn)用他發(fā)明的銳利的數(shù)學(xué)工具——微積分，不但從數(shù)學(xué)上論證了萬有引力定律，而且為經(jīng)典力學(xué)確立了完整而嚴(yán)密的科學(xué)體系，把天體力學(xué)和地面上的物體力學(xué)統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)了物理學(xué)術(shù)史上第一次大綜合，奠定了經(jīng)典物理學(xué)的基石。但牛頓三大定律發(fā)現(xiàn)的初期，人們也是有一些疑惑的。最典型的就是怎么區(qū)別F=ma與作用在飛機(jī)上的阻力f=-cv2這類關(guān)系式，它們有同等的地位嗎？絕對(duì)不是。后者是風(fēng)洞試驗(yàn)得出的經(jīng)驗(yàn)公式。如果速度非常低，低到一般飛機(jī)不能飛行只能在空氣中慢慢地前進(jìn)時(shí)，這個(gè)表達(dá)式就會(huì)發(fā)生改變，或許變?yōu)閒=-cv這樣的關(guān)系式。f=-cv2不是一個(gè)普遍適用的規(guī)律，它只是某種特定情形下物體受到的力與速度之間的關(guān)系式。這樣的例子還有兩固體接觸面之間的摩擦力f=μN(yùn)，這個(gè)公式對(duì)于大致判斷某些工程學(xué)中所需力的大小是一個(gè)很好的經(jīng)驗(yàn)法則。如果法向力或者運(yùn)動(dòng)速度太大，由于產(chǎn)生了大量的熱，這個(gè)關(guān)系式就失效了。所以這些經(jīng)驗(yàn)等式都有它的適用范圍，超過這個(gè)范圍，等式就變形了或者直接失效了。而牛頓第二定律F=ma在物體速度小于光速，物體尺寸大于1?的大范圍內(nèi)形式保持不變，我們說它是一個(gè)宏觀、低速運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)遵循的普適規(guī)律，是我們?cè)诔跏紬l件已知的情形下探明未來時(shí)刻物體的位置、速度、加速度的有效工具。

五、應(yīng)用舉例

例 一架飛機(jī)以50m／s的水平速度觸地滑行，滑行期間受到的空氣水平阻力為c1v2，升力為c2v2，其中v是飛機(jī)的滑行速度，k==4為兩常數(shù)之比，稱為升阻比。設(shè)飛機(jī)與跑道之間的摩擦系數(shù)為μ=0．20，求飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。

分析：首先，由于我們關(guān)心的是飛機(jī)水平方向的平動(dòng)問題，所以可以把飛機(jī)視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；其次，題目只告訴我們運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的初速度，要知道它在停止前運(yùn)行的距離，還需要找出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的加速度。根據(jù)牛頓第二定律，要知道質(zhì)點(diǎn)的加速度，需要對(duì)質(zhì)點(diǎn)的受力情況進(jìn)行分析。從題目已知條件知道質(zhì)點(diǎn)受到的力不是常數(shù)，而是與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度以及質(zhì)點(diǎn)給陸地的正壓力有關(guān)的變力的作用，所以需要根據(jù)牛頓第二定律、第三定律建立微分方程組來解決這個(gè)問題。

解：選擇飛機(jī)著陸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，飛機(jī)滑行方向?yàn)檎?。飛機(jī)水平方向受力為摩擦阻力μN(yùn)，空氣阻力c1v2；豎直方向受力為重力mg，支撐力N，升力c2v2。根據(jù)牛頓第二定律，可列出以下方程組：

由方程（2-6）消去N可得

將式（2-8）代入式（2-7）可得

將式（2-9）積分可得

將初始條件t=0，x=0，v=v0代入式（2-10）可解得積分常數(shù)

將式（2-11）代入式（2-10），得

到現(xiàn)在為止，還沒有得到飛機(jī)停止前所運(yùn)行的距離，因?yàn)轱w機(jī)的質(zhì)量m并不是已知數(shù)，c1，c2也不知道，只有它們的比值。這樣，需要進(jìn)一步從初始條件結(jié)合運(yùn)動(dòng)方程來找這些量。由于飛機(jī)觸地瞬間，v=v0，N=0，代入方程（2-6）可得

將式（2-13）代入式（2-12）可得

其中用到了=k。設(shè)飛機(jī)從觸地到停止滑行的距離為xc，此時(shí)v=0，代入式（2-14）即得

式（2-15）即是找到的飛機(jī)滑行距離與初速度之間的關(guān)系表達(dá)式及在題設(shè)已知條件下飛機(jī)最遠(yuǎn)的滑行距離。

六、課后練習(xí)

2-1 假設(shè)高空形成的雨滴質(zhì)量為m，初速度為0，下落時(shí)質(zhì)量保持不變但受到與速率成正比的阻力作用，其比例系數(shù)用k表示，求雨滴下落過程中任意時(shí)刻的速率與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并討論它的最終速度。

圖2-1

2-2 如圖2-1所示，一條質(zhì)量均勻分布的細(xì)繩，假設(shè)其質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，一端拴在點(diǎn)O，另一端連一個(gè)質(zhì)量為m的小球。假設(shè)讓繩在光滑的水平面上繞點(diǎn)O以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，求距離O點(diǎn)為r處繩中的張力T（r）。

2-3 已知一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的引力作用，引力大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離的平方成反比，即f=-k／x2，k為比例系數(shù)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x=a處的速度為0，求質(zhì)點(diǎn)在處的速度大小。

2-4 一個(gè)質(zhì)量為m的不明飛行物從離地面為h的高空由靜止豎直下落，如圖2-2所示。為了阻止它擊中地面物體，在它的正下方立刻豎直向上發(fā)射一枚導(dǎo)彈。假設(shè)導(dǎo)彈的初速度大小為v0，導(dǎo)彈質(zhì)量為m，導(dǎo)彈和不明飛行物受到的空氣阻力與其速度成正比，比例系數(shù)為k。以不明飛行物初始下落時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，試討論導(dǎo)彈擊中不明飛行物需要的時(shí)間、地點(diǎn)以及它們相遇時(shí)各自的速度。

2-5 如圖2-3所示，在光滑的水平桌面上放置一豎直固定的無底圓桶，半徑為R。一個(gè)小球在緊靠圓桶內(nèi)壁的水平桌面上運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球與圓桶內(nèi)壁間的摩擦系數(shù)為μ，在t=0時(shí)，球的速率為v0，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。

圖2-2

圖2-3