對于繞對稱軸轉(zhuǎn)動的剛體，它的動量恒為零，所以動量不再能描述這類物體的運動狀況。這樣，我們需要一個新的物理量來描述這類物體的運動。人們發(fā)現(xiàn)，如果用剛體某質(zhì)元的位置矢量去叉乘該質(zhì)元的動量，然后對整個剛體的質(zhì)元求和（或者積分）可以得到一個不為零的物理量，因此，這個物理量可以用來描述物體的轉(zhuǎn)動。研究者將這個新物理量稱為物體的角動量，即角動量定義為物體的位置矢量叉乘該物體的動量。在研究物體轉(zhuǎn)動時經(jīng)常用角動量來描述物體的狀態(tài)。它表征質(zhì)點矢徑在單位時間內(nèi)掃過面積的大小，或剛體定軸轉(zhuǎn)動的劇烈程度。角動量是物理學(xué)中又一個重要的物理量，特別是在有些過程中系統(tǒng)的動量和機(jī)械能都不守恒，但由于針對某個參考點的力矩為零，這時系統(tǒng)的角動量守恒，這為求解相關(guān)問題開發(fā)了新的方法。

一、角動量及角動量守恒定律的建立背景

角動量這個概念的建立與研究物體的轉(zhuǎn)動有關(guān)。開普勒在1609年發(fā)表的偉大著作《新天文學(xué)》中提出了他的前兩個行星運動定律，即行星運動第一定律：每個行星都在一個橢圓形的軌道上繞太陽運轉(zhuǎn)，而太陽位于這個橢圓軌道的一個焦點上；行星運動第二定律：行星運行離太陽越近則運行就越快，行星與太陽之間的連線在等時間內(nèi)掃過的面積相等。當(dāng)時開普勒沒能說明按其規(guī)律在軌道上運行的原因，到17世紀(jì)后期才由艾薩克·牛頓闡明清楚。從現(xiàn)代物理的觀念來看，如果我們把開普勒第二定律中行星與太陽之間的連線加一個方向，即指向行星，那么這根線就表示行星相對于太陽的位置矢量r；等時間內(nèi)掃過的面積與r叉乘行星的線速度v有關(guān)。牛頓把r×mv定義為一個運動物體相對參考點的角動量L。在此基礎(chǔ)上，加上牛頓發(fā)明的微積分方法，牛頓成功地證明了開普勒第二定律。牛頓曾說過：“如果說我比別人看得遠(yuǎn)些的話，是因為我站在巨人的肩膀上。”開普勒無疑是他所指的巨人之一。

二、角動量及角動量守恒定律的矢量數(shù)學(xué)描述及物理解析

1．角動量的定義

在經(jīng)典力學(xué)中角動量定義為物體（質(zhì)點）相對于某參考點的位置矢量與其動量的叉乘，即

L=r×p=r×mv（13-1）

式中，L表示角動量矢量，r表示質(zhì)點相對于參考點的位置矢量，v表示線速度，p表示線動量。角動量大小的單位為kg·m2／s，量綱為［ML2T-1］。

2．質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律

考慮質(zhì)量為m的質(zhì)點，在某時刻質(zhì)點的空間位置矢量為r，用r叉乘牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達(dá)式兩邊可得

式（13-2）中r×F定義為作用在質(zhì)點上的合力對參考點（位置矢量的原點）的力矩，用M表示，即

M=r×F（13-3）

而式（13-2）中的r×mv定義為對同一參考點的角動量，用L表示。這樣，式（13-2）可表示為

將式（13-4）兩邊同乘以dt可得

Mdt=d L（13-5）

對式（13-5）在t0到t的有限時間內(nèi)積分，得

式中，稱為合力矩在時間t0～t內(nèi)的角沖量（也叫沖量矩）。式（13-5）和式（13-6）為質(zhì)點的角動量定理。它們表示質(zhì)點角動量的增量等于作用于質(zhì)點的角沖量（或沖量矩）。前者是角動量定理的微分形式，后者是角動量定理的積分形式。進(jìn)一步考慮相對于慣性系中的一個固定參考點，如果作用在質(zhì)點上的合力矩為零，即M=0，從式（13-6）可知質(zhì)點對該固定點的角動量增量為零，即L-L0=ΔL=0，或者寫成L=r×mv=常量，這就是角動量守恒定律。它表示如果選定某一固定點做參考點，當(dāng)質(zhì)點所受的合外力矩為零時，質(zhì)點相對于該點的角動量大小和方向保持不變。另外，由于角動量和沖量矩都是矢量，它們在x，y，z方向的分量一一對應(yīng)，所以當(dāng)合外力矩的某個分量為零時，該分量的角動量守恒，即Mx=0，則Lx=常數(shù)；My=0，則Ly=常數(shù)；Mz=0，則Lz=常數(shù)。

3．質(zhì)點系的角動量定理和角動量守恒定律

質(zhì)點系的角動量定理可通過對各質(zhì)點所遵從的角動量定理求和得到?？紤]由N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，對其中第i個質(zhì)點，角動量定理表示為

對于N個質(zhì)點有

由于內(nèi)力力矩相互抵消，∑ri×Fi中只有外力矩有貢獻(xiàn)，故有

令

則得

將式（13-11）兩邊同乘以dt可得

M外dt=d L（13-12）

式（13-12）就是質(zhì)點系的角動量定理。它表示一個質(zhì)點系所受合外力矩的角沖量等于質(zhì)點系角動量的增量。進(jìn)一步，如果合外力矩為零，即

M外=0（13-13）

質(zhì)點系的角動量為恒量，即

L=∑（ri×mivi）=恒量 （13-14）

式（13-13）和式（13-14）合在一起稱為質(zhì)點系角動量守恒定律。它表示當(dāng)質(zhì)點系所受合外力矩為零時，質(zhì)點系的角動量矢量保持不變。

三、角動量及角動量定理在直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示

以某一固定參考點為坐標(biāo)原點O，以過O點互相垂直的三條直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系。在該直角坐標(biāo)系下，質(zhì)點的位置矢量可以表示為

r=xi+yj+zk（13-15）

質(zhì)點的速度矢量可表示為

v=vxi+vyj+vzk（13-16）

質(zhì)點相對于參考點的角動量可表示為

L=Lxi+Lyj+Lzk（13-17）

按照角動量的定義

將式（13-18）與式（13-17）對比可得

Lx=m（yvz-zvy）

Ly=m（zvx-xvz）

Lz=m（xvy-yvx）（13-19）

式（13-19）就是角動量在直角坐標(biāo)系下的分量表達(dá)式。

四、角動量及角動量定理在自然坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表示

在力學(xué)中描述剛體繞定點轉(zhuǎn)動時，通常是通過建立特殊的主軸坐標(biāo)系，然后應(yīng)用剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉動力學(xué)方程來求解。歐拉方程是一組非線性常系數(shù)微分方程，一般情況下要求解出這個方程組相當(dāng)困難，且它也只在特殊的條件下才存在解析解。但是在有些情況下，若引入自然坐標(biāo)系，卻有可能使剛體定點轉(zhuǎn)動的問題簡單化，物理過程更加清晰，物理意義更加明確。

這里的自然坐標(biāo)是通過以下方式建立起來的。如圖13-1所示，O為固定點，角動量與外力矩都是相對O點而言的。首先把角動量的方向作為“切向”坐標(biāo)，那么角動量向量可以表述成L=Let形式，式中的et為“切向”的單位向量，則角動量定理可寫成如下形式：

圖13-1

式（13-21）中的Mt和Mn分別為合外力矩在“切向”與“法向”的分量大小，它亦為剛體定點轉(zhuǎn)動的角動量定理在自然坐標(biāo)系中的表達(dá)式。從式（13-21）可以清楚看到：“切向”力矩Mt既是改變角動量大小的原因，也能反映出角動量大小變化的快慢；而“法向”力矩Mn是引起角動量L方向變化的原因。又因為ω反映了角動量方向變化的快慢，由ω=可知，ω與“法向”力矩Mn成正比，與角動量的大小L成反比，也就是說外力矩改變角動量方向的難易程度與角動量本身的大小相關(guān)。因此，引入自然坐標(biāo)系，按“切向”與“法向”分解后，可以使剛體角動量定理的物理意義變得更加清晰。另外，利用自然坐標(biāo)系下的角動量定理，也往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化。如當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)動狀況較復(fù)雜時，可以利用式（13-19）通過外力矩來間接分析角動量變化規(guī)律；反之，當(dāng)外力矩不易求解時，也可以利用式（13-20）由角動量的變化規(guī)律來確定外力矩。

五、角動量守恒定理在國防、工業(yè)、日常生活中的應(yīng)用

1．花樣溜冰中的角動量守恒

我們在看滑冰表演時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，一個運動員站在冰上旋轉(zhuǎn)，當(dāng)運動員把手臂和腿伸展開時轉(zhuǎn)得較慢，而當(dāng)他把手臂和腿收回靠近身體時則轉(zhuǎn)得較快，這就是角動量守恒定律的表現(xiàn)。冰的摩擦力矩很小可忽略不計，所以人對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒。當(dāng)運動員的手臂和腿伸開時轉(zhuǎn)動慣量大故角速度較小，而收回后轉(zhuǎn)動慣量變小故角速度變大。

2．在直升機(jī)中的應(yīng)用

一般直升機(jī)由機(jī)身、主螺旋槳和抗扭螺旋槳組成。那么，為什么直升機(jī)必須在機(jī)尾處安裝抗扭螺旋槳呢？我們把直升機(jī)的主螺旋槳和機(jī)身視為一個物體系，并從物體系對轉(zhuǎn)動軸線的角動量守恒來解釋：發(fā)動機(jī)未開動時，直升機(jī)靜止于地面，系統(tǒng)對主螺旋槳轉(zhuǎn)軸的角動量為零。然后主螺旋槳開始轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)的角動量增加，這時外力矩由輪子與地面的摩擦力提供，滿足角動量定理。主螺旋槳加速轉(zhuǎn)動的力矩對系統(tǒng)來講是內(nèi)力矩，它與作用在機(jī)身的內(nèi)力矩總和為零，因此合內(nèi)力矩對系統(tǒng)的角動量沒有影響。而作用于機(jī)身的內(nèi)力矩又與地面的摩擦力矩相平衡，而使機(jī)身處于平衡狀態(tài)。主螺旋槳的角速度不斷增加，一旦機(jī)身離地，摩擦力矩將突然消失，忽略空氣對主螺旋槳轉(zhuǎn)動的阻力矩，此時外力矩則為零，故系統(tǒng)角動量應(yīng)保持不變，若主螺旋槳的角速度繼續(xù)增加，則機(jī)身會反方向轉(zhuǎn)動，以抵消由于主螺旋槳繼續(xù)加速而增加的角動量，使系統(tǒng)總角動量保持不變。機(jī)尾安裝的小螺旋槳可產(chǎn)生一個附加力矩與機(jī)身所受內(nèi)力矩平衡，從而消除機(jī)身的轉(zhuǎn)動。

3．陀螺儀進(jìn)動的應(yīng)用

圖13-2

常平架陀螺儀如圖13-2所示，外環(huán)可繞垂直軸自由轉(zhuǎn)動，內(nèi)環(huán)可繞水平軸自由轉(zhuǎn)動，回轉(zhuǎn)儀安裝在內(nèi)環(huán)中，其轉(zhuǎn)軸與內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)軸相垂直，三軸交于一點，并與陀螺儀的質(zhì)心重合，回轉(zhuǎn)儀的轉(zhuǎn)軸在空間取任意方向。由于三轉(zhuǎn)軸都通過質(zhì)心，所以回轉(zhuǎn)儀不受重力矩作用，因此回轉(zhuǎn)儀高速旋轉(zhuǎn)時，角動量保持不變，不論支架轉(zhuǎn)到什么方位，回轉(zhuǎn)儀的轉(zhuǎn)軸始終保持不變。常平架陀螺儀具有轉(zhuǎn)軸方向不變的特點，稱為指示型陀螺，可以作為指示器。如指示地理子午線和鉛垂線方向，測定飛機(jī)的姿態(tài)角、艦船的搖擺角，制造控制飛機(jī)和艦船的自動器等。動力型陀螺的陀螺組件常可用做穩(wěn)定器，或用于穩(wěn)定載體上的某種裝置，還可用于慣性導(dǎo)航、慣性平臺等。

六、應(yīng)用舉例

例 一個人站在竹筏一端用力向垂直于筏身方向跳出去，筏由于受到反沖作用就要旋轉(zhuǎn)起來。假定人的質(zhì)量為m=60kg，筏的長度L=10m，質(zhì)量M=500kg，人相對于岸的起跳速度為3m／s。求竹筏所獲得轉(zhuǎn)動的角速度（假定竹筏的轉(zhuǎn)動慣量可以近似地按細(xì)桿的公式計算，水的摩擦可以忽略不計）。

解：設(shè)J為竹筏對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，以竹筏中心為坐標(biāo)原點，竹筏中心指向有人的一端方向為x軸正方向建立一維Ox坐標(biāo)。由于人和筏組成的質(zhì)點系沒有外力矩作用，該體系角動量守恒，有

li×mv+Jω=0（13-22）

式中，l為人與筏中心之間的距離。人起跳時，在短時間的沖擊作用下，盡管人和竹筏分別獲得很大的速度增量和角速度增量，但由于相互作用時間很短，故相互作用結(jié)束后，人和竹筏的位置、角位置都沒有明顯的改變，于是竹筏對靜止坐標(biāo)系原點O的角動量就可以用竹筏繞質(zhì)心C的角動量來表示。此時J=Jc=ML2，故式（13-22）可寫為

解式（13-23）可得

假設(shè)人起跳前站在離竹筏中心距離為L／2的位置，則

ω=0．216rad／s（13-25）

式（13-24）是竹筏角速度的代數(shù)表達(dá)式，式（13-25）是人站在竹筏端點起跳竹筏獲得的角速度大小。

七、課后習(xí)題

圖13-3

13-1 如圖13-3所示，火箭以第二宇宙速度v0=沿地球表面A處切向飛出。在飛行過程中火箭發(fā)送機(jī)停止工作，不計空氣阻力，求火箭在距離地心4R的B處的速度。

13-2 如圖13-4所示，在光滑水平桌面上的A點，放有一質(zhì)量為M的木塊，木塊與一輕彈簧相連，彈簧的另一端固定在點O上，其勁度系數(shù)為k。質(zhì)量為m的子彈以初速度v0垂直于OA方向射向M，并嵌在木塊內(nèi)。初始時彈簧原長為l0，撞擊之后木塊運動到點B時，彈簧長度為l。求在B點時木塊的運動速度（包括速度的大小和速度的方向，即速度與OB的夾角）。

圖13-4

13-3 如圖13-5所示，從地球發(fā)射火箭到火星，發(fā)射后火箭繞太陽沿橢圓軌道運行。為了節(jié)省能量，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)臅r機(jī)，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點為火星，近日點為地球。假定地球和火星均繞太陽做圓周運動，圓軌道半徑分別為r1和r2，忽略其他行星對火箭的作用力，問：

（1）火箭應(yīng)以多大的速度離開地球？

（2）火箭到達(dá)火星要用多長時間？

圖13-5