2．7．2　正等測(cè)畫法

當(dāng)投影方向S與軸測(cè)投影面P垂直，且空間直角坐標(biāo)系中的各軸均與投影面P成相同的角度時(shí)，所形成的軸測(cè)投影即為正等軸測(cè)投影，簡(jiǎn)稱“正等測(cè)圖”。由于它畫法簡(jiǎn)單，立體感較強(qiáng)，所以在工程上較常用。

1．軸間角和軸向變形系數(shù)

根據(jù)計(jì)算，正等測(cè)的軸向伸縮系數(shù)p＝q＝r＝0．82，軸間角∠X₁O₁Y₁＝∠X₁O₁Z₁＝∠Y₁O₁Z₁＝120°。畫圖時(shí)，規(guī)定把O₁Z₁畫成鉛垂位置，因而O₁X₁軸及O₁Y₁與水平線均成30°角，故可直接用30°三角板作圖（如圖2．7．3所示）。

圖2．7．3　正等測(cè)的軸間角及軸向變形系數(shù)

為作圖方便，常采用簡(jiǎn)化伸縮系數(shù)，即取p＝q＝r＝1。這樣便可按實(shí)際尺寸畫圖。但畫出的圖形比原軸測(cè)投影大些，各軸向長(zhǎng)度均放大＝1．22倍。

圖2．7．4是按軸向伸縮系數(shù)為0．82畫出的正等測(cè)圖。圖2．7．5是按簡(jiǎn)化軸向伸縮系數(shù)為1畫出的正等測(cè)圖。

2．點(diǎn)的正等測(cè)投影的畫法

圖2．7．6示出點(diǎn)A（X_A，Y_A，Z_A）的三面正投影圖，依據(jù)軸測(cè)投影基本性質(zhì)及點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系，便可作出圖2．7．7所示的點(diǎn)A的正等測(cè)投影圖。其作圖步驟如下：

圖2．7．4　按軸向變形系數(shù)為0．82畫正等測(cè)圖

圖2．7．5　按軸向變形系數(shù)為1畫正等測(cè)圖

圖2．7．6　點(diǎn)的投影

圖2．7．7　點(diǎn)的正測(cè)圖

①作出正等軸測(cè)軸O₁Z₁、O₁X₁及O₁Y₁；

②在O1X1軸上截取O1ax1＝XA；

③過點(diǎn)a_x1作直線平行于O₁Y₁軸，并在該直線上截取a_x1a₁＝Y(jié)_A；

④過點(diǎn)a₁作直線平行于O₁Z₁軸，并在該直線上截取A₁a₁＝Z_A，得A₁，點(diǎn)A₁即為空間點(diǎn)A的正等測(cè)圖。

應(yīng)指出的是，如果只給出軸測(cè)投影A₁，不難看出，點(diǎn)A的空間位置不能唯—確定。實(shí)際上點(diǎn)的空間位置是由它的軸測(cè)投影和次投影確定的。所謂次投影，是指點(diǎn)在坐標(biāo)面上的正投影的軸測(cè)投影。如點(diǎn)A的空間位置就是由A₁和A在XOY坐標(biāo)面上的正投影a的軸測(cè)投影來確定的。

【例1】　已知斜墊塊的正投影圖（圖2．7．8），畫出其正等測(cè)圖。

圖2．7．8　斜墊塊的正投影圖

作圖步驟：（1）在斜墊塊上選定直角坐標(biāo)系；

（2）如圖2．7．9（a），畫出正等軸測(cè)軸，按尺寸a、b，畫出斜墊塊底面的軸測(cè)投影；

（3）如圖2．7．9（b），過底面的各頂點(diǎn)，沿O₁Z₁方向，向上作直線，并分別在其上截取高度h₁和h₂，得斜墊塊頂面的各頂點(diǎn)；

（4）如圖2．7．9（c），連接各頂點(diǎn)畫出斜墊塊頂面；

（5）如圖2．7．9（d），擦去多余作圖線，描深，即完成斜墊塊的正等測(cè)圖。

圖2．7．9　作墊塊的正等測(cè)圖

（a）作底面矩形；（b）取各棱線高；（c）畫項(xiàng)面；（d）加深

【例2】　已知形體的正投影圖（圖2．7．10），畫出其正等測(cè)圖。

圖2．7．10　形體的正投影圖

分析：形體由矩形底塊和楔形斜板組成。坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸的確定如圖2．7．10所示。可以看出，楔形板各側(cè)棱線都不與坐標(biāo)軸平行，其軸測(cè)投影的長(zhǎng)度并不按正等測(cè)軸向變形系數(shù)縮變。畫這些棱線時(shí)應(yīng)先沿軸測(cè)量，畫出棱線端點(diǎn)的軸測(cè)投影。

作圖步驟：（1）如圖2．7．11（a），畫出正等測(cè)軸，根據(jù)正投影圖，畫出矩形底塊的軸測(cè)投影。（2）如圖2．7．11（b），作楔形板上、下底面的軸測(cè)投影。①自原點(diǎn)O₁沿O₁Z₁軸向上量取20mm，得點(diǎn)E₁。②過點(diǎn)E₁作OX₁軸平行線，并在其上自點(diǎn)E₁向右量取6mm，得點(diǎn)A₁，再量取6mm，得點(diǎn)B₁。

③分別過點(diǎn)A₁和B₁作O₁Y₁軸平行線，并在其上分別沿O₁Y₁方向量取楔形板上底面的長(zhǎng)度尺寸，得點(diǎn)C₁和D₁。平面圖形A₁B₁C₁D₁即為上底的軸測(cè)投影。

④在O₁X₁Y₁面上，作出楔形板下底面的軸測(cè)投影。

（3）見圖2．7．11（c），作出各側(cè)棱線，擦去多余作圖線，描深，即完成形體的正等測(cè)圖。

圖2．7．11　作形體的正等測(cè)圖

（a）畫軸測(cè)軸和矩形底塊；（b）畫楔形板各頂點(diǎn)；（c）畫各棱線，加深

3．圓的正等測(cè)投影的畫法

一般情況下，圓的正等測(cè)投影為橢圓。畫圓的正等測(cè)投影時(shí)．一般以圓的外切正方形為輔助線。先畫出外切正方形的軸測(cè)投影——菱形，然后再用四心法近似畫出橢圓。

現(xiàn)以圖2．7．12所示水平位置的圓為例，介紹圓的正等測(cè)投影的畫法。其作圖步驟如下。

圖2．7．12　水平圓的正投影

①在圖2．7．12所示的正投影圖上，選定坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，并沿坐標(biāo)軸方向作出圓的外切正方形，得正方形與圓的四個(gè)切點(diǎn)A、B、C和D。

②畫出正等軸測(cè)軸O1X1和O1Y1，沿軸截取O1A1＝OA，B1O1＝BO，C1O1＝CO，O1D1＝OD，得點(diǎn)A1、B1、C1 和D₁，如圖2．7．13（a）所示。

③過點(diǎn)A₁、B₁作直線平行于O₁Y₁軸，過點(diǎn)C₁、D₁作直線平行于O₁X₁軸，交得菱形A₁B₁C₁D₁，此即為圓的外切正方形的正等測(cè)投影，如圖2．7．13（b）所示。

④以點(diǎn)O₀為圓心，以O(shè)₀B₁為半徑作圓弧，以點(diǎn)O₂為圓心，以O(shè)₂A₁為半徑作圓弧，如圖2．7．13（c）所示。

⑤作出菱形的對(duì)角線，線段O₂A₁、O₀B₁分別與菱形長(zhǎng)對(duì)角線交于點(diǎn)O₃、O₄。以點(diǎn)O₃為圓心，O₃A₁為半徑作圓弧；以點(diǎn)O₄為圓心，O₄C₁為半徑作圓弧，如圖2．7．13（d）所示。

圖2．7．13　圓的正等測(cè)圖的近似畫法

（a）畫軸測(cè)軸，截取四個(gè)點(diǎn)；（b）過四點(diǎn)作菱形；（c）畫大圓??；（d）畫小圓弧

以上四段圓弧組成的近似橢圓，即為所求圓的正等測(cè)投影。

圖2．7．14示出三個(gè)坐標(biāo)面上相同直徑圓的正等測(cè)投影，它們是形狀相同的三個(gè)橢圓。

每個(gè)坐標(biāo)面上圓的軸測(cè)投影（橢圓）的長(zhǎng)軸方向與垂直于該坐標(biāo)面的軸測(cè)軸垂直，而短軸則與該軸測(cè)軸平行。

以上圓的正等測(cè)的近似畫法，也適用于平行坐標(biāo)面的圓角。

如圖2．7．15（a）所示，平面圖形上有四個(gè)圓角。每一段圓弧相當(dāng)于整圓的四分之一。其正等測(cè)參見圖2．7．15（b）。每段圓弧的圓心是過外接菱形各邊中點(diǎn)（切點(diǎn)）所作垂線的交點(diǎn)。

圖2．7．14　各坐標(biāo)面圓的正等測(cè)投影

圖2．7．15（c）是平面圖形的正等測(cè)圖。其中圓弧D₁B₁是以O(shè)₂為圓心，R₂為半徑畫出的；圓弧以O(shè)₃為圓心，R₃為半徑畫出，D₁、B₁、C₁等各切點(diǎn)，均利用已知的r來確定。

4．曲面立體正等測(cè)投影圖的畫法

畫回轉(zhuǎn)體的軸測(cè)投影，應(yīng)首先掌握?qǐng)A的正等測(cè)投影，特別是要掌握與坐標(biāo)面平行或重合的圓的正等測(cè)投影的畫法。

1）圓柱的正等測(cè)圖

【例3】　作出圖2．7．16（a）所示圓柱的正等測(cè)圖。

分析：根據(jù)圓柱的對(duì)稱性和可見性，可選圓柱的頂圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖2．7．16（a）所示，這樣便于作圖。

圖2．7．15　圓角正等測(cè)圖畫法

（a）平面圖形；（b）圓的正等測(cè)圖；（c）平面圖形的正等測(cè)圖

圖2．7．16　圓柱正等測(cè)圖的畫法

（a）圓柱投影圖；（b）頂圓軸測(cè)圖；（c）畫底圓和轉(zhuǎn)向輪廓線；（d）結(jié)果

作圖步驟：（1）以圓柱頂圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，選定坐標(biāo)軸，如圖2．7．16（a）所示。

（2）作軸測(cè)軸，畫出頂圓的軸測(cè)圖，如圖2．7．16（b）所示。

（3）從頂圓圓心向下量取h，作底圓的軸測(cè)圖，并作出平行于Z₁軸并與兩橢圓相切的轉(zhuǎn)向輪廓線，如圖2．7．16（c）所示。

（4）擦去作圖線，并加深，結(jié)果如圖2．7．16（d）所示。

從圖2．7．16（c）中可知，圓柱底面后半部分不可見，故不必畫出。由于上、下兩橢圓完全相等，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離均為圓柱高度h，所以只要完整地畫出頂面橢圓，則底面橢圓的三段圓弧的圓心以及兩圓弧相連處的切點(diǎn)，沿Z₁軸方向向下量取高度h即可找出。這種方法稱為移心法，可簡(jiǎn)化作圖過程。

軸線垂直于V面、W面的正圓柱的軸測(cè)圖畫法與垂直于H面的相同，只是橢圓長(zhǎng)軸方向隨圓柱的軸線方向而異，即圓柱頂面、底面橢圓的長(zhǎng)軸方向與該圓柱的軸線垂直，如圖2．7．17所示。

圖2．7．17　三個(gè)方向圓柱的正等測(cè)圖

2）斜截圓柱的正等測(cè)圖

【例4】　作出圖2．7．18（a）所示形體的正等測(cè)圖。

分析：由投影圖可知圓柱被一個(gè)平面截切，截切后的截交線是橢圓弧。作圖時(shí)應(yīng)先畫未截切之前的圓柱，再畫斜截面。

作圖步驟：（1）畫圓柱的左端面。選定軸測(cè)軸，畫外切菱形和四心橢圓，如圖2．7．18（b）所示。

（2）沿O₁X₁軸向右量取X，作右端面橢圓，作平行于O₁Y₁軸的直線與兩橢圓相切，完成圓柱的正等測(cè)圖，如圖2．7．18（c）所示。

（3）用坐標(biāo)法作出截面上—系列的點(diǎn)。先作最低點(diǎn)1₁和2₁?？稍谧蠖嗣嫔涎豋₁Z₁軸向下量Z₁．再引線平行于O₁Y₁軸，交橢圓于點(diǎn)1₁、2₁，如圖2．7．18（d）所示。再作最前點(diǎn)3₁、最后作點(diǎn)4₁和最高點(diǎn)5₁。分別過中心線與橢圓的交點(diǎn)引平行于O₁X₁軸的圓柱素線，對(duì)應(yīng)量取X₁和X₂，得點(diǎn)3₁、4₁和5₁，如圖2．7．18（e）所示。在適當(dāng)位置作中間點(diǎn)。先在投影圖上選定點(diǎn)6₁、7₁，再沿O₁Z₁向上量取Z₂并作直線平行于O₁Y₁軸，向右量取X₂，可得點(diǎn)6₁和7₁，如圖2．7．18（f）所示。

圖2．7．18　截交線的正等測(cè)圖畫法

（a）投影圖；（b）畫左端面；（c）完成圓柱；（d）作點(diǎn)1₁、1₂；（e）作點(diǎn)3₁、4₁、5₁；

（f）作點(diǎn)6₁、7₂；（g）光滑連線；（h）完成正等測(cè)圖

（4）用直線連接點(diǎn)1₁、2₁，用圓滑曲線依次連接其余各點(diǎn)，如圖2．7．18（g）所示。

（5）擦去作圖線，即為所求，如圖2．7．18（h）所示。

3）相交兩圓柱的正等測(cè)圖

【例5】　作出圖2．7．19（a）所示的兩相貫圓柱的正等測(cè)圖。

圖2．7．19　相貫線軸測(cè)圖的畫法

（a）投影圖；（b）畫圓柱；（c）求相貫線點(diǎn)；（d）完成正等測(cè)圖

分析：此二圓柱正交，相貫線為空間曲線，需求出若干共有點(diǎn)的軸測(cè)投影以完成此空間曲線的軸測(cè)投影。

作圖步驟：（1）引入直角坐標(biāo)系，如圖2．7．19（a）所示。

（2）畫軸測(cè)軸后，作出直立圓柱和水平圓柱，如圖2．7．19（b）所示。

（3）以平行于X₁O₁Z₁面的平面截切兩圓柱，分別獲得兩組截交線，該兩組截交線的交點(diǎn)均為相貫線上的點(diǎn)，如圖2．7．19（c）所示。

（4）利用一些特殊位置的線，找出兩體交點(diǎn)，用曲線光滑地連接各點(diǎn)，擦去作圖線，并加深，如圖2．7．19（d）所示。

5．組合體的正等測(cè)圖

由于有些形體常常是由若干基本幾何形體按疊加或切割的方式組合而成的，當(dāng)繪制這種形體時(shí)，可按其組成順序逐個(gè)繪出每一個(gè)基本形體的軸測(cè)圖，然后整理立體投影，加粗可見輪廓線，去掉不可見線和多余作圖線，即完成整個(gè)形體的軸測(cè)圖。

【例6】　試畫出圖2．7．20（a）所示形體的正等測(cè)圖。

分析：從給出的正投影圖可知該形體是一個(gè)組合體，由方板和圓筒疊加而成，因此可按疊加法，先畫圓筒，后畫方板。

作圖步驟：（1）畫頂面外橢圓，以O(shè)₁為圓心畫軸測(cè)軸，畫外切菱形和四心橢圓，如圖2．7．20（b）所示。

（2）用同樣的方法畫頂面內(nèi)橢圓，如圖2．7．20（c）所示。

（3）完成圓筒，沿O₁Z₁軸從O₁點(diǎn)往下量取h₁得到O₂，以O(shè)₂為原點(diǎn)畫軸測(cè)軸，用同樣的方法畫出底面橢圓。作平行于O₁Z₁軸的直線與兩橢圓相切，完成圓筒的正等測(cè)圖，如圖2．7．20（d）所示。

（4）利用圓筒底面的軸測(cè)軸，畫方板頂面，如圖2．7．20（e）所示。

（5）將方板頂面的四角頂點(diǎn)沿O₁Z₁軸往下平移一個(gè)方板的厚度（h₂－h(huán)₁），如圖2．7．20 （f）所示。

（6）畫出方板底面的邊線，整理并加深可見輪廓線，完成整個(gè)形體的正等測(cè)圖，如圖2．7．20（g）所示。