我們研究了幾個很容易想到的另類作圖工具。但到目前為止，我們還沒有發(fā)現(xiàn)哪種幾何作圖模型的作圖能力可以超越尺規(guī)作圖。難道，尺規(guī)作圖真的就是最強(qiáng)大的作圖工具了嗎？當(dāng)然不是。這可能有些令人難以置信，一個看上去比尺規(guī)作圖更“低端”的作圖方法，其能力竟然遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了尺規(guī)作圖。這種方法就是——折紙。

1980年，北海道大學(xué)的阿部恒（Hisashi Abe）發(fā)現(xiàn)，用折紙法可以三等分任意角，而這是尺規(guī)作圖無法辦到的。

假設(shè)我們要三等分的角是∠XAY。如圖1，把∠XAY放在矩形紙張的一個直角上，AY靠著紙的邊緣，A X落在紙張內(nèi)部。在紙張的另一直角邊上確定兩點 P和 Q使得AP=PQ。過P點作AY的平行線。現(xiàn)在，把紙折起來，讓Q點恰好落在AX上，同時A點也恰好落在那條平行線上。不妨把 A、P、Q 的落點分別命名為 A'、P'、Q'，那么AP'和AA' 就是∠XAY的三等分線。

圖1

下面我們就來證明這一點。把折痕的端點分別記作B和C，再過A'作A'D垂直于AY。由于A'D平行于PA，因此∠1=∠2；另外，AB=A'B，△BAA'是等腰三角形，于是∠2又等于∠3。因此，∠1就和∠3相等。再加上A'D=PA=P'A'，AA'是公共邊，足以說明△AA'P'全等于△AA'D。這樣，∠AP'A' 就也是直角，從而∠AP'Q'也是直角。又注意到AP=PQ即表明A'P'=P'Q'，公共邊AP'=AP'，于是△AP'A'全等于△AP'Q'。以A為頂點的三個直角三角形都全等，因此對應(yīng)的三個角相等。

折紙為什么會比尺規(guī)作圖更強(qiáng)呢？要解答這個問題，首先我們得解決一個更基本的問題：什么叫折紙，折紙的游戲規(guī)則是什么？換句話說，折紙允許哪些基本的操作？大家或許會想到一些折紙幾何必須遵守的規(guī)則：所有直線都由折痕或者紙張邊緣確定，所有點都由直線的交點確定，折痕一律是將紙張折疊壓平再展開后得到的，每次折疊都要求對齊某些已有幾何元素（不能憑感覺亂折），等等。不過，這些定義都太“空”了，我們需要更加形式化的折紙規(guī)則。1991年，藤田文章（Humiaki Huzita）指出了折紙過程中的6種基本操作（也可以叫做折紙幾何的公理，示于圖2）。

（1）已知A、B兩點，可以折出一條經(jīng)過A、B的折痕。

（2）已知A、B兩點，可以把點A折到點B上去（這并不難辦到，不妨想象這張紙是透明的，所有幾何對象正反兩面都能看見，下同）。

（3）已知a、b兩條直線，可以把直線a折到直線b上去。

（4）已知點A和直線a，可以沿著一條過A點的折痕，把a(bǔ)折到自身上。

（5）已知A、B兩點和直線a，可以沿著一條過B點的折痕，把A折到a上。

（6）已知A、B兩點和a、b兩直線，可以把A、B分別折到a、b上。

圖2

容易看出，它們實際上對應(yīng)著不同的幾何作圖操作。例如，操作1實際上相當(dāng)于連接已知兩點，操作2實際上相當(dāng)于作出已知兩點的連線的垂直平分線，操作3則相當(dāng)于作出已知直線的夾角的角平分線，操作4則相當(dāng)于過已知點作已知直線的垂線。真正強(qiáng)大的則是后面兩項操作，它們確定出來的折痕要滿足一系列復(fù)雜的特征，不是尺規(guī)作圖一兩下能作出來的（有時甚至是作不出來的）。正是這兩個操作，讓折紙幾何有別于尺規(guī)作圖，折紙這門學(xué)問從此處開始變得有趣起來。

更有趣的是，操作5的解很可能不止一個。如圖3，在大多數(shù)情況下，過一個點有兩條能把點A折到直線a上的折痕。

圖3

操作6則更猛，如圖4，把已知兩點分別折到對應(yīng)的已知兩直線上，最多可以有三個解！

圖4

一組限定條件能同時產(chǎn)生三個解，這讓操作6變得無比靈活，無比強(qiáng)大。利用一些并不太復(fù)雜的解析幾何分析，我們能得出操作6有三種解的根本原因：滿足要求的折痕是一個不可約的三次方程的解。也就是說，給出兩個已知點和兩條對應(yīng)的已知直線后，尋找符合要求的折痕的過程，本質(zhì)上是在解一個三次方程！

讓我們來回顧一下尺規(guī)作圖里的五個基本操作：

（a）過已知兩點作直線；

（b）給定圓心和圓周上一點作圓；

（c）尋找直線與直線的交點；

（d）尋找圓與直線的交點；

（e）尋找圓與圓的交點。

這五項操作看上去變化多端，但前三項操作都是唯一解，后兩項操作最多也只能產(chǎn)生兩個解。從這個角度來看，尺規(guī)作圖最多只能解決二次問題，加減乘除和不斷開方就已經(jīng)是尺規(guī)作圖的極限了。能解決三次問題的折紙規(guī)則，勢必比尺規(guī)作圖更加強(qiáng)大。

正因為如此，一些尺規(guī)作圖無法完成的任務(wù)，在折紙幾何中卻能辦到。這就回到了本節(jié)開頭提到的問題：用折紙法可以實現(xiàn)三等分角，而這是無法用尺規(guī)作圖辦到的。

我們有更簡單的例子來說明，用折紙法能完成尺規(guī)作圖辦不到的事情。前面我們講過，“倍立方體”問題是古希臘三大尺規(guī)作圖難題之一，它要求把立方體的體積擴(kuò)大到原來的兩倍，本質(zhì)上是求作2的立方根。由于尺規(guī)作圖最多只能開平方，因而它無法完成“倍立方體”的任務(wù)。但是，折紙公理6相當(dāng)于解三次方程，解決“倍立方體”難題似乎游刃有余。

有意思的是，用紙片折出2的立方根比想象中的更加簡單。取一張正方形紙片，將它橫著劃分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然后，將右邊界中下面那個三等分點折到正方形內(nèi)部的上面那條三等分線上，同時將紙片的右下角頂點折到正方形的左邊界。那么，紙片的左邊界就被分成了兩段。

圖5

利用勾股定理和相似三角形建立各線段長度的關(guān)系，我們不難證明它的正確性。強(qiáng)烈建議大家自己動手算一算，來看看三次方程是如何產(chǎn)生的。

本文寫到這里，大家或許以為故事就結(jié)束了，但 10年以后（也就是 2001年），事情又有了轉(zhuǎn)折：羽鳥公士郎（Koshiro Hatori）發(fā)現(xiàn)，藤田文章的6個折紙公理并不是完整的。羽鳥公士郎給出了折紙的第7種操作。從形式上看，第7公理與已有的公理如出一轍，并不出人意料，很難想象這個公理整整十年里竟然一直沒被發(fā)現(xiàn)。繼續(xù)閱讀之前，大家不妨先自己想想，這個缺失的操作是什么。這段歷史背景無疑讓它成為了一個非常有趣的思考題。

羽鳥公士郎補(bǔ)充的公理是：

（7）已知點A和a、b兩直線，可以把A折到a上，同時把b折到自身上。

圖6

后來，這7條公理就合稱為藤田—羽鳥公理。在2003年的一篇文章中，羅伯特·蘭（Robert J.Lang）對這些公理進(jìn)行了一番整理和分析，證明了這 7 條公理已經(jīng)包含折紙幾何中的全部操作了。

羅伯特·蘭注意到了，上述7項基本操作其實是由一些更基本的操作要素組合而成的，例如“把已知點折到已知線上”、“折痕經(jīng)過已知點”等。說得更貼切一些，這些更加基本的操作要素其實是對折痕的“限制條件”。在平面直角坐標(biāo)系中，折痕完全由斜率和截距確定，它等價于一個包含兩個變量的方程。不同的折疊要素對折痕的限制力是不同的，例如“把已知點折到已知點上”就同時要求x₁＇=x₂并且 y₁＇=y₂，據(jù)此可以建立出兩個等量關(guān)系，一下子就把折痕的兩個變量都限制住了。而“折痕經(jīng)過已知點”則只包含一個等量關(guān)系，只能確定一個變量（形式上通常表示為與另一個變量的關(guān)系），把折痕的活動范圍限制在一個維度里。

不難總結(jié)出，基本的折疊限制要素共有5個：

（1）把已知點折到已知點上，確定2個變量；

（2）把已知點折到已知線上，確定1個變量；

（3）把已知線折到已知線上，確定2個變量；

（4）把已知線折到自身上，確定1個變量；

（5）折痕經(jīng)過已知點，確定1個變量；

而折痕本身有2個待確定的變量，因此符合要求的折紙操作只有這么幾種：（1），（2）+（2），（3），（4）+（4），（5）+（5），（2）+（4），（2）+（5），（4）+（5）。但是，這里面有一種組合需要排除掉：（4）+（4）。在絕大多數(shù)情況下，（4）+（4）實際上都是不可能實現(xiàn)的。如果給出的兩條直線不平行，我們就無法折疊紙張使得它們都與自身重合，因為沒有同時垂直于它們的直線。

另外7種則正好對應(yīng)了前面7個公理，既無重合，又無遺漏。折紙幾何至此便有了一套完整的公理。

不過，折紙的學(xué)問遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有到此結(jié)束。如果允許單次操作同時包含多處折疊，折紙公理將會更復(fù)雜，更強(qiáng)大。折紙的極限究竟在哪里，這無疑是一個非常讓人振奮的研究課題。