盡管Airy模型和Pratt模型都能幫助大地測量學家減小三角測量的閉合誤差，Airy模型還能解釋地震研究揭示的地殼結(jié)構(gòu)，但無論是哪種均衡模式，均假設(shè)地殼柱體是分離的，彼此間沒有相互作用，而真實的地殼物質(zhì)間存在阻礙運動的作用，地殼具有強度。1890年，美國地質(zhì)調(diào)查局首席地質(zhì)學家Gilbert發(fā)表一篇關(guān)于Bonneville湖的經(jīng)典論文，他詳細考察了湖水卸載后地殼的隆升量，如果采用Airy模型，得到的隆升量比觀測值大2.5倍。由此， Gilbert認識到均衡模型忽視了地殼的強度，而正是地殼內(nèi)在的強度阻滯了其上升，使其上升量達不到均衡模型的預(yù)測值。

11.4.1 維寧·曼尼茲均衡改正和均衡異常

1931年，荷蘭地球物理學家維寧·曼尼茲（Vening Meinsez）修正了艾里的局部補償概念，提出區(qū)域補償?shù)挠^點（圖11-10）。他認為地形作為地表載荷會引起地殼彎曲。地殼對地形的反應(yīng)好像一個彈性板，能抵抗負荷產(chǎn)生的剪切力。如果載荷足夠大，會使剛性地殼向下進入下伏流體，產(chǎn)生如同Airy假說預(yù)測的低密度根。與Airy模型不同的是，由于載荷至少部分地被地殼剛性所支撐，根的尺度將比較寬大。彈性板的每一點向下彎曲，其彎曲量表示均衡補償大小。

圖11-10 維寧·曼尼茲重力均衡示意圖

Vening Meinsez采用三維彎曲彈性板模型研究重力作用下的彎曲補償問題，用Hertz撓曲曲線計算了補償模式，Vening Meinsez將載荷點到撓曲為零點的距離定義為區(qū)域補償半徑。

其中

式中，F(xiàn)1為每單位寬度上施加的線性力；f稱為抗彎參數(shù)；Z為平板自一端計起的x處向下彎曲量（位移）；ρu和ρr分別為下伏軟流層和上覆物質(zhì)（水或巖石）的密度，這三個式子中，都含有（ρu-ρr）g項，它們表示板的浮力與重量之差；4EI/（1-σ2）為板的抗彎剛度（σ為泊松比；E為彈性模量；I為對于板的中性軸的轉(zhuǎn)動慣量，I=B3/12（1-σ2）；B為板的厚度）。

采用這種模式，Vening Meinsez對試驗區(qū)重力點進行計算，結(jié)果表明Vening Meinsez模型較Airy模型大幅度減小了均衡異常，說明考慮區(qū)域均衡的重要性。Vening Meinsez認為區(qū)域均衡和局部均衡都是重要的，對于因地殼垂向伸展導(dǎo)致的造山過程，適用Pratt-Hayford模式，而Airy-Heiskanen模式適用大陸到海洋的轉(zhuǎn)換帶，區(qū)域均衡則與侵蝕、沉積、火山活動或褶皺等情況更吻合。

11.4.2 實驗均衡

20世紀70年代，多爾曼（Dorman）和劉易斯（Lewis）等地球物理學家認識到：以往都是基于某種假定的均衡機制（Pratt或Airy）去研究均衡，而沒有從實際觀測的地形和重力異常數(shù)據(jù)出發(fā)來考慮均衡補償，導(dǎo)致假設(shè)的均衡機制可能缺乏確切的地球物理證據(jù)。由此開始了“實驗均衡”的研究。實驗均衡的研究思路是假設(shè)地球?qū)Φ匦呜撦d的響應(yīng)是線性的，那么這些負載產(chǎn)生的重力場響應(yīng)就可以表示為地形與均衡響應(yīng)函數(shù)空間二維的卷積。借助傅立葉頻譜分析，空間域的卷積在頻率域變?yōu)槌朔e，計算獲得由觀測數(shù)據(jù)直接導(dǎo)出的均衡響應(yīng)函數(shù)，等于頻率域重力與地形的比值。隨后，研究適合解釋由觀測數(shù)據(jù)解算獲得的響應(yīng)函數(shù)的均衡模型。

針對彈性二維平板彎曲或撓曲，若平板的彎曲剛度為D，可導(dǎo)出板彎曲w（x）的平衡方程為

式中，P為作用于該板兩端的水平方向上的力；D=，其中E為楊氏模量，μ為泊松比，Te為板厚度。

若設(shè)hw為水深，h為海洋巖石層的厚度，水和地幔密度分別為ρw和ρm。當力qa加載于海洋巖石層的中心時，海洋巖石層將彎曲，在點x處產(chǎn)生的彎曲位移w（x）。

對變形部分： ρwg[hw+w（x）]+ρmgh

對周圍地幔： ρwghw+[h+w（x）]ρmg

g為重力加速度。作用于變形后的巖石層底部單位面積上的流體靜壓力為

ρwghw+[h+w（x）]ρmg-ρwg[hw+w（x）]-ρmgh=（ρm-ρw）gw （11-45）

垂直方向上作用在巖石層上的凈作用力為

對于大陸而言，ρw改為ρc，ρc為地殼平均密度，有

假設(shè)在地球表面上有二維周期性加載，則

式中，λ為地形波長，如果地形變化與巖石層厚度相比很小，可忽略這些起伏本身對于巖石層厚度的影響。不考慮作用于該板兩端的水平方向上的力，P=0。從而

令巖石層將彎曲仍為周期性函數(shù)形式：

代入方程可求得

彈性板對地形負載的理論響應(yīng)函數(shù)可表示為

式中，Z為均衡補償深度；G為萬有引力常量；D為彈性板剛度；ω為波數(shù)，ω=?？紤]海水層的負載影響，同時不考慮層間密度差異，則得到

式中，d為平均水深。

利用均衡響應(yīng)函數(shù)的定義式，即譜相關(guān)的方法求取實驗均衡響應(yīng)值，公式為

式中，“*”代表復(fù)共軛；Z（ω）為均衡響應(yīng)函數(shù)；Sg（ω）為重力異常譜；Sh（ω）為地形譜。

通過比較實驗均衡響應(yīng)值和彈性板剛度D值不同的理論響應(yīng)函數(shù)，可確定彈性板剛度D值，由公式D=求出彈性板的厚度Te。這里，Te稱為巖石圈有效彈性厚度，定義為與巖石圈板塊中實際應(yīng)力分布所產(chǎn)生的彎矩相等的理論彎曲彈性薄板厚度，標志著在地質(zhì)時間尺度內(nèi)巖石承受超過100MPa壓力時發(fā)生彈性行為和流變（體）行為轉(zhuǎn)變的深度。Te是一個反映巖石圈綜合強度的物理參數(shù)。它不僅與巖石圈構(gòu)造運動和動力學有關(guān)，并且反映了巖石圈熱學、流變結(jié)構(gòu)等方面的信息，因此成為近幾十年廣泛研究的對象。