我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)而討論那些否定數(shù)學(xué)對象存在的哲學(xué)。這種觀點(diǎn)，有時(shí)稱為“唯名論”，是本體論反實(shí)在論的一個(gè)激進(jìn)的版本^[1]。我假定有人會(huì)簡單地認(rèn)為數(shù)學(xué)根本沒有價(jià)值。對于這樣一個(gè)哲學(xué)家，數(shù)學(xué)對象將會(huì)重蹈女巫和熱質(zhì)^[2]的覆轍，而數(shù)學(xué)本身也將重蹈煉金術(shù)的覆轍——被當(dāng)作理智的垃圾而拋棄。盡管這也許會(huì)具有吸引力，至少對我的孩子們（這本書是獻(xiàn)給他們的）中的一個(gè)，但這里我們關(guān)心的哲學(xué)則認(rèn)真看待數(shù)學(xué)并承認(rèn)數(shù)學(xué)在理智的努力中的良好作用。本章考慮的哲學(xué)家試圖，以下面這種方式重述或替換數(shù)學(xué)：科學(xué)事業(yè)沒有預(yù)設(shè)特殊數(shù)學(xué)對象——數(shù)和集合——的存在。

這些作者中的一位，菲爾德，在字面意義上理解數(shù)學(xué)語言。他認(rèn)為數(shù)學(xué)對象并不存在，數(shù)學(xué)命題具有客觀但空洞的真值。例如，他堅(jiān)持“所有自然數(shù)是素?cái)?shù)”為真，因?yàn)椴⒉淮嬖谧匀粩?shù)。這就類似于說“所有入侵者都被擊斃或被起訴”是真的，即使（如所希望的）沒有入侵者。類似地，菲爾德認(rèn)為“存在一個(gè)大于100的素?cái)?shù)”是假的。所以數(shù)學(xué)陳述的真值并不與數(shù)學(xué)定理相符合。這樣，對于菲爾德，數(shù)學(xué)的核心問題就不能是斷言真理、否定謬誤了。那將是一種平凡而無意義的練習(xí)。不過，菲爾德確實(shí)嚴(yán)肅地對待數(shù)學(xué)，并且他為數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)角色，這個(gè)角色與斷言有關(guān)（不存在的）數(shù)學(xué)對象的真理不同。數(shù)學(xué)命題的空洞真值在確定數(shù)學(xué)的可接受性或數(shù)學(xué)在科學(xué)中所扮演的角色方面起不到任何作用。因此，菲爾德至少在精神上與真值反實(shí)在論者，即那些否定數(shù)學(xué)命題具有客觀真值的人，是同盟（但菲爾德不提倡對數(shù)學(xué)實(shí)踐的修正——見第7章）。

另一位著名的本體論反實(shí)在論者赤哈拉，提供了一種系統(tǒng)的方式來解釋數(shù)學(xué)語言，使其不再（或明或暗地）指稱數(shù)學(xué)對象。不過，數(shù)學(xué)語言中的句子，在這種解釋下，仍具有它們標(biāo)準(zhǔn)的真值。例如，在赤哈拉的系統(tǒng)中，算術(shù)的歸納原則和分析的完全性定理都是真的。這樣，赤哈拉是一個(gè)真值實(shí)在論者，他與前一章討論的作者一樣，認(rèn)為數(shù)學(xué)陳述具有客觀真值，獨(dú)立于數(shù)學(xué)家的心靈、語言或社會(huì)階層。