數(shù)字中的周期現(xiàn)象

周期現(xiàn)象是普遍存在的。如果你注意一下，就可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字中也存在著形形色色的周期現(xiàn)象。

例如，自然數(shù)經(jīng)過(guò)5次乘方之后，其末位數(shù)會(huì)出現(xiàn)“重現(xiàn)”或“回歸”:2的5次方是32，其末位仍然是2;3的5次方是243，其末位仍然是3;7的5次方，我們即使不算出其結(jié)果，也可以肯定它的末位必定還是7;等等。

觀察一下從1至9的平方的末位數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)它們組成了一個(gè)回文序列:1，4，9，6，5，6，9，4，1。10的平方100末位是0，而此后各數(shù)的平方的末位數(shù)又是1，4，9，6，5，6，9，4，1。整個(gè)自然數(shù)的平方的末位數(shù)，始終在那兒兜圈子，循環(huán)反復(fù)，以至無(wú)窮。而這些反復(fù)出現(xiàn)的周期，中間是以0來(lái)分界的。

人們還發(fā)現(xiàn)，一切平方數(shù)的根數(shù)只能是1，4，7，9這四個(gè)數(shù)字，不可能是其他數(shù)字。這里所稱的“根數(shù)”，就是把一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字統(tǒng)統(tǒng)相加起來(lái)，求出其和數(shù)，如果這個(gè)和數(shù)比9大，就一直減去9的整倍數(shù)，直至余數(shù)小于或等于9為止。例如，135的根數(shù)是9，246的根數(shù)是3，等等。

利用上述知識(shí)，有時(shí)很容易判別一個(gè)數(shù)究竟是不是平方數(shù)。譬如說(shuō)，98765432123456789是不是一個(gè)平方數(shù)?我們不妨查一下它的根數(shù)，是8，而不是1，4，7，9中的一個(gè)，于是就可以肯定它不是一個(gè)完全平方數(shù)。

一切平方數(shù)的根數(shù)不僅具有如上的特性，而且當(dāng)完全平方數(shù)依序遞增時(shí)，其根數(shù)也是以1，4，9，7，7，9，4，1的回文序列反復(fù)出現(xiàn)的。不過(guò)，這一次是以9，而不是用0來(lái)作為各個(gè)周期的分界。下面舉些實(shí)例來(lái)說(shuō)明:

100(10的平方)的根數(shù)為1;

121(11的平方)的根數(shù)為4;

144(12的平方)的根數(shù)為9;

169(13的平方)的根數(shù)為7;

196(14的平方)的根數(shù)為7;

225(15的平方)的根數(shù)為9;

256(16的平方)的根數(shù)為4;

289(17的平方)的根數(shù)為1;

324(18的平方)的根數(shù)為9;——周期的分界標(biāo)志

361(19的平方)的根數(shù)為1;——下一周期的開(kāi)始

……

平方數(shù)的這些性質(zhì)，不僅有趣，而且有很大的實(shí)用價(jià)值。靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，我們就可掌握許多速算的竅門。