第二節(jié)　外國近代數(shù)學(xué)課程發(fā)展

正當(dāng)我國清代中后期數(shù)學(xué)發(fā)展步履緩慢的時(shí)候，西歐爆發(fā)了一系列資產(chǎn)階級(jí)民主革命，它促進(jìn)了自然科學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的飛躍發(fā)展，新興的資產(chǎn)階級(jí)對(duì)教育提出了新的要求。

一、17—18世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程

1．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展迅速，名家輩出

（1）解析幾何與微積分的誕生。17世紀(jì)40年代，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（Femmt，1601—1665年）。與笛卡兒（Desearter，1596－1650年）創(chuàng)建了解析幾何學(xué)，在代數(shù)與幾何兩大學(xué)科之間架設(shè)了橋梁，為深入研究函數(shù)的形態(tài)提供了工具。

費(fèi)爾馬生于法國南部網(wǎng)盧斯附近的波蒙，父親是皮革商人。費(fèi)爾馬受過良好的家庭教育，他在大學(xué)攻讀法律，畢業(yè)后當(dāng)過律師。他曾是圖盧斯地方議會(huì)議員、社會(huì)活動(dòng)家，他清正廉明，恪守公職。他在業(yè)余時(shí)間博覽群書，博識(shí)廣聞，精通希臘語、拉丁語，從30歲開始迷戀上數(shù)學(xué)，直至去世。他雖然不以數(shù)學(xué)為職業(yè)，但他把所有業(yè)余時(shí)間都用在數(shù)學(xué)上。他在數(shù)學(xué)的四大分支（微積分、解析幾何、概率論、數(shù)論）中，都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。1629年，費(fèi)爾馬撰寫，《論平面和立體的軌跡》一書，闡述了他在解析幾何的原理。在書中，他提出并使用了坐標(biāo)的概念。美國數(shù)學(xué)家貝爾（E．Bell）稱他為業(yè)余數(shù)學(xué)之王。

1637年，費(fèi)爾馬提出了重要的猜想“方程xⁿ＋yⁿ＝zⁿ，當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，沒有整數(shù)解”，并寫出了n＝4時(shí)證明的大意。該猜想被稱為費(fèi)爾馬大定理。為了證明這個(gè)定理，其他數(shù)學(xué)家分別作出努力，證明了定理的一些特例成立。例如，歐拉證明了n＝3，n＝4時(shí)該定理成立；1823年，法國數(shù)學(xué)家勒讓德證明n＝5時(shí)該定理成立；1849年，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柼岢隽巳碌睦硐霐?shù)概念，證明n＝37，n＝59，n＝67時(shí)，該定理成立。根據(jù)庫默爾的理論，n＜100時(shí)，該定理都成立。為了攻克這個(gè)定理，數(shù)學(xué)家們奮斗了三百余年。1993年，英國劍橋大學(xué)博士、美國普林斯頓大學(xué)教授、英國牛津大學(xué)兼職教授Wiles　Andrew證明了這個(gè)著名定理，從而獲得了1995－1996年度的沃爾夫獎(jiǎng)。

笛卡兒是哲學(xué)家、自然科學(xué)家、音樂家和數(shù)學(xué)家。與他那輝煌的數(shù)學(xué)成就相比，他在其他方面的成就黯然失色。19世紀(jì)，英國著名的哲學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、科學(xué)家穆勒（1806—1873年）說：“笛卡兒的坐標(biāo)幾何遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他哲學(xué)上的任何成就?！?/p>

笛卡兒生于文藝復(fù)興末期，母親早逝，由于他從小體弱多病，父親隨他所愿學(xué)習(xí)，從不加限制。他8歲到歐洲著名的教會(huì)學(xué)?！鹑R舍公學(xué)學(xué)習(xí)，校長特許他早上時(shí)間自由支配，不必隨同學(xué)一道早起。自由思考的學(xué)術(shù)氛圍鼓勵(lì)了他好學(xué)多問的性格。

笛卡兒16歲上大學(xué)，20歲獲博士學(xué)位，在歐洲各國擴(kuò)展視野。1616年，他大學(xué)畢業(yè)，同年參軍。荷蘭王子為了使他有更多時(shí)間思考，并不讓他參戰(zhàn)。1619年11月10日，他做了三個(gè)奇怪的夢(mèng)。他對(duì)別人說，他的夢(mèng)像一把打開自然寶庫的鑰匙，預(yù)示了坐標(biāo)思想的誕生。于是，人們便把這一天稱為解析幾何的誕生日。

《幾何學(xué)》是笛卡兒公開發(fā)表的唯一數(shù)學(xué)著作，這本書論述的不僅是幾何自身的內(nèi)容。全書共分三卷：第一卷闡述僅用直線和圓的作圖問題；第二卷闡述曲線的性質(zhì)，展示了坐標(biāo)思想；第三卷是探究方程的根的性質(zhì)的代數(shù)問題。

此外，笛卡兒在給朋友的信中，還說明了他的閃光的數(shù)學(xué)思想，例如有關(guān)擺線的面積、對(duì)數(shù)螺線的極坐標(biāo)方程等。1639年，他已經(jīng)認(rèn)識(shí)到歐拉在1750年發(fā)表的定理，即凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)－面數(shù)＋棱數(shù)＝2。

17世紀(jì)下半葉，英國著名數(shù)學(xué)家牛頓（Newton，1642—1727年）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz，1646—1716年）創(chuàng)立了微積分學(xué)，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大事件，標(biāo)志著由常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向變量數(shù)學(xué)。

牛頓生于英格蘭的林肯郡，出生前兩個(gè)月父親就去世了。兩歲時(shí)，母親改嫁，幼年時(shí)的牛頓便由外祖母撫養(yǎng)。他12歲到格蘭瑟姆鎮(zhèn)中學(xué)上學(xué)，少年牛頓愛搞機(jī)械小制作，在制作的過程中感悟到需要學(xué)好數(shù)學(xué)。

牛頓19歲考上劍橋大學(xué)三一學(xué)院，靠勤工儉學(xué)維持學(xué)業(yè)。在大學(xué)里，牛頓認(rèn)真學(xué)習(xí)了歐幾里得的《幾何原本》、開普的《光學(xué)》、瓦里士的《無窮小分析》等數(shù)學(xué)名著。1665—1666年，英國鼠疫流行，學(xué)校停課，牛頓兩次回家避災(zāi)，此時(shí)他的學(xué)術(shù)思想十分活躍，他的三大成就都是在這段時(shí)間孕育形成的。這三大成就是：流數(shù)術(shù)（即微積分）、萬有引力定律和光學(xué)分析。23歲的牛頓在此時(shí)已奠定了科學(xué)研究的基礎(chǔ)。

牛頓在代數(shù)方面的成就，體現(xiàn)在他寫成的《廣義算術(shù)》一書，總結(jié)了符號(hào)代數(shù)的成果，發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，該定理被稱為牛頓二項(xiàng)式公式。他對(duì)平面曲線的研究也有許多杰出的成果，提出了曲率中心、密切圓的概念，給出了計(jì)算曲率的方法。

牛頓有兩句自我評(píng)價(jià)的名言令后人深思：

“我不知道世上的人怎么看我；不過我覺得，我只像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，一會(huì)兒撿起一塊比較光滑的卵石，一會(huì)兒找到個(gè)美麗些的貝殼，而在我的面前，真理的大海還沒有發(fā)現(xiàn)。”

“我之所以比笛卡兒看得遠(yuǎn)一些，是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀！?/p>

萊布尼茲出生于德國萊比錫一個(gè)教授的家庭。他15歲在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，17歲在耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)了短時(shí)間的數(shù)學(xué)，20歲轉(zhuǎn)入阿爾特道夫大學(xué)，發(fā)表了他第一篇題為《論組合藝術(shù)》的數(shù)學(xué)論文。1672年他作為大使出訪法國巴黎，為期四年，同時(shí)開始研究伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等科學(xué)前輩的思想，這對(duì)他的科學(xué)生涯產(chǎn)生了重要意義。1673年，萊布尼茲在倫敦停留，被選為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。

他的主要數(shù)學(xué)成就是：①獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)說，主要是從研究曲線的切線和面積方面引入，他在表達(dá)形式上和所引用的符號(hào)方面比牛頓高一籌，而牛頓在結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)以及微積分的應(yīng)用方面又比他更為出色。②給出了三階行列式的展開式，這是西方研究行列式的最初起源。③1679年發(fā)表了《幾何特性》一書，表述了位置幾何學(xué)的想法，在給數(shù)學(xué)家惠更斯的信中提出了組合拓?fù)涞乃枷搿＂?679年發(fā)表了《論二進(jìn)制級(jí)數(shù)》的論文，提出了二進(jìn)制的思想；認(rèn)為中國《易經(jīng)》的八卦圖的排列與二進(jìn)制原理相吻合；從而為計(jì)算、理論及控制論首開先河。

牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分的學(xué)說，這項(xiàng)偉大的成就成為數(shù)學(xué)發(fā)展的第二個(gè)高峰。牛頓和萊布尼茲有關(guān)微積分的優(yōu)先權(quán)的爭論使雙方都十分苦惱，英國和歐洲大陸的數(shù)學(xué)交流因此而中斷了近一個(gè)世紀(jì)。然而，這兩位學(xué)者從來沒有懷疑過對(duì)方的科學(xué)才能。在一個(gè)宴會(huì)上，當(dāng)普魯士王問到對(duì)牛頓的評(píng)價(jià)時(shí)，萊布尼茲回答說：“綜觀有史以來的全部數(shù)學(xué)，牛頓所做的工作多于一半?！?/p>

（2）分析學(xué)的繼續(xù)發(fā)展。牛頓、萊布尼茲只是建立了微積分學(xué)的摹本原理和基本框架，這個(gè)學(xué)說的豐富與完善是由十八九世紀(jì)一批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家完成的。對(duì)微積分學(xué)的發(fā)展和完善作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家分別有：捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾（1781－1848年）用類似現(xiàn)代的方法給出了連續(xù)函數(shù)的定義，在數(shù)學(xué)史上首次指出了連續(xù)性與可微性是不同的概念；法國數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy，1789—1857年）建立了以極限論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代微積分體系；德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（Weierstmss，1815—1897年）建立了極限理論中的ε－δ方法，提出了一致收斂的概念；康托（Canter，1845—1918年）用基本序列定義實(shí)數(shù)；戴特金（Dedekind，1831—1916年）用分割方法定義了無理數(shù)。由于上述數(shù)學(xué)家的杰出工作，為微積分學(xué)建立了嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。

與此同時(shí)，數(shù)學(xué)的其他方面取得重大發(fā)展，產(chǎn)生了許多新的研究領(lǐng)域。

（3）幾何學(xué)的繼續(xù)發(fā)展。法國數(shù)學(xué)家筒沙格（Desar－gues，1591—1661年）提出無窮遠(yuǎn)元素概念，與他的學(xué)生笛卡兒一起，奠定了射影幾何的基礎(chǔ)；法國數(shù)學(xué)家蒙日（Monge，1746—1818年）發(fā)表了《分析在幾何上的應(yīng)用》，這是微分幾何的第一本專著；瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Eul－er，1707—1783年）建立了曲面理論；德國數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777—1855年）引進(jìn)了曲線與曲面的參數(shù)表達(dá)式；德國數(shù)學(xué)家黎曼（Riemann。1826—1866年）提出了流形理論。微分幾何的建立和發(fā)展使得有可能用分析方法研究幾何學(xué)。此外，對(duì)歐幾里得幾何第九公設(shè)的研究導(dǎo)致非歐幾何的建立。德國數(shù)學(xué)家高斯、匈牙利數(shù)學(xué)家波耶（Bolyai，1802—1860年）、俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（Lobachevski，1793—1856年）分別對(duì)非歐幾何的建立作出了重要貢獻(xiàn)。

（4）代數(shù)學(xué)的繼續(xù)發(fā)展。數(shù)學(xué)家們對(duì)于高次方程用根式求解的問題進(jìn)行了深入的研究，特別是挪威杰出的青年數(shù)學(xué)家阿貝爾（802—1829年）證明了重要定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解；法國杰出的青年數(shù)學(xué)家伽羅華（1811－1832年）在對(duì)代數(shù)方程的根式可解性的研究中，引入了置換群的概念，成為群論的開創(chuàng)者；1853年，英國數(shù)學(xué)家哈密頓（1805—1865年）發(fā)表了《四元數(shù)講義》，揭示了數(shù)的概念有不同維數(shù)，開創(chuàng)了用公理方法研究數(shù)系的新思路?？挛骼^承了法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（1736－1813年）和拉普拉斯（1749—1827年）的工作，建立了行列式的系統(tǒng)理論；英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特（1814－1897年）對(duì)于用方程的系數(shù)行列式研究方程的解做了許多出色的研究，首先提出了矩陣這一術(shù)語，在這基礎(chǔ)上，英國數(shù)學(xué)家凱萊（1821—1895年）于1858年在他的論著《矩陣論的研究報(bào)告》中系統(tǒng)地闡述了矩陣?yán)碚?，成為矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)始人。

阿貝爾生于挪威首都奧斯陸附近的芬多村，其父是一個(gè)牧師、議員。幼年時(shí)，父親給他良好的家庭教育。1817年，他進(jìn)入中學(xué)學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)教師激發(fā)了他學(xué)好數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈愿望。1820年他父親去世，從此家境惡化。1821年，阿貝爾進(jìn)入利斯蒂安尼亞大學(xué)，專心研究高于四次的一般代數(shù)方程的代數(shù)解法問題。1824年寫出了題為《一般五次以上的代數(shù)方程不可能有根式表達(dá)式的解》的論文，初次顯露了他的數(shù)學(xué)才華。他畢業(yè)后赴巴黎和柏林留學(xué)，1826年遷居巴黎，1827年回到挪威，1829年患肺結(jié)核病逝世，年僅27歲。他對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了劃時(shí)代意義的貢獻(xiàn)。世界著名的《純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》雜志頭三卷就發(fā)表了他的23篇論文。他的關(guān)于五次方程的著名論文，解決了三百多年來懸而未決的問題，開辟了近世代數(shù)方程論的道路。他還考慮了一些特殊的能用根式解決的方程，其中的一類被稱為“阿貝爾方程”。在這一工作中，他實(shí)際上引入了域（field）這一重要的近世代數(shù)概念。

他一生貧病交加，卻留下了許多創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)。除了方程論外，他還是橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人之一。但是這些工作在他生前均未受到重視，他在大學(xué)畢業(yè)后長期找不到工作。1829年，柏林大學(xué)終于認(rèn)識(shí)到阿貝爾的才華，決定任命他為教授。但當(dāng)聘書寄達(dá)時(shí)，阿貝爾因肺結(jié)核病不治在兩天前已經(jīng)去世。

以挪威著名數(shù)學(xué)家阿貝爾命名的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)“阿貝爾獎(jiǎng)”設(shè)立于2002年，該獎(jiǎng)仿效諾貝爾獎(jiǎng)，每年頒發(fā)一次，獎(jiǎng)金為87．5萬美元，是目前國際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)中金額最高的獎(jiǎng)項(xiàng)，與諾貝爾獎(jiǎng)100萬美元左右的獎(jiǎng)金額差不多。

挪威政府創(chuàng)立該獎(jiǎng)的目的固然是為了紀(jì)念挪威人引以為自豪的偉大數(shù)學(xué)家阿貝爾，同時(shí)也為了彌補(bǔ)科學(xué)領(lǐng)域的最高榮譽(yù)——諾貝爾獎(jiǎng)中沒有數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的遺憾。在“阿貝爾獎(jiǎng)”創(chuàng)立之前，國際數(shù)學(xué)最著名的獎(jiǎng)項(xiàng)當(dāng)屬以已故加拿大數(shù)學(xué)家菲爾茲命名的“菲爾茲獎(jiǎng)”，但該獎(jiǎng)獎(jiǎng)金少得可憐，不到諾貝爾獎(jiǎng)的百分之一，而且限制獲獎(jiǎng)?wù)咴?0歲以下。對(duì)菲爾茲獎(jiǎng)的一個(gè)補(bǔ)充是以色列的“沃爾夫獎(jiǎng)”，它雖然沒有年齡限制，但存在某些非數(shù)學(xué)的因素。對(duì)菲爾茲獎(jiǎng)的另一個(gè)補(bǔ)充是瑞典頒發(fā)的“克拉福德獎(jiǎng)”，它是為非諾貝爾獎(jiǎng)的專業(yè)而設(shè)，包括數(shù)學(xué)、地球物理等，但每個(gè)學(xué)科每六七年才輪到一次，影響力有限。

與以上獎(jiǎng)金相比，阿貝爾獎(jiǎng)雖然設(shè)立時(shí)問較短，但是由于獎(jiǎng)金數(shù)額巨大，很快在世界上獲得承認(rèn)，目前已經(jīng)被公認(rèn)為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)。2006年3月23日，挪威科學(xué)院院長宣布本年度的阿貝爾獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給瑞典數(shù)學(xué)家倫納特·卡勒松，以獎(jiǎng)勵(lì)他在調(diào)和分析及動(dòng)力系統(tǒng)方面的貢獻(xiàn)。

伽羅華生于法國巴黎附近的一個(gè)小村鎮(zhèn)，1829中學(xué)畢業(yè)后，考上了著名的巴黎高等師范學(xué)校，第二年因參加反對(duì)波旁王朝的“七月革命”而被學(xué)習(xí)開除。他從小對(duì)數(shù)學(xué)極感興趣。上中學(xué)時(shí)，他看到五次方程代數(shù)解法所存在的問題，決心攻克這個(gè)難關(guān)。1828年，17歲的伽羅華寫出了五次方程代數(shù)解法的論文，但是，由于權(quán)威的壓制，論文一直未能發(fā)表。1832年，伽羅華在他的政敵利用愛情糾葛而挑起的一場決斗中身亡，死時(shí)不到21歲。

伽羅華發(fā)現(xiàn)，每個(gè)代數(shù)方程必有反映其特征的置換群存在，利用群的性質(zhì)，他解決了多年來未能解決的、高次代數(shù)方程用根式求解的可能性的判斷問題，從而創(chuàng)立了“伽羅華理論”，為群論的建立、發(fā)展和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，從而也是近世代數(shù)的先河。伽羅華的數(shù)學(xué)研究，是在法國大革命的政治動(dòng)蕩時(shí)代、學(xué)習(xí)與研究上遭受打擊、利用十分有限的時(shí)間完成的。他的數(shù)學(xué)思想大大超越了他所在的時(shí)代。伽羅華的著作，長期無人重視，他的幾篇論文在送給當(dāng)時(shí)幾位著名的數(shù)學(xué)家審閱時(shí)，有的被丟失，有的下落不明，有的被打入冷宮。然而，伽羅華對(duì)自己的數(shù)學(xué)研究有堅(jiān)定的信念，在決斗前，他還在積極整理個(gè)人的數(shù)學(xué)手稿，并相信這些手稿對(duì)后人有用。果然，到了1846年，他去世后的14年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾發(fā)表了他的遺作，并把他的數(shù)學(xué)遺稿進(jìn)行匯集，加以出版。在此以后，他工作的意義才逐漸為人們所熟悉。

以上幾位在世界上有重大影響的數(shù)學(xué)家及其工作，他們分別在解析幾何、數(shù)學(xué)分析和近世代數(shù)等領(lǐng)域作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他們以及其他數(shù)學(xué)家的成就，推動(dòng)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展，也成為近代數(shù)學(xué)課程發(fā)展的偉大動(dòng)力。

數(shù)學(xué)發(fā)展如此迅速，成果如此豐富，而中小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容卻停滯不前，有關(guān)改革中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的要求就由此而產(chǎn)生了。

2．教育思想活躍，新的課程觀出現(xiàn)

17世紀(jì)中期，英國爆發(fā)了資產(chǎn)階級(jí)民主革命。1789年，法國爆發(fā)了大革命。1776年，美國宣布獨(dú)立。隨著資本主義生產(chǎn)力的發(fā)展，社會(huì)上對(duì)科學(xué)技術(shù)的要求提高了，對(duì)勞動(dòng)者的科學(xué)素質(zhì)與文化水平的要求也提高了，圍繞著對(duì)未來人才需要的討論，在教育上也產(chǎn)生了各種各樣的理論流派，它們對(duì)數(shù)學(xué)課程的發(fā)展產(chǎn)生了不同程度的影響。

（1）夸美紐斯的教育思想。

夸美紐斯（J．A．comennius，1592—1670年）生于捷克尼夫尼茲，是偉大的資產(chǎn)階級(jí)民主教育家，17世紀(jì)捷克著名的愛國主義者。他繼承了古希臘與羅馬的教育思想，吸收了文藝復(fù)興時(shí)期人文主義教育的成果，系統(tǒng)地總結(jié)了資產(chǎn)階級(jí)對(duì)學(xué)校教育的要求，撰寫了《大教育論》、《泛智學(xué)?！返戎匾?，奠定了近代資產(chǎn)階級(jí)教育理論的基礎(chǔ)?？涿兰~斯的貢獻(xiàn)主要有：

①提倡泛智教育，這是他一生教育思想和教育活動(dòng)的核心。所謂泛智教育，就是使所有的人，通過受教育，獲得廣泛、全面的知識(shí)，每個(gè)受教育者的智慧都得到普遍的發(fā)展。

②闡述了“泛智”的含義，就是指自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的百科全書式的知識(shí)，學(xué)校要讓學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)，以便培養(yǎng)“全知”、“全能”的智慧接班人。他主張教育要適應(yīng)自然，提出普及初等教育的主張。

③親自進(jìn)行初等學(xué)校的教學(xué)實(shí)踐，主張除了讀、寫、算和宗教以外，還要學(xué)習(xí)幾何、歷史、天文等學(xué)科。

④在教學(xué)上，提出了直觀性、鞏固性、啟發(fā)自覺、循序漸進(jìn)等原則。

他提出了近代初等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，分為七個(gè)層次：

第一級(jí)：數(shù)的寫法與讀法，點(diǎn)及直線的簡單定理；

第二級(jí)：加法、減法，平面圖形；

第三級(jí)：乘法、除法，立體物的觀察；

第四級(jí)：三數(shù)法，三角法；

第五級(jí)：合股算法，混合算法，假定法，長度，面積，體積：

第六級(jí)：用簡便法進(jìn)行全面復(fù)習(xí)，幾何學(xué)應(yīng)用在土木建筑上：

第七級(jí)：圣經(jīng)上出現(xiàn)的神圣的數(shù)字及神秘的數(shù)字，教堂的建筑，宗教的歷法。

夸美紐斯的教育思想，對(duì)當(dāng)今數(shù)學(xué)為大眾的課程觀的形成產(chǎn)生了重要的影響。他在上述教學(xué)大綱中，提出把算術(shù)與幾何并列混編，在當(dāng)時(shí)是非常獨(dú)特的見解。

（2）盧梭的教育思想。

盧梭（Rousseau，1712－1778年）是法國資產(chǎn)階級(jí)啟蒙思想家和教育家。他的教育和社會(huì)理論大都基于一種信念，即人天生是善良的，但由于社會(huì)的腐敗而變得乖戾。在他的兩本著作《新愛洛奇斯》（1762年）和《愛彌爾》中，建議了一種“使兒童不會(huì)變壞”的教育形式。他提出的教育主張是：

①教師利用兒童天然的學(xué)習(xí)愿望，把他作為一個(gè)兒童而不是作為一個(gè)成人的雛形來對(duì)待。他主張?jiān)试S兒童通過來自環(huán)境，而不是來自教科書的意識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

②按照不同的年齡特點(diǎn)對(duì)兒童進(jìn)行教育。

③注重勞動(dòng)教育，主張學(xué)生在學(xué)習(xí)中要手、腦并用。

④在教學(xué)中，應(yīng)該尊重兒童的個(gè)性，研究兒童的興趣，發(fā)展兒童的獨(dú)立精神，最大限度地利用直觀性原則，讓兒童了解一切事物。盧梭的上述教學(xué)觀點(diǎn)，成為兒童中心課程理論的重要根據(jù)。

⑤盧梭對(duì)于幾何學(xué)習(xí)，提出了很好的見解：“先畫出正確的圖形，把圖形結(jié)合在一起，用重合的方法研究圖形間的關(guān)系。這樣做不僅僅是研究圖形的重合，而是不需要定義，不需要任何證明的形式，僅僅通過觀察，就發(fā)現(xiàn)了初等幾何的全部內(nèi)容?！鄙鲜鰩缀螌W(xué)習(xí)觀，對(duì)當(dāng)前幾何入門的教學(xué)和對(duì)實(shí)驗(yàn)幾何課程的設(shè)計(jì)，都有良好的參考價(jià)值。

（3）裴斯泰洛齊的教育思想。

裴斯泰洛齊（J．H．Pestalozzi，1746－1827年）是瑞士著名的教育家和人道主義者。他受到盧梭的影響，他的教育思想又影響了赫爾巴特。他認(rèn)為，教育必須關(guān)注個(gè)人智力與氣質(zhì)的發(fā)展．必須基于對(duì)兒童實(shí)際情況的了解，學(xué)校生活應(yīng)該類似于家庭生活。他的教育主張是：

①教育的目的。教育應(yīng)該發(fā)展人的一切天賦和能力，這種能力必須是全面的，包括體、勞、德、美、智等五個(gè)方面，這些方面相互作用，才能保證人的協(xié)調(diào)發(fā)展。

②學(xué)習(xí)順序。必須從具體經(jīng)驗(yàn)開始，然后學(xué)習(xí)詞語知識(shí)。先學(xué)習(xí)簡單熟悉的事物，然后學(xué)習(xí)復(fù)雜生疏的概念；這些觀點(diǎn)為初等學(xué)校各科的教學(xué)法打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

③重視數(shù)學(xué)教育。他認(rèn)為算術(shù)是基礎(chǔ)教育中最重要的科目之一，“數(shù)學(xué)的精神與真理的概念是分不開的”。他把直觀性原則、循序漸進(jìn)原則和一般教學(xué)原理結(jié)合起來，創(chuàng)立了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法的基礎(chǔ)。

④數(shù)學(xué)教學(xué)法。數(shù)、形和詞是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本對(duì)象，在算術(shù)教學(xué)中，要通過計(jì)算來掌握數(shù)字，首先重點(diǎn)弄清個(gè)位數(shù)的運(yùn)算及其相互關(guān)系，進(jìn)而學(xué)習(xí)十位數(shù)、百位數(shù)，從而促進(jìn)心智發(fā)展，提高運(yùn)算能力。學(xué)生的運(yùn)算能力，是清晰的、正確的感覺印象的結(jié)果；幾何圖形的教學(xué)，應(yīng)該以實(shí)物印象為基礎(chǔ)，應(yīng)該重視基本麗圖的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)。

（4）赫爾巴特的教育思想。

赫爾巴特（Herbart，1776—1841年）是德國教育家和心理學(xué)家，他在擔(dān)任哥尼斯堡教育講座的同時(shí)，創(chuàng)辦了世界上第一個(gè)教育科學(xué)研究所。他建立了以心理學(xué)、倫理學(xué)為基礎(chǔ)的教育學(xué)體系，畢生為把教育學(xué)真正成為一門科學(xué)而奮斗。他的教育主張是：

①唯心主義的認(rèn)識(shí)觀。他認(rèn)為，教育的首要科學(xué)是心理學(xué)，教育的理論基礎(chǔ)也是心理學(xué)。他主張心理學(xué)應(yīng)該以形而上學(xué)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)為方法，以經(jīng)驗(yàn)為內(nèi)容。他認(rèn)為，觀念是人的心理活動(dòng)的最基本的素材，一切心理現(xiàn)象都是由各種觀念相互作用而產(chǎn)生。任何新觀念或新經(jīng)驗(yàn)的取得，都是對(duì)舊觀念予以同化或吸收的結(jié)果。

②教育學(xué)體系。他所主張的教育學(xué)體系包括管理、教學(xué)與訓(xùn)練三個(gè)部分。他主張把訓(xùn)練和形成學(xué)生的道德性格看作教育的最高目的，把兒童管理看作實(shí)施教育的必要條件。

③以學(xué)科教學(xué)為主的教育觀。他主張把教學(xué)論看作教育學(xué)的基本部分，認(rèn)為“教育不能離開教學(xué)”，應(yīng)該通過教學(xué)，在傳授知識(shí)的基礎(chǔ)上來培養(yǎng)學(xué)生的道德。為此，他提出了“教育性教學(xué)”的理論，指出教學(xué)應(yīng)該以多方面的興趣為基礎(chǔ)。這些興趣，有些引向認(rèn)識(shí)周圍現(xiàn)實(shí)，有些引向認(rèn)識(shí)社會(huì)生活。赫爾巴特指出六個(gè)方面的興趣分別是：經(jīng)驗(yàn)興趣、思辨興趣、審美興趣、同情興趣、社會(huì)興趣和宗教興趣。他認(rèn)為，應(yīng)該按照上述六個(gè)方面的興趣，組建中小學(xué)學(xué)習(xí)的科目。

他提出教學(xué)的四個(gè)階段是：從注意到明了（靜態(tài)中鉆研），從注意到聯(lián)想（動(dòng)態(tài)中鉆研），從探究到系統(tǒng)化（靜態(tài)中理解），從行動(dòng)中掌握到方法（動(dòng)態(tài)中理解）。

④數(shù)學(xué)教育觀。教授數(shù)學(xué)與講授物理必須相互結(jié)合；引進(jìn)相互依存的兩個(gè)量的關(guān)系（函數(shù)）時(shí)，最好從自然界或者從物理學(xué)取材，務(wù)使學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相互聯(lián)系起來。

二、數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動(dòng)

19世紀(jì)至20世紀(jì)中葉，西方主要國家的資本主義已經(jīng)發(fā)展到帝國主義階段，社會(huì)生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展，對(duì)人才有更高的要求。數(shù)學(xué)學(xué)科已經(jīng)向縱深方向發(fā)展，形成了龐大的體系，然而，中學(xué)課程的內(nèi)容嚴(yán)重滯后于數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。另一方面，在資產(chǎn)階級(jí)民主思想和人才觀的影響下，教育學(xué)家、心理學(xué)家提出了一系列新穎的教育思想，對(duì)傳統(tǒng)的教育觀點(diǎn)和教學(xué)方法提出了挑戰(zhàn)。

數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動(dòng)在這種歷史背景下開始了。這個(gè)運(yùn)動(dòng)的代表人物是英國教育家培利和德國數(shù)學(xué)家克萊因。因而，這個(gè)運(yùn)動(dòng)常常被稱為培利克萊因數(shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動(dòng)。

1．培利的數(shù)學(xué)教育主張

培利（Perry，1850—1920年）是英國工程師、數(shù)學(xué)教育家。1901年，在英國的格拉斯哥召開了數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、教育家聯(lián)席會(huì)議。培利發(fā)表了著名演講，提出有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要主張。根據(jù)這個(gè)演講，他寫成了著作《數(shù)學(xué)的教學(xué)》并于1902年發(fā)表。他的主張要點(diǎn)是：

①重視實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該以實(shí)用為目的，因此，教師要通過實(shí)驗(yàn)、實(shí)測(cè)來進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)；

②數(shù)學(xué)的價(jià)值觀。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的武器，應(yīng)用科學(xué)是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的，數(shù)學(xué)能發(fā)展應(yīng)用科學(xué)，能提供邏輯思維的方法，從而防止抽象空洞的發(fā)展哲學(xué)問題的傾向；

③數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)。即培養(yǎng)高尚的情操，歡快的心情；啟發(fā)思考，培養(yǎng)邏輯思維能力。學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以像使用自己的手腳那樣自由運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯，終生受益；

④數(shù)學(xué)教學(xué)要從歐幾里得《幾何原本》中解放出來，要充分重視實(shí)驗(yàn)幾何，重視各種實(shí)際測(cè)量和近似計(jì)算，要充分利用坐標(biāo)紙，應(yīng)該多教一點(diǎn)立體幾何，應(yīng)該盡早地教授微積分概念。

培利的上述主張，得到與會(huì)者的廣泛支持。

2．克萊因的數(shù)學(xué)教育主張

克萊因（1849－1925年）是德國著名的數(shù)學(xué)家，生于德國的杜塞斯朵夫。1865年，克萊因進(jìn)入波恩大學(xué)，成為數(shù)學(xué)家普呂克的學(xué)牛和助手。1870年，他到了巴黎，曾任哥廷根大學(xué)教授，為數(shù)學(xué)教育花費(fèi)了很大的精力。1908年，在羅馬召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，設(shè)立了國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)，他被推選為中央委員。在第五屆同一委員會(huì)上，他被選為該委員會(huì)主席。1913年，他擔(dān)任了普魯士科學(xué)院通信院士。他強(qiáng)調(diào)用近代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，極力主張加強(qiáng)函數(shù)和微積分的教學(xué)，認(rèn)為要充實(shí)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，提出用變換的觀點(diǎn)來改造傳統(tǒng)的幾何內(nèi)容，主張把解析幾何納入中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍。

克萊因在數(shù)學(xué)上的主要成就是：

①在接受埃爾蘭根大學(xué)教授的職位時(shí)，發(fā)表了題為《關(guān)于近代幾何研究的比較》的著名演說，把歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何在橢圓、雙曲線、拋物線幾何學(xué)的名目下統(tǒng)一起來。他依據(jù)貝爾特蘭米的成果，嚴(yán)密地證明了非歐幾何的無矛盾性。

②用變換群的觀點(diǎn)對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行的分類，把各種幾何學(xué)統(tǒng)一起來，論證了每一種幾何學(xué)都有相應(yīng)的群與之對(duì)應(yīng)。例如，非歐幾何就是關(guān)于測(cè)量群不變量的科學(xué)；射影幾何就是關(guān)于射影去不變量的科學(xué)。這種理論被稱為埃爾蘭根綱領(lǐng)。它支配了在這以后的50年的幾何學(xué)研究方向。

③證明了幾何作圖的三大難題為不可能問題。即三等分角、化圓為方、二倍立方體等問題，不可能用傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖來實(shí)現(xiàn)。

④把群論用到線性微分方程、橢圓模函數(shù)、阿貝爾麗數(shù)及自守函數(shù)的研究，完成了自守函數(shù)的奠基性研究工作。

⑤發(fā)表了《關(guān)于黎曼的代數(shù)函數(shù)論》，把黎曼面的概念具體化，促進(jìn)了這個(gè)領(lǐng)域的研究。

⑥領(lǐng)導(dǎo)哥廷根大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究，使之取得與純數(shù)學(xué)同樣重要的地位。

克萊因在數(shù)學(xué)教育上的主張是：

①數(shù)學(xué)教育要適應(yīng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，適應(yīng)教育科學(xué)的進(jìn)步，要結(jié)合學(xué)生的心理選取和排列教材；

②在數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)各分支間，以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的聯(lián)系；

③淡化形式訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用，首次點(diǎn)明數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值；

④1908年，他的名著《用高觀點(diǎn)研究初等數(shù)學(xué)》出版，提出要用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)。他主張把解析幾何納入中學(xué)數(shù)學(xué)范圍，加強(qiáng)函數(shù)概念，重視直觀幾何。

為了紀(jì)念克萊因在數(shù)學(xué)教育上的重大貢獻(xiàn)，在2004年7月召開的第十屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME　10）上，國際數(shù)學(xué)教學(xué)委員會(huì)（ICMI）設(shè)立了以克萊因命名的數(shù)學(xué)教育終身成就獎(jiǎng)，表彰在數(shù)學(xué)教育方面有杰出貢獻(xiàn)的專家。

3．穆爾的數(shù)學(xué)教育主張

穆爾（Moore，1862—1932年）是美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，曾任芝加哥大學(xué)教授，美國數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要在抽象代數(shù)、泛函分析、射影幾何以及集合論方法等領(lǐng)域。

①在抽象代數(shù)方面，他在1893年證明了任何一個(gè)有限抽象域都與某一個(gè)伽羅華域同構(gòu)。

②在泛函分析方面，他第一個(gè)試圖建立線性泛函和算子的抽象理論。

③在射影幾何方面，他遵循了皮亞諾的研究方法，對(duì)皮亞諾曲線給出了幾何解釋。

④在集合論方面，他與司密斯于1922年合著了《極限的一般理論》。

穆爾在數(shù)學(xué)教育上的主張是：

①實(shí)驗(yàn)方法是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要步驟。1903年，他在全美數(shù)學(xué)年會(huì)上作了《關(guān)于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》的長篇報(bào)告，使數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育工作者受到很大的震動(dòng)。

②在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的處理方面，他認(rèn)為，代數(shù)可以作為理論算術(shù)來教，幾何圖形可以與算術(shù)一起教，必須引入直觀幾何，從具體到抽象。

③在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)上，要教學(xué)生正確地觀察與思考，正確地推理，用語言、圖形和方程表達(dá)有關(guān)事物。

④在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法上，學(xué)生應(yīng)該經(jīng)常進(jìn)行訓(xùn)練，他們不是被動(dòng)的聽講者，而是積極的活動(dòng)家。

⑤在穆爾的推動(dòng)下，芝加哥大學(xué)附中開設(shè)了相關(guān)數(shù)學(xué)課程，把教學(xué)的重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)的相關(guān)與統(tǒng)一上，用綜合的方法講授算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容。

4．近代化運(yùn)動(dòng)的展開和困難

1908年，國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了以下的改革意見：

①在數(shù)學(xué)學(xué)科的四個(gè)分支（算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角）之間建立緊密的聯(lián)系；加強(qiáng)數(shù)學(xué)、物理兩門課程的聯(lián)系。

②在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中增加高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)（如解析幾何、數(shù)學(xué)分析等），加強(qiáng)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系。

③在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要加強(qiáng)函數(shù)在算術(shù)、代數(shù)中的作用，加強(qiáng)運(yùn)動(dòng)在幾何中的作用。

④改變教科書中關(guān)于應(yīng)用題的解法；加強(qiáng)分析法與綜合法的作用。

⑤在數(shù)學(xué)教學(xué)中更廣泛地使用探索法。

以培利、克萊因?yàn)槭椎臄?shù)學(xué)教育近代化運(yùn)動(dòng)，其目的是改革中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和教學(xué)方法，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。初等函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)的地位已經(jīng)初步確立，上述的一些改革主張?jiān)诓糠謬业玫巾憫?yīng)。這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)還有一個(gè)目的，就是要統(tǒng)一19世紀(jì)中學(xué)數(shù)學(xué)的許多分支，這是在當(dāng)時(shí)難以達(dá)到也不必完全達(dá)到的。因此，這項(xiàng)工作進(jìn)行到一定程度就遇到困難，加上兩次世界大戰(zhàn)的干擾，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就中斷了。然而，該運(yùn)動(dòng)所提出的改革，在20世紀(jì)中葉以后又得到繼續(xù)。