6．1．1 列聯(lián)表

所謂列聯(lián)表，就是兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表。

【例6‐1】 某大學(xué)對(duì)某項(xiàng)獎(jiǎng)學(xué)金政策做調(diào)整，學(xué)校為了了解各年級(jí)學(xué)生對(duì)該項(xiàng)政策的態(tài)度，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其結(jié)果可以整理成一張頻數(shù)分布表（見表6‐3）。

表6‐3 關(guān)于獎(jiǎng)學(xué)金政策調(diào)整調(diào)查結(jié)果

上述問題有兩個(gè)變量，行變量為態(tài)度變量，共有三個(gè)類別；列變量為年級(jí)變量，共有四個(gè)類別。表6‐3是一個(gè)3×4列聯(lián)表。表中的每個(gè)數(shù)據(jù)，都反映著來自年級(jí)和態(tài)度兩個(gè)方面的信息，例如大二年級(jí)學(xué)生贊成該項(xiàng)政策的有23人。學(xué)校管理層需要分析學(xué)生態(tài)度與年級(jí)之間是否有關(guān)聯(lián)。

一般的，假設(shè)有兩個(gè)分類變量A和B；A為行變量，共有n類；B為列變量，共有m類；屬于AiBj的個(gè)體數(shù)目為nij（i＝1，2，… ，n；j＝1，2，… ，m）。則可以得到如表6‐4所示列聯(lián)表，稱為n×m列聯(lián)表。

表6‐4 變量A和變量B的頻數(shù)分布表

6．1．2 列聯(lián)表的分布

列聯(lián)表的分布包括兩種：觀測(cè)值的分布和期望值的分布。

6．1．2．1 觀測(cè)值的分布

事實(shí)上，表6‐3就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的觀測(cè)值分布表。例如，這次調(diào)查贊成獎(jiǎng)學(xué)金改革的178人中，大一、大二、大三和大四的學(xué)生數(shù)分別為55人、23人、69人和31人。大三的100個(gè)學(xué)生中贊成的有69人、無所謂的21人、反對(duì)的10人。這次調(diào)查總共有290人，其中大一至大四分別有80人、35人、100人和75人，持贊成態(tài)度的有178人、無所謂的有85人，持反對(duì)態(tài)度的有27人。觀測(cè)值分布反映了數(shù)據(jù)的實(shí)際分布，但總體的基數(shù)不同時(shí)，誰多誰少并不適合于直接用分布中的頻數(shù)對(duì)比。為了能在相同的基數(shù)上進(jìn)行比較，使列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)提供更多的信息，往往需要計(jì)算相應(yīng)的百分比，即得到頻率分布，如表6‐5所示。

表6‐5 關(guān)于獎(jiǎng)學(xué)金政策調(diào)整包含百分比的列聯(lián)分布

表6‐5是在表6‐3的基礎(chǔ)上增加了關(guān)于行百分比、列百分比和總百分比的數(shù)據(jù)。例如，贊成態(tài)度下的行百分比表示在總共贊成改革的178人中，大一學(xué)生占30．9％ ，大二學(xué)生占12．9％ ，大三學(xué)生占38．8％ ，大四學(xué)生占17．4％ ；列百分比表示參與調(diào)查的各年級(jí)學(xué)生中贊成該方案的比例，大一學(xué)生贊成的比例為68．75％ ，大二贊成的比例為65．7％ ，大三贊成的比例為69％ ，而大四學(xué)生的贊成比例為41．3％ 。

從頻率分布表中，我們可以對(duì)所分析的對(duì)象有一些初步的認(rèn)識(shí)，例如可以看出，在贊成該方案的學(xué)生中，大三學(xué)生的比例是最高的；參與調(diào)查的學(xué)生中，大一、大二、大三學(xué)生贊成的比例最高，而大四則是無所謂的比例最高。但是學(xué)生對(duì)該改革方案的態(tài)度與年級(jí)這兩個(gè)變量之間是存在一定聯(lián)系還是彼此獨(dú)立，僅從百分比上很難得出結(jié)論，需要進(jìn)一步分析。

6．1．2．2 期望值的分布

如果我們想進(jìn)一步了解年級(jí)與態(tài)度之間是否存在著相互關(guān)系，就需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

在前例，全部290個(gè)樣本中，贊成的有178人，占到總數(shù)的61．4％ 。如果我們假設(shè)各年級(jí)學(xué)生對(duì)該方案的看法是相同的，那么對(duì)大一學(xué)生來說，贊成該方案的人數(shù)應(yīng)當(dāng)為：80×61． 4％ ＝49．1人，大二贊成該方案的人數(shù)為：35×61．4％ ＝21．5人，大三贊成該方案的人數(shù)應(yīng)當(dāng)為：100×61．4％ ＝61．4人，大四贊成該方案的人數(shù)應(yīng)當(dāng)為：75×61．4％ ＝46．0人。由此可以計(jì)算出期望值的分布，見表6‐6。

表6‐6 期望值分布

我們還可以把觀測(cè)值與期望值的頻數(shù)分布列在同一張表中，得表6‐7。

表6‐7 觀測(cè)值與期望值頻數(shù)對(duì)比分布

如果年級(jí)變量與態(tài)度變量是沒有關(guān)聯(lián)的，也就是假設(shè)：

H0：年級(jí)變量與態(tài)度變量相互獨(dú)立；

H1：年級(jí)變量與態(tài)度變量不獨(dú)立。

這時(shí)表6‐7中觀測(cè)值分布與期望值分布應(yīng)當(dāng)非常接近；反之，如果不同年級(jí)學(xué)生對(duì)該改革方案的態(tài)度是有差異的，那么表6‐7中觀測(cè)值和期望值就會(huì)相差比較大。

一般的，將表6‐4列聯(lián)表中的每一個(gè)元素都除以元素總和，pij＝nij/N，于是得到頻率意義上的列聯(lián)表，其中pi．＝ni．/N，p．j＝n．j/N，見表6‐8。

表6‐8 變量A和變量B的頻率分布

如果變量A與變量B之間相互獨(dú)立，則變量A第i類別與變量B第j類別同時(shí)出現(xiàn)的概率等于總體中變量A第i類別出現(xiàn)的概率與變量B第j類別出現(xiàn)的概率的乘積，Pij＝pi． ×p．j，變量A第i類別與變量B第j類別出現(xiàn)的期望頻數(shù)為Nij＝（ni．×n．j）/N。從而，表6‐4對(duì)應(yīng)的期望頻數(shù)分布見表6‐9。

表6‐9 變量A和變量B的期望值頻數(shù)分布

如果變量A與變量B是沒有關(guān)聯(lián)的，也就是假設(shè)：

H0：變量A與變量B相互獨(dú)立；

H1：變量A與變量B不獨(dú)立。

對(duì)于這個(gè)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，可以進(jìn)行χ2檢驗(yàn)。