1．模糊綜合評價的數(shù)學(xué)模型

對某一事物進(jìn)行評價，若評價的指標(biāo)因素為n個，分別記為u₁，u₂，u₃，…，u_n，則這n個評價因素便構(gòu)成一個評價因素的有限集合U：

U={u₁，u₂，u₃，…，u_n}

若根據(jù)實際需要將評語分成m個等級，分別記為v₁，v₂，v₃，…，v_m，則又構(gòu)成一個評語的有限集合V：

V={v₁，v₂，v₃，…，v_m}

例如，對某教材進(jìn)行評價，可以從科學(xué)性（u₁）、實踐性（u₂）、適用性（u₃）、先進(jìn)性（u₄）和專業(yè)性（u₅）等方面考慮，則其評價因素集合為：

U={u₁，u₂，u₃，u₄，u₅}

若評價結(jié)果劃分為很好（v₁）、好（v₂）、一般（v₃）和差（v₄）四個等級，則其評語集合為：

V={v₁，v₂，v₃，v₄}

我們先從單因素開始說明模型的構(gòu)造。如果只著眼于科學(xué)性（u₁）一個因素來評定教材，可采用民意測驗的辦法。假定統(tǒng)計調(diào)查結(jié)果是16%的人認(rèn)為“很好”，42%認(rèn)為“好”，39%認(rèn)為“一般”，3%認(rèn)為“差”，則這個結(jié)構(gòu)可以用模糊集合B₁來描述。

B₁=0.16/很好+0.42/好+0.39/一般+0.03/差

B₁也可簡記為向量形式：

B₁=[0.16，0.42，0.39，0.03]

評價結(jié)果B1是評語集合V這一論域上的模糊子集。B1就是對被評價對象所做的單因素評價。

現(xiàn)在，把問題推廣，當(dāng)涉及需要從幾個不同方面來綜合評價某一事物時，得到的是一個綜合評價結(jié)果，該結(jié)果仍是評語集合V這一論域上的模糊子集B，這就是綜合評價問題。

通常，V為一個有限集合，則B也為相應(yīng)的有限模糊集合

B=b₁/v₁+b₂/v₂+…+b_m/v_m

簡記為一個m維模糊向量形式：

B=（b₁，b₂，…，b_m）

其論域為V，bj為B中相應(yīng)元素的隸屬程度（也稱隸屬度），且

bj∈[0，1]，j=1，2，3，…，m

在實際評價工作中，各個評級因素的重要程度往往是不同的?？紤]到這個客觀存在的事實，評價因素集合實際上是因素集合U這一論域上的一個模糊集合A，實際上也是一個有限集合，即因素集合也為一相應(yīng)的有限模糊集合。

A=a₁/u₁+a₂/u₂+…+a_n/u_n

同樣也可以用一個n維模糊向量來表示：

A=（a₁，a₂，…，a_n）

其論域為U，a_i為A中相應(yīng)元素的隸屬程度，且ai∈[0，1]，并應(yīng)滿足∑ai=1。

一個模糊綜合評價問題，就是將評價因素集合U這一論域上的一個模糊集合A，經(jīng)過模糊關(guān)系R變換為評語集合V這一論域上的一個模糊集合B，即

上式為模糊綜合評價的數(shù)學(xué)模型。式中，B為模糊綜合評價的結(jié)果，它是一個為m維的模糊行向量；A為模糊評價因素權(quán)重集合，它是一個n維模糊行向量；R為從U到V的一個模糊關(guān)系，它是一個（n×m）的矩陣。其元素rij表示從第i個因素著眼，做出第j種評語的可能程度。

一般來說，對于涉及多因素評價問題時，大多數(shù)人感到比較困難，因為這時需要考慮的因素比較多，而各因素的重要程度又不相同，這些都會使問題變得很復(fù)雜，用經(jīng)典數(shù)學(xué)方法來解決綜合評價問題就顯得很困難，而模糊數(shù)學(xué)為解決模糊綜合評價提供了理論依據(jù)，從而找到了一種有效而簡單的評價方法。

由模糊綜合評價的數(shù)學(xué)模型可知，當(dāng)評價因素增加時，并不增加問題的復(fù)雜程度，只是增加計算量而已。