中世紀(jì)時(shí)期由于歐洲沒(méi)有強(qiáng)有力的政權(quán)來(lái)統(tǒng)治以及長(zhǎng)時(shí)間的封建割據(jù)帶來(lái)的頻繁的戰(zhàn)爭(zhēng)，歐洲的科技和生產(chǎn)力發(fā)展比較緩慢，數(shù)學(xué)也同樣處于停滯狀態(tài)。中世紀(jì)末期隨著奧斯曼帝國(guó)不斷地侵略東羅馬帝國(guó)，東羅馬帝國(guó)在逃難的同時(shí)將大量的古希臘、古羅馬的文化典籍和藝術(shù)珍品帶到了意大利商業(yè)發(fā)達(dá)的城市，古希臘數(shù)學(xué)也被帶到了這里，隨著文藝復(fù)興在整個(gè)意大利的復(fù)興和傳播，數(shù)學(xué)也迎來(lái)了新一輪的發(fā)展高峰，并引領(lǐng)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

15世紀(jì)繆勒的《三角全書(shū)》是對(duì)歐洲人關(guān)于平面和球面三角學(xué)的成果的一次整體的闡述。16世紀(jì)塔塔利亞憑借著自學(xué)和頑強(qiáng)的毅力在數(shù)學(xué)上取得了很大的成就，發(fā)現(xiàn)三次方程的代數(shù)解法，接受了負(fù)數(shù)并使用了虛數(shù)。他還培養(yǎng)了許多的學(xué)術(shù)，這些學(xué)術(shù)在數(shù)學(xué)和力學(xué)方面繼承并發(fā)揚(yáng)了塔塔利亞的理論，使之在意大利乃至整個(gè)歐洲產(chǎn)生了廣泛影響。16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家是弗朗索瓦·韋達(dá)（Franois Viete，1540—1603），韋達(dá)引入了一套規(guī)則——在代數(shù)方程中，使用元音字母代表變化量，用輔音字母來(lái)代表方程中的系數(shù)。他將運(yùn)算符號(hào)化，使代數(shù)成為了一個(gè)系統(tǒng)的學(xué)科，著名的著作是《分析方法入門(mén)》。他還是第一個(gè)用無(wú)限運(yùn)算來(lái)給出一個(gè)精確表達(dá)式的人。約翰·納皮爾（John Napier，1550—1617年）是蘇格蘭的一個(gè)業(yè)余數(shù)學(xué)家，他發(fā)表了世界上第一張對(duì)數(shù)表，這簡(jiǎn)化了計(jì)算的過(guò)程，并發(fā)明了納皮爾算籌，這成為了廣受歡迎的提高大數(shù)乘法運(yùn)算效率的工具。到這個(gè)時(shí)候初等數(shù)學(xué)的主體部分（算術(shù)、代數(shù)和幾何）已經(jīng)全部形成并發(fā)展成熟，這為近代數(shù)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

近代數(shù)學(xué)的起點(diǎn)是勒奈·笛卡兒（Rene Descartes，1596—1650年）［4］。笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學(xué)》于1637年發(fā)表。它引入了運(yùn)動(dòng)著的一點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，引入了變量和函數(shù)的概念。由于有了坐標(biāo)，平面曲線與二元方程之間建立起了聯(lián)系，由此產(chǎn)生了一門(mén)用代數(shù)方法研究幾何學(xué)的新學(xué)科——解析幾何學(xué)。這是數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟。恩格斯對(duì)此給予很高的評(píng)價(jià):“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的?！苯馕鰩缀蔚牧硗庖粋€(gè)創(chuàng)始人是皮埃爾·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat），他的很多重要的思想都是在自己與其他的科學(xué)家的大量信件中提出的，他推動(dòng)了解析幾何基本概念的發(fā)展。

17世紀(jì)，這時(shí)微積分也被建立起來(lái)，最重要的工作是由艾薩克·牛頓爵士（Sir Isaac Newton，1642—1727年）和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716年）各自獨(dú)立完成，他們認(rèn)識(shí)到微分和積分實(shí)際上是一對(duì)逆運(yùn)算，從而給出了微積分學(xué)基本定理，即牛頓－萊布尼茨公式。微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)所必需的數(shù)學(xué)工具，它的應(yīng)用遍布于現(xiàn)代科學(xué)的兩大支柱:相對(duì)論和量子力學(xué)。除了解析幾何和微積分被確立起來(lái)以外，概率論、射影幾何和數(shù)論等也快速發(fā)展起來(lái)，這對(duì)很多其他領(lǐng)域的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。概率論主要起源于擲骰子這種賭博游戲，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（1501—1576年）潛心研究賭博不輸?shù)姆椒?，出版了一本《賭博之書(shū)》，書(shū)中卡爾達(dá)諾對(duì)“分賭注問(wèn)題”給出了正確的思路，但仍然沒(méi)有給出正確的答案。時(shí)間又過(guò)去了一個(gè)世紀(jì)，在1651年，法國(guó)大貴族德·梅勒（de Mere，1607—1684年）把這個(gè)問(wèn)題寄給了當(dāng)時(shí)的著名數(shù)學(xué)家帕斯卡，從此概率論歷史上一個(gè)決定性的階段開(kāi)始了。這個(gè)問(wèn)題把帕斯卡難住了，他冥思苦想了3年才悟出了滿意的解法。他于1654年7月29日將這個(gè)問(wèn)題連同解答寄給了法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（1601—1665年）。不久，費(fèi)馬在回信中給出另一種解法。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)始了深入細(xì)致的研究。隨后荷蘭科學(xué)家惠更斯獲悉這些事情后，回荷蘭后獨(dú)自研究這件事。在1657年，他將自己的研究成果寫(xiě)入專(zhuān)著《論擲骰子游戲中的計(jì)算》，這本書(shū)首次引入了數(shù)學(xué)期望的概念，被認(rèn)為是概率論最早的論著。至此，延續(xù)了一個(gè)半世紀(jì)的“分賭注問(wèn)題”終于得到了圓滿的解決。隨著這本書(shū)的問(wèn)世，數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支——概率論誕生了。帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯被認(rèn)為是概率論的創(chuàng)立者［4］。

18世紀(jì)是數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的時(shí)期。以微積分為基礎(chǔ)發(fā)展出一門(mén)寬廣的數(shù)學(xué)領(lǐng)域——數(shù)學(xué)分析（包括無(wú)窮級(jí)數(shù)論、微分方程、微分幾何、變分法等學(xué)科），它后來(lái)成為數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)主流。數(shù)學(xué)方法也發(fā)生了完全的轉(zhuǎn)變，主要是歐拉、拉格朗日（Lagrange，1736—1813年）和拉普拉斯（Laplace，1749—1827年）完成了從幾何方法向解析方法的轉(zhuǎn)變。這個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，除了來(lái)自物質(zhì)生產(chǎn)之外，還直接來(lái)自于物理學(xué)，特別是來(lái)自力學(xué)、天文學(xué)的需要。

19世紀(jì)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)偉大轉(zhuǎn)折，它突出地表現(xiàn)在兩個(gè)方面。一方面是近代數(shù)學(xué)的主體部分發(fā)展成熟了，經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的努力，它的三個(gè)組成部分取得了極為重要的成就:微積分發(fā)展成為數(shù)學(xué)分析，方程論發(fā)展成為高等代數(shù)，解析幾何發(fā)展成為高等幾何，這就為近代數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變創(chuàng)造了充分的條件。另一方面，近代數(shù)學(xué)的基本思想和基本概念，在這一時(shí)期中發(fā)生了根本的變化:在分析學(xué)中，傅里葉（J．Fourier，1768—1830年）級(jí)數(shù)論的產(chǎn)生和建立，使得函數(shù)概念有了重大突破；在代數(shù)學(xué)中，伽羅瓦（E．Galois，1811—1832年）群論的產(chǎn)生，使得代數(shù)運(yùn)算的概念發(fā)生了重大的突破；在幾何學(xué)中，非歐幾何的誕生在空間概念方面發(fā)生了重大突破。這三項(xiàng)突破促使近代數(shù)學(xué)迅速向現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變。19世紀(jì)還有一個(gè)獨(dú)特的貢獻(xiàn)，就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究形成了三個(gè)理論:實(shí)數(shù)理論、集合論和數(shù)理邏輯。這三個(gè)理論的建立為即將到來(lái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了更為深厚的基礎(chǔ)。