若O′x′y′z′參照系沿著x軸方向以速度v相對于Oxyz參照系勻速運動，且t=0時刻兩參照系的原點重合，則兩參照系描述同一質點空間位置和時間的參量之間有如下關系：x′=x-vt，y′=y，z′=z， t′=t，這種變換關系式叫伽利略變換。從這個變換式可以推導出兩慣性參照系描述同一運動的速度是不同的，但加速度是相等的。伽利略進而得出以下結論：力學定律在所有的慣性系中有相同的形式，即一切慣性系等價，這個結論叫經(jīng)典力學相對性原理。

一、遇到的問題

一艘船以10m／s的速度做勻速直線運動，船甲板上一質點A以1m／s的速度朝船頭方向運動，問站在岸上的觀察者觀察到質點A的速度是多少？

此問題的答案顯然是11m／s。但為什么可以簡單地把兩個速度相加就得到了答案？其中應用到的知識和原理有哪些呢？在這些很簡單、很顯然成立的問題中，我們又能學到些什么呢？這實際上是一個相對運動問題，它是物理學常見的一個概念，最早由伽利略提出。從名稱上看，我們可以把相對運動理解為一個物體相對另外一個物體的位置隨時間而改變，即此物體對另一物體發(fā)生了運動，就說此物體處于相對運動的狀態(tài)。舉例來講，一棟樓房或一棵樹對地球來說是靜止的，但對太陽來說，它們卻都在運動著。還有我們常見的例子，當一列火車從車站出發(fā)開始運動時，站在車站的觀察者認為這列火車相對車站在運動，但是在火車上的旅客可以認為車站是在與火車運行相反的方向相對火車運動。不同的參考系對運動狀態(tài)有不同的描述，那么這些不同的描述是否有聯(lián)系？是否能互相轉換？伽利略變換回答了這些問題。

二、伽利略變換建立背景

伽利略變換是意大利學者、科學家伽利略提出的用以研究相對運動問題的一種方法。伽利略最早是在研究天文學問題時提出這一思想的。

歐洲中世紀，經(jīng)過神學改裝了的亞里士多德的自然觀占有絕對的政治地位。亞里士多德認為，地球和地上所有物體都是由四種元素組成的，它們分別是氣、火、水、土；其中火和氣形成向上流動的輕物，水和土形成了向下掉落的重物；而一種叫作“以太”的物質組成了天體。由于受到封建神權的思想統(tǒng)治，沒有人敢質疑亞里士多德模式的地心體系。因此，天文學上的行星運動問題，就成為科學擺脫神學而獨立形成新的科學體系的關鍵，也是正確描述運動現(xiàn)象和建立正確的物理理論所必須要解決的問題。

繼中世紀托勒密提出的“地心說”和哥白尼提出的“日心說”之后，17世紀初，開普勒首先指出關于亞里士多德對受迫運動和自然圓運動的區(qū)分，首次提出了慣性的概念。他根據(jù)第谷觀測到的行星位置的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了行星運動的三定律，從而否定了托氏地心體系，并進一步提出研究行星運動的物理原因。

伽利略則把哥白尼、開普勒開創(chuàng)的新科學觀加以論證和發(fā)展，并以自己在教廷壓迫下的犧牲喚醒了人們對日心說的公認。他在他的著作《關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》中從理論上論證了日心說的科學基礎。該書以三人辯論形式而作，書中三人分別是伽利略的代言人沙爾維薩、亞里士多德的代言人辛普利邱以及中立的沙格列托。書中對話分為4天，本對話的第二天討論了地球自轉會不會引起落體偏西、飛鳥落后、大炮不準、氣球散架等現(xiàn)象，并在這里初次闡明慣性定律、運動疊加原理，同時首次提出相對性原理。

在捍衛(wèi)哥白尼的地動學說，批駁那種認為倘若地球運動就會把地面上的物體拋到地球后面的謬論時，伽利略指出，從行駛著的船的桅桿頂上落下的石子仍然會落到桅桿腳下，并不因為船的運動而落到船的后面；蝴蝶和蒼蠅在行駛的船艙中繼續(xù)隨便地四處飛行，絕不會向船尾集中或者為了趕上船的運動而顯出疲憊的樣子；人們跳向船尾并不比跳向船頭遠。從對這些現(xiàn)象的觀察和慣性原理理論出發(fā)，伽利略指出一切慣性系都是平權的。

三、伽利略變換的數(shù)學推導

設慣性系S′（O′x′y′z′）沿慣性系S（Oxyz）的x軸正向以速度v勻速運動，自慣性系S到慣性系S′的平直時空的坐標變換應當是線性變換，所以我們假設一運動質點在兩參照系中的位置和時間滿足下列關系：

式中a，b，m，n都是常數(shù)，對式（4-1）進行微分，得到微分關系式：

如果該質點靜止于S′系內的任意一點，在S′系內觀察，其速度為0；在S系內觀察，其速度為v，有

如果該質點靜止于S系內的任意一點，在S系內觀察，其速度為0；在S′系內觀察，其速度為-v，有

將式（4-3）和式（4-4）分別代入微分關系式（4-2），求得各個變換系數(shù)間的關系式，即

b=-av，n=a（4-5）

將式（4-5）代入式（4-1）可得

下面求逆變換。因為A的逆矩陣為A的伴隨矩陣A*除以A矩陣對應的行列式值，即

所以式（4-6）逆變換可寫成

由式（4-1）兩邊微分可得

dx′=adx+bdt（4-8）

依據(jù)線性代數(shù)中線性空間的定義，在矢量空間中定義不同的內積可得到不同的線性空間，伽利略變換成立的空間是歐氏空間，而時間獨立于空間之外，“同時”具有絕對性。因此，在歐氏空間，在任意坐標系同時測量兩點之間的距離應該得到相同的結果。即可令

將式（4-9）代入式（4-8）可得a=1。

同理在逆變換中可令

因為“同時”具有絕對性，所以dt=dt′，將式（4-10）與式（4-6）微分后的形式比較可得m=0。

由此我們已經(jīng)獲得矩陣A中的a和m的值，將其代入矩陣A的表達式可得

那么，伽利略變換式的矩陣形式為。該矩陣的代數(shù)表達式為

式（4-12）就是我們要找的伽利略變換等式。

四、伽利略變換的兩個推論

推論1：運動物體相對于慣性參照系A（O′x′y′z′）的運動速度v′等于該物體相對于慣性參照系B（Oxyz）的運動速度v與慣性參照系A相對于慣性參照系B的速度v0之差。即

v′=v-v0（4-13）

式中，v0通常稱為牽連速度，v′稱為相對速度，v稱為絕對速度。

證明：設該運動物體沿著x軸方向運動，并且在t=0時正好處于兩個參照系的原點，則經(jīng)過了時間t之后，該物體在參照系A中的坐標為

x′=v′t

y′=0

z′=0（4-14）

同樣地，經(jīng)過了時間t之后，該物體在參照系B中的坐標為

x=vt

y=0

z=0（4-15）

將式（4-14）和式（4-15）代入伽利略變換式（4-12）（該式中原有的v用v0x表示）可得

x′=x-v0xt

y′=y

z′=z（4-16）

式（4-16）兩邊對時間求導可得

v′x=vx-v0x（4-17）

由于B做勻速直線運動，v0y=v0z=0，所以式（4-17）可以推廣到三維空間，有式（4-13）得證。

v′=v-v0（4-18）

推論2：運動物體相對于慣性參照系A（O′x′y′z′）的運動加速度a′等于該物體相對于慣性參照系B（Oxyz）的運動加速度a，即加速度與參照系無關。

我們對推論1等式兩邊微分就可以得到推論2，所以它的數(shù)學證明是顯然的。它的意義在于從它出發(fā)可以引出力學相對性原理：一切力學規(guī)律在不同的慣性系下形式上是相同的，或者說一切慣性系都是平權的。在牛頓經(jīng)典力學中，伽利略變換是適用的。力學規(guī)律經(jīng)伽利略變換形式不變，不同的慣性系看到的同一外力做功是相同的，從而機械能守恒定律在各慣性系都成立。

有了伽利略變換，我們可以針對不同的問題，適當?shù)剡x擇坐標系，可以把復雜的問題簡單化，方便我們解決實際生活生產(chǎn)中的一系列復雜問題。

五、伽利略變換的局限性

伽利略變換假設時間和空間都是絕對的。但在愛因斯坦相對論中，時間與空間并不是絕對的，因此伽利略變換的適用性受到限制。

1．電磁場理論與伽利略變換的不相容性

麥克斯韋方程組是描述電磁現(xiàn)象的基本方程，是經(jīng)典電磁學的理論基礎。然而，人們發(fā)現(xiàn)，在伽利略變換下，麥克斯韋方程組不能具有相同的數(shù)學形式。也就是說，麥克斯韋方程組不具備在伽利略變換下的協(xié)變性。

我們知道，由真空中的麥克斯韋方程組可以導出類似于機械波運動的波動方程，從而預言了電磁波的存在，并且給出了真空中電磁波的傳播速度c是一個常量，它與當時實驗測量到的光速在真空中的傳播速度相同。然而，該理論并沒有說明這個速度是電磁波相對哪一個參考系的速度。相當于說，電磁波相對于任意慣性參考系的速度都是c。而按伽利略變換，電磁波的傳播速度在不同的慣性參考系中是不同的。那么，麥克斯韋方程組在不同的參考系中就應該有不同的表示形式。這樣，兩大體系之間便出現(xiàn)了不可調和的矛盾。

2．擲球實驗中伽利略變換遇到的困難

有兩個小孩A和B在做投擲小球的游戲。設兩人的距離為L，且L很大！在t10=0時刻，A開始加速小球，t1時刻小球出手。小球水平速度為u。若假設光的傳播速度仍然滿足伽利略變換，則B看到A開始投球的動作是在t20=L／c時刻，小球離開A手在t2=t1+L／（c+u）時刻。上述兩個動作可以看成兩個物理事件，且可以認為兩個物理事件發(fā)生在同一地點不同時刻。按因果關系：B看到A的兩個動作一定有確定的先后順序，即投球動作在前，球出手在后。但是，當L足夠大時，總有下式：L／c＞t1+L／（c+u），即有t2＜t20情況發(fā)生，因果律被破壞，這是不允許的。要保證它不被破壞，只有兩種選擇：

（1）光速無限大，即c→∞，這可以保證t2＞t20，使得因果律成立；

（2）伽利略變換不適用于光，需要新的時空坐標變換。

第1條顯然是行不通的，因為光速的有限性早已被測定且得到大家的公認，因此，唯一的選擇只有當涉及接近光速的相對運動時必須摒棄伽利略變換，建立新的時空理論。

六、應用舉例

例 A艦自北向南以速率v1行駛，B艦自南向北以速率v2行駛。當兩艦連線和航線垂直時，B艦向A艦開炮，發(fā)射炮彈的速率為v0，如圖4-1所示。為了擊中A艦目標，試確定炮彈發(fā)射的方向與航線之間的夾角。

圖4-1

解：以A艦為慣性系S，B為慣性系S′，B相對于A的速度v2-（-v1）=v2+v1為兩個參照系之間的速度，即為牽連速度，有

v牽=v2+v1（4-19）

方向由南指向北。

v0為炮彈相對于參照系S′的速度，可視為相對速度，方向與A、B兩艦連線成α。如果用v表示炮彈相對于S參照系的速度，即為絕對速度。炮彈要能擊中A艦，按照伽利略變換推論這三個速度矢量應該滿足

v=v牽+v0（4-20）

因此發(fā)射速度與航線之間的夾角α應該滿足

式（4-21）即是炮彈發(fā)射的方向與航線之間的夾角余弦的表達式。

七、課后練習

4-1 汽車相對地面靜止時看到雨下落的方向偏東θ1角，當汽車以速度v0向東行駛時測得雨下落方向偏西θ2，求雨相對地面的速度。

4-2 河寬為l，靠岸處水流的速度為零，河中央水流速度最大，為v0。如圖4-2所示，水流流速從河邊到中央再到對岸按二次曲線分布，即vx=ay2+by+c。

圖4-2

（1）試根據(jù)題中給定參數(shù)確定常數(shù)a，b，c；

（2）如果有人以不變的劃速u垂直于流水方向劃去，求船劃到對岸時偏離原航向的距離。