第七章　離生活近些，再近一些

常常有這樣的問題出現(xiàn)：有那么多的孩子一升入初中學(xué)習(xí)就成為數(shù)學(xué)的奴隸，還有那么多的孩子變得越來越恐懼?jǐn)?shù)學(xué)，有時(shí)根本就討厭數(shù)學(xué)。更為嚴(yán)重的是，越來越多的孩子們對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)失去了信心。當(dāng)老師說出“你有很好的數(shù)學(xué)天賦”這樣的事實(shí)時(shí)，孩子卻用疑惑的眼神看著老師，好像在說“怎么可能呢”，或者干脆回答老師“你是在鼓勵(lì)我吧”。

這不得不使我們反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)。真正的數(shù)學(xué)課堂是什么呢？它必然具備以下特質(zhì)：在老師的幫助下，每個(gè)學(xué)生都有所進(jìn)步，每個(gè)學(xué)生都在一定層度上獲得成功。換句話說，通過學(xué)習(xí)每個(gè)學(xué)生都會(huì)有各不相同的增長(zhǎng)點(diǎn)，這些增長(zhǎng)點(diǎn)中，部分是曾經(jīng)沒有的，部分是零散的，每個(gè)學(xué)生的增長(zhǎng)點(diǎn)在數(shù)量上也是不盡相同的。打個(gè)比方，園林工作者常對(duì)樹木要作修剪，當(dāng)被剪去一些枝條時(shí)，在余下的樹干的某個(gè)位置會(huì)重新長(zhǎng)出新枝。這里會(huì)長(zhǎng)出新枝的點(diǎn)位就是增長(zhǎng)點(diǎn)。學(xué)生的學(xué)習(xí)新知也有類似的地方，教師的幫助是為了每個(gè)學(xué)生在某些方面能長(zhǎng)出“新枝”，而那些增長(zhǎng)的點(diǎn)位是學(xué)生本身具備的。這里尤其要說明的是“每個(gè)學(xué)生”，課堂是針對(duì)處于課堂中的每一個(gè)學(xué)生的，課堂是屬于每一個(gè)學(xué)生的。如果只是涉及局部的或者是少部分學(xué)生，那么這樣的課堂不會(huì)是我們所期望的，更不會(huì)是學(xué)生們想要的和希望的。

于是，課堂中必然會(huì)讓我們看見各種積極的現(xiàn)象，它所體現(xiàn)出來的表征恰如新課標(biāo)所指出的：學(xué)生學(xué)習(xí)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程，教師以平等、尊重的態(tài)度鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生共同探索，與學(xué)生一起感受成功和挫折、分享發(fā)現(xiàn)和成果。要想使數(shù)學(xué)課堂朝這個(gè)方向邁進(jìn)，有很多事情等著我們?nèi)ヅΦ貙?shí)踐，有兩件事情是必然要去做的，第一件事是要遵循數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，而第二件事是要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)會(huì)促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境。

顯然，數(shù)學(xué)有它自身的活性，它可以有別于活生生的生命體，卻有著獨(dú)特的活力，散發(fā)出迷人的魅力。這種活力足以支撐龐大的數(shù)學(xué)體系的存在與發(fā)展，使得數(shù)學(xué)成為一門不斷滋長(zhǎng)的更為偉大與壯觀的學(xué)科。那么，究竟是什么阻礙了那么多孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)前進(jìn)的步伐呢？我們要明白數(shù)學(xué)有三大顯著的特征，而這三大特征是人類思維發(fā)展的必經(jīng)之路。

其一，數(shù)學(xué)具有高度的抽象性。這種抽象主要表現(xiàn)為強(qiáng)大的符號(hào)系統(tǒng)，簡(jiǎn)而言之，符號(hào)化。只有當(dāng)學(xué)習(xí)者形成了屬于自己的數(shù)學(xué)符號(hào)語言結(jié)構(gòu)，那么他就能很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)他的思想、行為。也就是說，這種時(shí)候的他就可以用數(shù)學(xué)來指導(dǎo)生活，數(shù)學(xué)也成為更為有趣的生活的工具。數(shù)學(xué)不再被認(rèn)為是“算算”、“解解題”之類的，它已成為一種思想意識(shí)、行為意識(shí)。

其二，數(shù)學(xué)需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?。如果把?shù)學(xué)比作房子，那么我們拿造房子來說。我們經(jīng)常看到造房子打基的時(shí)間要很久，之后一層兩層三層，好像速度要快得多。這說明什么，說明了造房子必須打基，而且基石必定要堅(jiān)實(shí)牢固。數(shù)學(xué)也是一樣的，它也有基石，它的基石是公理。所謂公理，就是公認(rèn)的道理。具體地講，就是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活實(shí)踐中一直無法推翻的道理，是人們公認(rèn)為正確的事實(shí)結(jié)果。數(shù)學(xué)就是以這些為依據(jù)，逐步地發(fā)現(xiàn)或推導(dǎo)出另一些正確的結(jié)論，其中一些正確結(jié)論作為定理，定理就是可用作其他推理的依據(jù)的。依次反復(fù)，正如迭代似的，數(shù)學(xué)就形成了一支具有嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理而來的無數(shù)概念與結(jié)論組成的龐大隊(duì)伍。這種思維存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)分支中，代數(shù)、幾何學(xué)習(xí)中都有。而很多人認(rèn)為它主要存在于幾何學(xué)習(xí)中，其實(shí)不然。

其三，數(shù)學(xué)由大量的原始概念為統(tǒng)領(lǐng)。說得通俗一些吧，給某些具有共性的物體取個(gè)名字。要是這么一想，也就很容易理解數(shù)學(xué)概念了。坐在凳子上吃飯，我們管坐的為凳子，管用來吃飯的為餐桌，等等。如概念“集合”，是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學(xué)元素。再如概念“一元一次方程”，是指只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax＋b＝0（a，b為常數(shù)，且a≠0）。名字取好了，我們只管叫它，不要再懷疑了。數(shù)學(xué)概念一旦形成，只要是符合定義所闡述的每一條要求，就可以稱呼它的名字了。而生活中，我們會(huì)碰到這種情形：我的媽媽短發(fā)，身高一米六，穿高跟鞋。于是把具備這些特征的叫成了媽媽，這種錯(cuò)誤是難免要犯的。因?yàn)椤拔业膵寢尅边@個(gè)概念是很難來定義的，這只是特定的一個(gè)人物。

要使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的特征有一個(gè)鮮明的認(rèn)識(shí)與理解，直至成為具有獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，圍繞著數(shù)學(xué)的三大特征展開課堂教學(xué)是勢(shì)在必行的一件事情，這是數(shù)學(xué)教學(xué)工作者應(yīng)該時(shí)刻記掛在心上的。

誠(chéng)然，當(dāng)學(xué)生們要學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的時(shí)候，呈現(xiàn)給他們的學(xué)習(xí)資料不能脫離他們的實(shí)際年齡與事實(shí)背景。正如Ron Clark所言：“We‘over p lan'and always are ready to keep the energy going with exciting and engaging content.”教師的主導(dǎo)作用在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)制。新課標(biāo)中明確指出：教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我、建立信心。

這里指明了，關(guān)心學(xué)生的成長(zhǎng)、關(guān)注學(xué)生的終身發(fā)展是數(shù)學(xué)課堂的基本立足點(diǎn)。通過這樣的方式培養(yǎng)出來的人，才會(huì)是富有內(nèi)涵的人，才會(huì)是既有獨(dú)立思想又有合作理念的人，才會(huì)是適應(yīng)時(shí)代變化且會(huì)擔(dān)當(dāng)?shù)娜?。學(xué)生在這樣的課堂環(huán)境中參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，必然會(huì)是有成果產(chǎn)出的過程，也必然會(huì)是有成效的過程。

至于課堂教學(xué)，我們要不斷地追求，從追求有效到追求高效，從追求負(fù)擔(dān)輕到追求質(zhì)量高，從追求平均分到追求后30%，從追求優(yōu)良率到追求合格率……這種課堂追求就是追求每個(gè)學(xué)生的發(fā)展，這種追求要求我們還要改進(jìn)甚至摒棄那些不適合新理念的做法：抓時(shí)抓點(diǎn)地瘋狂練習(xí)與講評(píng)，以教師的講為主的課堂覆蓋率等。我們要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)本質(zhì)有足夠的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行有效地把控。教學(xué)活動(dòng)的開展要符合數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有機(jī)結(jié)合，課堂組織形式要以全面帶動(dòng)每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)為出發(fā)點(diǎn)。因此數(shù)學(xué)課堂會(huì)是靈活多變、形式多樣的，當(dāng)然課堂的核心目標(biāo)、核心價(jià)值是不會(huì)因形式的變化而變化的。

目前的課堂學(xué)生數(shù)居高不一，每個(gè)班有40位學(xué)生左右，或許更多。在“我講你聽”已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適合當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展的情形下，又如何能在有限的時(shí)空內(nèi)讓更多的學(xué)生真正“動(dòng)”起來，成為時(shí)下迫切需要找尋的答案。于是，小組合作學(xué)習(xí)為主要的課堂組織形式在數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐中逐漸明朗起來。教師是如何能做到關(guān)注學(xué)生的差異，引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生都能積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)呢？小組合作學(xué)習(xí)方式功不可沒，它能提高教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性和有效性。

以往常可以聽到這樣的聲音：“這個(gè)題目我講了至少三遍了，學(xué)生還是不懂?！边€?？梢钥吹竭@樣的場(chǎng)景：“學(xué)生在努力地聽老師講什么，老師在一遍又一遍耐心地輔導(dǎo)學(xué)生?！敝T如此類，比比皆是。的確，有些解題思路、有些新學(xué)知識(shí)已不再需要教師來重復(fù)，學(xué)生之間完全可以內(nèi)化。在小組討論與交流活動(dòng)中，學(xué)生們會(huì)去獨(dú)立思考、主動(dòng)探索，從而理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，更為可貴的是合作交流使學(xué)生們獲得了基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是沒有任何人可以傳授的，它是時(shí)間持續(xù)與活動(dòng)本身的產(chǎn)物。學(xué)生一旦積累了大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，隨之而來的是創(chuàng)新與質(zhì)疑，從而會(huì)提出更為深刻的數(shù)學(xué)問題。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是思維的碰撞，是有意義的學(xué)習(xí)，也能真正地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

很多時(shí)候?qū)W習(xí)活動(dòng)本身會(huì)比獲取的知識(shí)顯得更為重要，當(dāng)我們關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)本身時(shí)，也會(huì)更容易地使學(xué)生理解和掌握知識(shí)。目前，每個(gè)班被分成了同質(zhì)的八個(gè)組，每個(gè)組內(nèi)又是異質(zhì)的，這時(shí)課堂評(píng)價(jià)就可以發(fā)揮出其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)了。課堂評(píng)價(jià)能保證教學(xué)活動(dòng)有序正常地開展，但評(píng)價(jià)的作用已遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了這個(gè)范圍。新課標(biāo)中提到：學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我、建立信心?？梢姡瑪?shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，實(shí)施即時(shí)性評(píng)價(jià)和終極性評(píng)價(jià)有機(jī)結(jié)合，更能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，以及培養(yǎng)強(qiáng)烈的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。

課堂即時(shí)評(píng)價(jià)涉及每一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的每一個(gè)重要環(huán)節(jié)，主要考量每個(gè)學(xué)生是否參與了數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程。他們的每一次回答、每一次質(zhì)疑，每一個(gè)眼神、每一個(gè)動(dòng)作，都會(huì)代表自己又代表小組獲得一定的量化分?jǐn)?shù)。機(jī)會(huì)最大化地均分給每一位學(xué)生。小組交流活動(dòng)或者合作活動(dòng)中，是否成員式地參與、是否獨(dú)立思考與合作交流融洽結(jié)合、是否敢于反思質(zhì)疑等，都會(huì)盡收教師眼底，成為他們的小組活動(dòng)分。一堂課結(jié)束時(shí)會(huì)產(chǎn)生個(gè)人與小組的綜合分，成為本堂課的終極性評(píng)價(jià)。

這種過程化的評(píng)價(jià)，促使每一位學(xué)生有意識(shí)無意識(shí)地投入到課堂活動(dòng)中來。作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主體的學(xué)生，在積極參與教師精心設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程中不斷得到發(fā)展。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不再是外部力量的駕馭，久而久之，學(xué)生默會(huì)了“我”要怎么學(xué)，這時(shí)候，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)部機(jī)制就會(huì)順暢地運(yùn)轉(zhuǎn)起來。這符合學(xué)習(xí)的本質(zhì)：學(xué)習(xí)是一個(gè)沉淀的過程。

回歸真實(shí)的課堂，會(huì)讓我們更清楚地看到數(shù)學(xué)課堂是怎么樣的。讀者可從下面所展現(xiàn)的數(shù)學(xué)課中看到課堂的真實(shí)流露，個(gè)中的細(xì)節(jié)請(qǐng)細(xì)細(xì)品味。

案例1

讓學(xué)生充分體驗(yàn)，真正成為了學(xué)習(xí)的主人——“平行四邊形性質(zhì)”的教學(xué)實(shí)錄

題　威

平行四邊形性質(zhì)是浙教版八年級(jí)下冊(cè)，第五章平行四邊形的第三節(jié)課內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形、多邊形、平行線、平行四邊形概念的基礎(chǔ)上開展的教學(xué)內(nèi)容。

片斷一

老師（展示圖形）：根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，除此之外，平行四邊形的邊還有什么性質(zhì)？

課件顯示：邊有什么特征？①對(duì)邊 ②鄰邊

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主探究之后小組內(nèi)交流討論。以問題、提綱形式引導(dǎo)學(xué)生探究，可使學(xué)生有目的地進(jìn)行思考，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)。

情景描述：學(xué)生們?cè)谡n堂筆記本上寫寫、畫畫片刻后，組長(zhǎng)示意全體起立，以不影響到他組同學(xué)為討論音量的高度，開始“竊竊私語”。教師邊巡視，邊傾聽；時(shí)而停留在某一組，時(shí)而縱觀全體。此時(shí)，教師要同時(shí)完成很多任務(wù)，既要收集學(xué)生討論的各種情況（包括教學(xué)內(nèi)容的、學(xué)生學(xué)習(xí)行為的），又要把有些情況反映到課堂評(píng)價(jià)表上（以培養(yǎng)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)行為）。

片斷二

老師：通過大家的獨(dú)立思考，相信我們每個(gè)人對(duì)平行四邊形邊的性質(zhì)都有獨(dú)特的見解?，F(xiàn)在我們分組討論，交流。把個(gè)人所得結(jié)論與大家分享（老師走進(jìn)學(xué)生中間幫助個(gè)別小組理清分析思路）。

老師：下面哪個(gè)小組匯報(bào)一下你們所得結(jié)論，并說明你們是如何得到這些結(jié)論的。

組間分享（暢談性質(zhì)）：第一小組的同學(xué)們率先要求回答問題。

學(xué)生1A：平行四邊形的對(duì)邊不但平行，而且相等。鄰邊長(zhǎng)度沒有特殊性質(zhì)。

學(xué)生1B：我們首先是猜想對(duì)邊相等的，然后是證明的。這是證明過程。

學(xué)生1C展示證明過程

已知：四邊形ABCD是平行四邊形，求證：AD＝BC，AB＝CD

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD，AD∥BC

∴∠BAC＝∠DCA，∠BCA＝∠DAC

又∵AC＝CA

∴△ABC≌△CDA

∴AB＝CD，AD＝BC

情景描述：第一組由其中的三位同學(xué)上臺(tái)展示他們組的討論結(jié)果。這里的證明過程是在小組討論時(shí)由1D同學(xué)執(zhí)筆書寫的。組內(nèi)的每一位同學(xué)全部參與了這些成果的討論過程，他們?nèi)巳诉€把這些內(nèi)容寫在了自己的課堂筆記本上。因?yàn)榛卮饐栴}條理清晰，參與率達(dá)到100%，所以本組獲得了展示的最高分6分（這里的分值設(shè)置會(huì)因教師的不同有所區(qū)別）。不僅如此，本組還得到了全班同學(xué)的掌聲。

片斷三

老師：還有不同的嗎？還有補(bǔ)充的嗎？

學(xué)生2A：我們組是采用對(duì)平行四邊形進(jìn)行對(duì)折的方式來觀察其對(duì)邊的關(guān)系，就是讓B與A重合，發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)與D點(diǎn)重合。然后再進(jìn)行證明。

學(xué)生3A：我們組是采用測(cè)量方法得到對(duì)邊相等的，然后再進(jìn)行證明。

情景描述：這是“你評(píng)我評(píng)”階段，同學(xué)們可以各抒己見。但發(fā)言同學(xué)首先要以組代表的身份表明自己組的觀點(diǎn)，然后可以即時(shí)發(fā)表觀點(diǎn)。每一位發(fā)言者以組代表身份發(fā)言可以獲得本組的得分，以即興發(fā)言則可以得到本組的得分同時(shí)得到個(gè)人得分。分值因回答的質(zhì)量及回答的具體情景而設(shè)置。所以2A和3A同學(xué)為本組獲得了分?jǐn)?shù)。

盡管許多學(xué)生已經(jīng)知道“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”，但是從同學(xué)們的回答可以看出，他們不僅是知道這個(gè)知識(shí)，還懂得數(shù)學(xué)思考的邏輯性，這也正是因此設(shè)置本環(huán)節(jié)的真正意圖。因?yàn)檫@兩位同學(xué)展現(xiàn)了與第一組不同的研究方法，而且這些方法是積極可取的，所以這兩組也得到了最高分，同樣得到了全班同學(xué)的掌聲。

片斷四

課堂中學(xué)生思考碰撞的巔峰在老師出示了一道設(shè)計(jì)題之后開始了。

創(chuàng)意設(shè)計(jì)：

一位飽經(jīng)滄桑的老人，經(jīng)過一輩子的辛勤勞動(dòng)，到晚年的時(shí)候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地。由于年邁體弱，他決定把這塊土地按面積平均分給他的四個(gè)孩子，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)。

學(xué)生們?cè)诟髯缘男〗M內(nèi)畫著，折著，思考著，討論著……

這時(shí)，教師以一個(gè)參與者、合作者的身份活動(dòng)在各小組間，鼓勵(lì)創(chuàng)新，同時(shí)關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異，實(shí)施有效指導(dǎo)。

老師：經(jīng)過了大家的討論，同學(xué)們肯定有了各種不同的設(shè)計(jì)方法，讓我們共同來分享這份成果吧?。ɡ蠋熋鎺⑿?，環(huán)顧四周，臉上滲透著那份鼓勵(lì)、那份贊許）學(xué)生們紛紛舉手，要來展示。

學(xué)生8A：我們組的設(shè)計(jì)有：

（第八組同學(xué)針對(duì)六種設(shè)計(jì)方案，分別由本組的六位同學(xué)為其他同學(xué)分析講解設(shè)計(jì)的方法與設(shè)計(jì)正確的理由。）

還沒等老師開口，其他組又爭(zhēng)先恐后地上臺(tái)展示與講解了。

學(xué)生5C：這是我們組的設(shè)計(jì)補(bǔ)充：

學(xué)生6C：我們組還有

這時(shí)，教室內(nèi)一片噓唏聲，繼而掌聲一片。同學(xué)們驚奇而充滿佩服，教師也被震住了。不難看出，學(xué)生們腦子里“閃爍”著許多睿智的想法，會(huì)在任何一個(gè)不經(jīng)意的時(shí)刻，躍然而生，令你驚喜之余，不禁喟嘆！很多學(xué)生又開始尋找新的結(jié)論。

學(xué)生7C：你們看，這也可以呀！

“真棒！”同學(xué)們中有人情不自禁地喊了一句，跟著又是熱烈的由衷欽佩的掌聲?！斑€有，還有。”學(xué)生們自發(fā)的到黑板上畫出圖形，連下課鈴聲都似乎沒聽見……教師沒有就此打住，當(dāng)場(chǎng)實(shí)物投影了一個(gè)思考題（手寫的）：縱觀那么多的均分設(shè)計(jì)圖，是不是平行四邊形這個(gè)圖形本身具有一種本質(zhì)的特性導(dǎo)致的呢？

教師提出開放性問題，不僅能有效的提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和創(chuàng)新精神，有十分重要的意義。開放性設(shè)計(jì)，使不同層次的學(xué)生都能回答，同時(shí)全體學(xué)生都能樂于參與，感受問題中蘊(yùn)涵的巨大樂趣，提高全體學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。探索的經(jīng)歷意味著學(xué)生要面臨很多困惑，甚至失敗，也可能花費(fèi)很多時(shí)間和精力后結(jié)果還是不夠理想，但這些是學(xué)生生存、成長(zhǎng)、創(chuàng)造所必經(jīng)的過程，是值得的，因?yàn)樗麄兯@得的可能是一生受益無窮的財(cái)富。

愛因斯坦有這樣一句話，“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界的一切，并且是知識(shí)的源泉?！睂?duì)教師而言，當(dāng)學(xué)生迷路時(shí)，教師不要輕易告訴學(xué)生前進(jìn)的方向，而應(yīng)引導(dǎo)他們?cè)鯓颖婷鞣较颉?/p>

本節(jié)課教師精心設(shè)計(jì)了能夠充分暴露“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過程”的教學(xué)模式，做到不掩蓋數(shù)學(xué)思維的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，為學(xué)生的再創(chuàng)造拓展了空間。通過讓學(xué)生在觀察、猜想、推理等活動(dòng)中經(jīng)歷平行四邊形性質(zhì)定理及其推論的發(fā)生、發(fā)展、深化與應(yīng)用的過程，同時(shí)借助小組合作的優(yōu)勢(shì)、采用即時(shí)評(píng)價(jià)與過程性評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式，給學(xué)生充分體驗(yàn)的時(shí)間與空間，同學(xué)們?cè)讵?dú)立思考、合作交流中真正成為了學(xué)習(xí)的主人。

案例2

最讓我難忘的一次教學(xué)經(jīng)歷

張小樂

隨著新課程改革的不斷深入，學(xué)校走向更適合學(xué)生發(fā)展的課程設(shè)置，教師們也紛紛嘗試新課程理念作為支撐的課堂新模式。學(xué)校從孩子的想象來研究與嘗試構(gòu)建現(xiàn)代課堂，提倡改變課堂的固有模式，鼓勵(lì)老師們?nèi)ゴ竽憣?shí)踐。試著通過課堂形式的改變讓我們的孩子從被動(dòng)學(xué)習(xí)變成主動(dòng)學(xué)習(xí)，從個(gè)人埋頭苦讀變?yōu)樾〗M合作學(xué)習(xí)。在這樣的環(huán)境下，本人在日常教學(xué)中不斷嘗試和探索，變著方法調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，有成功也有失敗。下面記錄的這堂課，是在探索道路上讓人記憶特別深刻的課。

學(xué)生們剛學(xué)完八下第五章《平行四邊形》的所有新知識(shí)，恰好要進(jìn)行章節(jié)內(nèi)容的梳理提升與知識(shí)方法的框架構(gòu)建。第五章的主要內(nèi)容是平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定，其中穿插了5.6節(jié)三角形的中位線和5.7節(jié)逆命題和逆定理。

在處理教材時(shí)，由于已經(jīng)把5. 7節(jié)提前在第四章《命題與證明》的教學(xué)時(shí)與學(xué)生們一起學(xué)習(xí)了，對(duì)于這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)點(diǎn)到即可，但是另一節(jié)5. 6的復(fù)習(xí)卻讓我有些為難。

盡管最近幾年的中考試題中，有關(guān)中位線的幾何證明并不常出現(xiàn)，即便出現(xiàn)題目往往難度不大。但是，有關(guān)中位線的幾何證明著實(shí)有一些有趣的題目，綜合了平行四邊形和三角形的相關(guān)知識(shí)，而且往往需要巧妙地添加輔助線，能有效幫助學(xué)生梳理知識(shí)，提高解決幾何問題的分析能力，綜合應(yīng)用能力。尤其對(duì)于一些能力比較強(qiáng)的學(xué)生來說，學(xué)了中位線的相關(guān)知識(shí)，卻不給他們平臺(tái)好好地熟悉應(yīng)用這些知識(shí)，這樣的機(jī)會(huì)錯(cuò)失覺得太過可惜了。但是對(duì)于一些數(shù)學(xué)能力不太強(qiáng)的孩子，這樣的拓展可能會(huì)讓他們受到挫折，打擊他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，擾亂他們的學(xué)習(xí)。這當(dāng)然也是不希望看到的。

這里要穿插介紹一下班級(jí)情況。八班是一個(gè)很有個(gè)性的班級(jí)，孩子們都很有自己的主見和想法，學(xué)習(xí)氛圍也非常良好。當(dāng)然，八班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也存在一些問題，主要表現(xiàn)在三個(gè)方面。首先，八班的孩子學(xué)習(xí)的能力差別是比較大的，有非常厲害的孩子，也有非常薄弱需要特別指導(dǎo)的孩子?？上驳氖?，本班已經(jīng)按照組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì)的原則進(jìn)行分組，這樣的合作學(xué)習(xí)也已經(jīng)歷了較長(zhǎng)時(shí)間，此時(shí)小組間已經(jīng)磨合得頗為默契了。另外，這個(gè)班有個(gè)別學(xué)習(xí)能力特別強(qiáng)的孩子，比如課堂上或者練習(xí)上出現(xiàn)一些略有難度的題目，別的孩子還懵懵懂懂沒理解題意之前，他們已經(jīng)把問題解決了，并高舉著他們小手想要發(fā)言。久而久之，或許出于自卑或許出于懶惰，有相當(dāng)一部分孩子就習(xí)慣性地高舉免戰(zhàn)牌，聽?wèi){他們?nèi)ソ忉岊}目的前因后果。同時(shí)，雖然本班絕大多數(shù)的孩子們學(xué)習(xí)上比較自覺，但這種自覺性更多地反映在：他們能自覺地按時(shí)地完成老師布置的學(xué)習(xí)任務(wù)。換言之，孩子們做題目做作業(yè)更多地是為了完成任務(wù)，學(xué)習(xí)的時(shí)候總讓人感覺他們學(xué)得迷迷糊糊、不求甚解。對(duì)于數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)意識(shí)等各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的多方位素養(yǎng)的逐步形成迫在眉睫?？紤]到以上種種情況，具體的教學(xué)流程也就出爐了，本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)分三個(gè)時(shí)段進(jìn)行，由此形成一個(gè)整體。

第一時(shí)段，給每個(gè)小組發(fā)放了一份講義，并宣布了課堂要求。要求每個(gè)小組圍繞講義的內(nèi)容，按照自己的學(xué)習(xí)情況復(fù)習(xí)含三角形中位線以內(nèi)的相關(guān)知識(shí)，并合作完成發(fā)放的講義，約定耗時(shí)四十五分鐘左右。同時(shí)讓每一位同學(xué)（尤其是組長(zhǎng)要更清晰）得知，第二堂數(shù)學(xué)課的最后十五分鐘要作一個(gè)小測(cè)驗(yàn)。每個(gè)小組會(huì)拿到六份試卷（因?yàn)橐粋€(gè)小組有六位成員），分別為十分卷，十五分卷，兩份二十分卷，二十五分卷和三十分卷，六份試卷總計(jì)120分，其中分值越高的試卷難度越大。每份試卷上都有四到五題，除了一道題目為講義上的題目的變式練習(xí)外，其余題目均為講義上的原題。測(cè)驗(yàn)完畢后，會(huì)按照每個(gè)小組的總分進(jìn)行排序，獲得第一名的小組不僅能得到獎(jiǎng)品禮物，還能得到額外的加分。

由于講義部分的學(xué)習(xí)會(huì)涉及后續(xù)小測(cè)試的水平程度，各個(gè)小組在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)組長(zhǎng)的組織下有序地進(jìn)行。小測(cè)試是獨(dú)立完成的，雖然有分學(xué)生的實(shí)際情況被設(shè)計(jì)成六份不同的試卷，因此，同學(xué)們不敢輕易對(duì)待講義部分的合作學(xué)習(xí)。否則，會(huì)影響到小組的總分，還得不到禮物，這對(duì)同學(xué)們來說是很有吸引力的，因?yàn)槊看蔚亩Y物都很奇特（在孩子們看來）。

在發(fā)放講義的時(shí)候，孩子們只是好奇地去看講義。可是在宣布完四十五分鐘時(shí)間都給孩子們進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的時(shí)候，孩子們一下子興奮起來，尤其是一些學(xué)習(xí)成績(jī)相對(duì)好一些的孩子。他們是非?？释詫W(xué)的，或者說，他們渴望的是自主分配時(shí)間的權(quán)力，自由選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容的權(quán)力。以往的課堂上，時(shí)間是牢牢掌握在老師手里的，先學(xué)什么后學(xué)什么，老師事先都備好了課，學(xué)生必須按照老師的思路一步步學(xué)，一個(gè)題一個(gè)題學(xué)，幾乎是沒有半點(diǎn)自由。所以當(dāng)把大量時(shí)間留給學(xué)生自主支配時(shí)，他們是那么的興奮。

因?yàn)橐粫?huì)兒的測(cè)試題目是講義上的原題，只有一道不是原題，即便不是原題也是稍作變式后的題。這樣的考試范圍讓被考怕了的孩子們頓時(shí)覺得安心。雖然考試這種評(píng)價(jià)方式一直受人詬病，但是改變一下測(cè)試形式，孩子們還是會(huì)興奮的。考慮到自學(xué)的時(shí)間較長(zhǎng)，以避免孩子們?cè)谧畛醯膭蓬^過去之后懈怠，所以給孩子們上個(gè)緊箍咒：要求每個(gè)小組在課堂內(nèi)把講義完成，在第二時(shí)段要進(jìn)行隨堂小測(cè)驗(yàn)。因?yàn)闇y(cè)試的內(nèi)容就是講義上的例題習(xí)題，只要孩子們認(rèn)真學(xué)習(xí)，考出好成績(jī)是非常容易的。在進(jìn)行分組合作學(xué)習(xí)的模式以后，每星期都會(huì)對(duì)小組的行為習(xí)慣和學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，累積的評(píng)價(jià)結(jié)果與孩子們期末的評(píng)優(yōu)操行都要掛鉤，所以孩子們是十分重視的，哪怕各方面弱一些的孩子也不愿意因?yàn)樽约旱木壒首屝〗M落后。

課堂要求宣布完后，每個(gè)孩子都摩拳擦掌，斗志勃勃，一聲令下之后立刻圍在了一起，爭(zhēng)先恐后地去看講義。然后立刻有孩子舉手，表示講義只有一份，大家看起來很不方便，要求我多發(fā)兩份，卻被我笑著拒絕了（能培養(yǎng)合作的機(jī)會(huì)都不能錯(cuò)過）。

要真正了解第二時(shí)段的情況，得先說一說這份講義。講義是課前查了大量的習(xí)題參考書，拼貼整理出來的。講義的第一部分是知識(shí)整理與復(fù)習(xí)，首先列舉了中位線的相關(guān)知識(shí)并以填空的形式附上完整規(guī)范的證明，配上一些簡(jiǎn)單的例題和練習(xí)，這部分是為那些基礎(chǔ)比較薄弱的孩子準(zhǔn)備的。第二部分是兩道經(jīng)典例題，都需要巧妙地添加輔助線，十分有趣，每道題還配上一至兩道變式練習(xí)，這部分是為了絕大多數(shù)孩子準(zhǔn)備的，讓他們體驗(yàn)輔助線的妙用，訓(xùn)練他們的幾何思維。第三部分是難度較大的習(xí)題，當(dāng)然這是為那些特別厲害的孩子準(zhǔn)備的。這題很具有挑戰(zhàn)性，解決方案不止一種，只憑個(gè)人的力量是很難在小組間取勝的。綜合考慮題目的難度，想要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)單獨(dú)完成是很困難的，必須要孩子們分工合作。之所以每個(gè)小組只發(fā)一份講義，也是怕若是每個(gè)人發(fā)一份，最后變成只是一個(gè)個(gè)學(xué)生各自低頭做自己那份練習(xí)。而在只發(fā)一份講義的情況下，學(xué)生不得不按照組員的實(shí)際情況安排任務(wù)，不僅能夠體現(xiàn)“合作學(xué)習(xí)”的理念，也能控制學(xué)生去做適應(yīng)自己水平的題目，不盲目挑戰(zhàn)，不懶惰偷懶。

在第一時(shí)段的學(xué)習(xí)中，有個(gè)情景是令人難忘的：以“叆叇”為命名的小組組長(zhǎng)是個(gè)很能干的小女孩，組里有兩個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相對(duì)困難的孩子，和另外三位孩子組成一個(gè)小組。開始，組長(zhǎng)很利落地把講義拆分開來，分配兩個(gè)女孩子合作完成第二部分，又把第三部分分配給另外一個(gè)男生，而自己拿起第一部分讓兩位基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生復(fù)習(xí)，并在一邊指導(dǎo)，那模樣活脫脫一個(gè)小老師，令人非常地放心。等到兩位同學(xué)把第一部分學(xué)習(xí)內(nèi)容差不多學(xué)完后，小組長(zhǎng)就讓他們?cè)谡n堂本上完成基礎(chǔ)練習(xí)，反復(fù)幫助他們規(guī)范證明的書寫過程。最令人感動(dòng)的是，寫完一遍后，小組長(zhǎng)讓兩位同學(xué)把基礎(chǔ)練習(xí)再獨(dú)立做一遍，如果寫得不對(duì)就要做第三遍。這邊小老師講得井井有條，那邊兩個(gè)女孩子也是有商有量地比劃著怎么加輔助線，很是投入。這兩個(gè)女孩子平時(shí)成績(jī)都還不錯(cuò)，但是解決數(shù)學(xué)問題的能力確實(shí)是顯得薄弱的，就是屬于那種老師教過的題目她一定會(huì)，老師沒有教過的題目就疙瘩著沒有辦法的孩子。這會(huì)兒有個(gè)程度差不多的同學(xué)一起商量著辦，顯然互有助益。還有一個(gè)男生捧著那張難題冥思苦想，這個(gè)男生平時(shí)考試成績(jī)往往因?yàn)楦鞣N粗心和習(xí)慣不好而不夠理想，但是人是極為聰明伶俐的，平時(shí)最愛挑戰(zhàn)難題，一來就挑中了最后一道最難的題目，卻耗費(fèi)了整整一節(jié)課也沒有什么眉目。

其實(shí)這樣的安排也是我故意的。學(xué)習(xí)好的孩子多少有些傲氣，尤其是男孩子們，不約而同有個(gè)不算好的習(xí)慣，考試的時(shí)候喜歡從最后一題做起，可能是因?yàn)樽詈笠活}往往能讓他們覺得有挑戰(zhàn)，但是對(duì)于考試來說，確實(shí)會(huì)對(duì)成績(jī)?cè)斐捎绊憽．吘乖嚲淼陌才哦际乔懊娴念}目簡(jiǎn)單，后面的題目繁復(fù)，先做難免會(huì)影響考試的心情，也會(huì)影響考試時(shí)間的分配。但是無論怎樣苦口婆心，總有那么幾個(gè)孩子不放在心上，這個(gè)男生這樣的表現(xiàn)完全在預(yù)料之內(nèi)。最后他在測(cè)試時(shí)選擇最難的試卷，但是因?yàn)闀r(shí)間大量消耗在一道題目上，最終還沒有做出來，所以在測(cè)試時(shí)，他明顯有些準(zhǔn)備不足，題目做得十分倉促，最后成績(jī)當(dāng)然不理想。課后請(qǐng)了小組長(zhǎng)幫忙，一起找這位男生分析了情況，希望他以后不要一味逞能，能更合理有效地安排時(shí)間和學(xué)習(xí)方法。

第二時(shí)段真正開始了。盡管事先在獨(dú)立思考中也有了一定的合作交流，但到了這個(gè)時(shí)段要開始的是徹底的合作交流，更為重要的是努力嘗試說明白思路與過程的同時(shí)還要學(xué)會(huì)傾聽。在小組長(zhǎng)的組織下，每個(gè)組員把自己負(fù)責(zé)的這一部分進(jìn)行了小組內(nèi)的展示和交流。這個(gè)小組可以說是全班分工合作最為合理有效的一個(gè)小組，當(dāng)然類似這樣分工合作的小組可不止這一組，這時(shí)就可以看出小組長(zhǎng)們是多么能干，他們完全能夠有效合理地分配學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)時(shí)間，看到學(xué)生們這樣的表現(xiàn)，看到小組建設(shè)取得了初步成效，老師心里也是樂滋滋的，為他們自豪。

“呆防部”小組是相對(duì)實(shí)力比較弱的一個(gè)小組。他們的做法是把講義拆開，每個(gè)成員輪流著去看，也不詳細(xì)書寫做法，在大致把題目思考之后把各自覺得有困難的題目挑選出來，然后自發(fā)地配對(duì)，會(huì)的學(xué)生教不會(huì)的學(xué)生。而組長(zhǎng)則把大家都覺得有困難的問題收集起來，認(rèn)真思考，有時(shí)也會(huì)求助組員，交流想法。小組長(zhǎng)充分使用小白板，把大家都覺得困難的題目一道道講給全組的成員聽，把大家教會(huì)。

還剩二十分鐘的時(shí)候，課堂小測(cè)試開始了。六份不同程度的試卷由組長(zhǎng)負(fù)責(zé)，組員共同參與“瓜分”了。各自為自己選取的這份試卷潛心奮戰(zhàn)。準(zhǔn)備編排講義和六份不同分值不同難度要求的測(cè)驗(yàn)卷，做這件事是要花費(fèi)一番心血的。課堂是屬于孩子們的，一個(gè)個(gè)完全變成了舞臺(tái)上的舞者。

第三個(gè)時(shí)段需要每組來臺(tái)前展示學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)心得了。當(dāng)然要有重點(diǎn)地、有條理地、有合作地進(jìn)行。不然，是得不到同學(xué)們的掌聲的。

“元首的憤怒”小組成員率先上臺(tái)了。湊巧這個(gè)小組的成員地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)都很厲害，課外也很自覺地充電。他們興奮地說，第三部分的題目是他們做過的。但等到要把這個(gè)題目講解時(shí)，那男孩開始抓耳撓腮，猴急得很，顯然摸不著門路，一副焦急地想做出來卻做不出來的模樣。曾經(jīng)做過的題常會(huì)在某個(gè)時(shí)候束手無策，越是似曾相識(shí)的問題有時(shí)反而顯得更為棘手，這樣的經(jīng)歷每個(gè)孩子都有遇到過。一番七嘴八舌之后，他們總結(jié)出了三個(gè)原因：第一，因?yàn)樽鲞^的題目所以做的時(shí)候總是心急著想做出來，反而做不出來；第二，做題目的時(shí)候想的不是這個(gè)題目該怎么去做，而是在回憶以前是怎么做的；第三，看到做過的題目容易“輕敵”，一旦做不出來后就容易方寸大亂，越亂越做不出來。這個(gè)時(shí)段中，每個(gè)組的人員可謂是大顯身手。

每一個(gè)小小的剪影，都映射出孩子們的自主學(xué)習(xí)能力與自主學(xué)習(xí)意識(shí)的強(qiáng)烈，每一個(gè)孩子都是那么愿意十分專注、十分認(rèn)真地投入到學(xué)習(xí)中去。孩子們渴望有新鮮感，想要讓他們學(xué)得開心，改變和調(diào)動(dòng)是必然要有的。他們好奇而喜歡學(xué)習(xí)的本性，正在呼喚著課堂“變化”起來。從“老師讓我做的”改變?yōu)椤拔覜Q定要做的”，這是多么有積極性和具備內(nèi)在動(dòng)力的改變。

諸多元素存在，肯定不能用教師設(shè)置的唯一形態(tài)牽引學(xué)生學(xué)習(xí)。課堂必然會(huì)是一種基于學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)情況的一種教學(xué)模式，這種以學(xué)生學(xué)習(xí)為先決條件的教學(xué)，必然會(huì)給學(xué)生重構(gòu)知識(shí)提供了足夠的時(shí)間與空間，學(xué)生也會(huì)從中悟到知識(shí)的真諦。一個(gè)人真正地在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是很難能可貴的，往往會(huì)使得屬于自己學(xué)習(xí)的內(nèi)在機(jī)制得到快速的形成與發(fā)展。一般來說，通常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無非是去領(lǐng)悟前人知識(shí)的合理性的基礎(chǔ)上有所新的突破與徹悟。但是還要相信，如果我們換成另一種或是某一種更為先進(jìn)的教學(xué)，那么對(duì)于未來的人即受教育的學(xué)生，必會(huì)使得從中的某些人脫穎而出，真正成為可以推動(dòng)人類進(jìn)步、可以改造世界的一流人才。