流體力學實驗研究的目的,就是找出流動的具體規(guī)律,即建立物理參數之間的具體關系式,也稱實驗關聯(lián)式。在不引入相似數的情況下,要得出實驗關聯(lián)式就必須將具體問題所涉及的每一個物理量作為實驗變量,一一進行實驗測試。這樣做,不僅實驗工作量大,而且模型實驗結果還不一定具有放大性。然而,利用相似理論及量綱分析將有關物理量組合成量綱為1的特征數(相似數),就使實驗工作轉化為以相似數作為變量,因而實驗中不必將相似數中包含的每一個物理量都作為實驗測試變量,只需測量相似數中易于改變和測量的物理參數,以反映該相似數的變化就可以了。這不僅大大減少實驗的次數,而且通過實驗獲得的量綱為1的特征數之間的關聯(lián)式還可應用于生產實際。

相似原理說明兩個系統(tǒng)流動相似必須在幾何、運動和動力三個方面都要相似,然而,在采用模型實驗模擬原型流動時,還需要建立相似準則才能解決問題。相似準則是流動相似的充分必要條件。建立相似準則一般有兩種途徑:對于已有流動微分方程描述的問題,可直接根據微分方程和相似條件導出相似準則;對于還沒有建立流動微分方程的問題,只要知道影響流動過程的物理參數,就可以通過量綱分析法導出相似準則。

8.1.2.1　微分方程分析法

N -S方程所描述的黏性不可壓縮流體流動的相似準則就可具體表述為:原型與模型系統(tǒng)中的這些相似數Re、Eu、Fr、Sr應分別相等;在此基礎上,若兩系統(tǒng)邊界條件、初始條件相似,就能保證原型系統(tǒng)和模型系統(tǒng)的流動相似。

為了說明黏性不可壓縮流動4個相似數的物理意義,在此先列出z方向的N-S方程

雷諾數Re(Reynolds number)　雷諾數是與流體性有關的相似數,表示慣性力與黏性力之比,即

從力的角度看,該方程等號左邊是單位體積流體質量(即密度)與流體加速度的乘積,因此表示的是慣性力,其中與時間變化相關的慣性力表示為ρv/t,與流體運動(空間變化)相關的慣性力表示為ρv 2/L;方程等號右邊是單位體積流體受到的重力、壓力(表面力)和黏性力,分別用ρg、p/L、μv/L 2表示。明確N-S方程各項的意義后,不難說明上述4個相似數Re、Eu、Fr、St的物理意義。

Re常用于分析黏性力不可忽略的流動,又稱黏性阻力相似數。如果兩種幾何相似的流動在黏滯阻力作用下達到動力相似,則它們的雷諾數一定相等;反之,兩種流動的雷諾數相等,則這兩種流動一定在黏滯阻力作用下動力相似。在研究管道流動、飛行器的阻力、浸沒在不可壓縮流體中各種形狀物體的阻力以及邊界層流動等問題時,必須考慮雷諾數。

歐拉數Eu(Euler number)　歐拉數是與壓力有關的相似數,因此也稱為壓力相似數,表示壓力與慣性力之比

如果兩種幾何相似的流動在壓力表面力作用下達到動力相似,則它們的歐拉數必然相等;反之,如果兩種流動的歐拉數相等,則這兩種流動在壓力表面力作用下一定是動力相似的。歐拉數常用于描述壓力對流速分布影響較大的流動,如管中的水擊、空泡現(xiàn)象和空泡阻力問題就必須考慮。

弗勞德數Fr(Froude number)　弗勞德數是與重力有關的相似數,亦稱重力相似數,表示慣性力與重力之比

如果兩種幾何相似的流動在重力作用下達到動力相似,則它們的弗勞德數必然相等;反之,如果兩種流動的弗勞德數相等,則這兩種流動在重力作用下一定是動力相似的。在水流狀態(tài)中,有急流和緩流之分,其性質很不相同。緩流中干擾微波可往上游傳播,急流中則不能。弗勞德數綜合反映了水流運動的慣性力作用和重力作用。當Fr>1時,水流性質為急流;當Fr<1時,水流性質為緩流。

弗勞德數常用于描述有自由表面的流動。例如,對于水力學中的港口的潮汐流動、江河的流動、堰流、孔口管嘴泄流以及流過水工建筑物等流動問題,對于液體表面的波動、船舶和水上飛機浮筒等水上運動物體的波浪阻力問題,對于在空氣動力學中的具有加速度的運動物體的飛行等問題,弗勞德數有顯著的意義。但對于管道內流動可不考慮此數,因為這類流動的邊界為固定固體壁,邊界上的速度都已經給出,不會改變。

斯特勞哈爾數Sr(Strouhal number)　斯特勞哈爾數是與時間變化相關的相似數,又稱時間相似數,表示速度隨時間變化引起的力與慣性力之比,即

如果兩種幾何相似的流動在非定常流動下達到動力相似,則它們的斯特勞哈爾數必然相等;反之,如果兩種流動的斯特勞哈爾數相等,則這兩種流動在非定常流動下一定是動力相似的。在穩(wěn)態(tài)流動時不考慮斯特勞哈爾數,但是有周期性流動時,如在研究葉片機械、螺旋槳式飛機和直升機旋翼的氣動力性能時,在研究船用螺旋槳的水動力性能時,它是很重要的。需要指出的是,用時間相似準則來考慮非定常流動的模型實驗,能比量綱為1的時間比尺更好地反映流動的本質。因為滿足了斯特勞哈爾數,也就滿足了運動相似和動力相似。

上述Re、Eu、Fr、Sr是NS方程描述黏性不可壓縮流體流動的相似數。理論上,模型實驗要有相似性,模型與原型兩者對應的4個相似數應相等,但實踐中會發(fā)現(xiàn),多數情況下要做到這點是很困難的,只能根據流動問題的特點,選擇保證主要的相似數相等。

除了上述Re、Eu、Fr、Sr外,對于其他不同條件下的流動,還會有另外的相似數。例如,對于高速流動,密度隨壓力的變化較明顯,必須考慮可壓縮性的影響,此時馬赫數Ma (Mach number)是重要的相似數。馬赫數也稱為彈性力相似數,表示慣性力與可壓縮性有關的力(彈性力)之比,以c表示聲速,則馬赫數定義為

馬赫準則表明,如果兩種幾何相似的氣流在彈性力作用下達到動力相似,則它們的馬赫數必然相等;反之,如果兩種流動的馬赫數相等,則這兩種流動在彈性力作用下一定是動力相似的。通常,當氣流速度大于100 m/s時,氣體壓縮性的影響將變得顯著,如果不考慮分離或激波與邊界層的相互干擾等問題,則要保證模型與原型流動動力相似,就必須保證兩者馬赫數相等。

當流動存在自由表面且表面張力是影響流動的重要因素時,則必須考慮韋伯數W e (Weber number)。韋伯數We表示慣性力與表面張力之比,即

We=F慣性力/F表面張力=(ρv 2/L)/(σ/L 2)=ρv 2 L/σ

此外,在以角速度ω旋轉的參照系內研究流體流動時,流動微分方程中要出現(xiàn)柯氏力和離心慣性力,由此又可引出羅斯比數Ro(Rossby number)和?？寺鼣礒o(Ekman number), Ro=v/ωL表示柯氏力與離心慣性力之比,而Eo=μ/ρωL 2則表示黏性力與離心慣性力之比。

8.1.2.2　量綱分析法

前面所討論的是已知流動微分方程時,利用相似原理確定相似準則的方法。但工程實際中有很多問題是相當復雜的,無法建立流動微分方程,只能了解到影響流動過程的一些物理參數。對于這類問題則可通過量綱分析方法導出相似準則。

物理量的單位決定量度的數量,而量綱則指量度的性質。描述流體流動的物理量都是有量綱的量,即有單位的量。一個物理量的單位雖然可有多種,但其量綱是不變的。流體力學中最基本的物理量有長度、質量、時間、熱力學溫度,其量綱分別為L、M、T、Θ表示,而其他物理量的量綱則是這些基本量綱的組合,并依照習慣,用[A]表示物理量A的量綱。如面積S的量綱為[S]=[L 2],密度ρ的量綱為[ρ]=[ML-3],黏度μ的量綱為[μ]= [ML-1 T-1],速度u的量綱為[u]=[LT-1]等。對于某一物理過程,用哪些量綱作為基本量綱,取決于該過程涉及的物理參數的量綱。

只有量綱相同的物理量才能相加減,所以正確的物理關系式中各加和項的量綱必須是相同的,等式兩邊的量綱也必然是相同的,這就是量綱和諧原理。實驗過程中,利用量綱和諧原理,對影響物理過程的各有關變量進行量綱分析,可將這些變量組合成數目較少的量綱為1的特征數,然后通過實驗確定這些量綱為1的特征數之間的關系,從而大大減少實驗的次數,使問題的分析得以簡化。這種量綱為1的特征數之間的實驗關聯(lián)式還可能將小模型上的實驗數據放大應用于生產實際。

量綱分析方法包括瑞利(Rayleigh)方法和白金漢姆(Buckingham)方法,具體方法可見附錄Ⅻ。在采用量綱分析法時,應結合問題本身特點對已得到的相似數進行預篩選,分析哪些是主要的,哪些是次要的,既不遺漏對流動有重要影響的物理參數,也不要包括那些次要參數。當然,相似數的篩選必然要求研究者對問題本身有盡量全面的認識和了解,并借鑒前人研究工作所積累的經驗。例如,在管道流動中,起決定作用的是雷諾數,而歐拉數可以忽略不計;但在研究空泡與空蝕現(xiàn)象時,歐拉數則是起決定作用的。