建筑中的數(shù)學(xué)

金字塔的重心

與地上跑的汽車(chē)、火車(chē)不同，天上飛的飛機(jī)需要均衡調(diào)配人和貨物，保持機(jī)體平衡，這一點(diǎn)非常重要。飛機(jī)機(jī)體是否維持均衡可通過(guò)重心位置來(lái)確認(rèn)，其重心值則用與基準(zhǔn)線的距離和各點(diǎn)作用力之和來(lái)求得。

據(jù)說(shuō)飛機(jī)上的座位配置及貨物裝載一定要保持合適的重心，否則不允許飛機(jī)起飛。從這一點(diǎn)看，乘機(jī)時(shí)為了安全也最好不要隨意調(diào)換座位。尤其那些小型飛機(jī)，如果隨意移動(dòng)座位很容易使飛機(jī)重心脫離規(guī)定范圍，一旦發(fā)生這樣的情況飛機(jī)將迫取消航班，重新調(diào)整座席。

有關(guān)重心的話題還與世界七大奇跡之一的金字塔有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。木乃伊之所以數(shù)千年不腐爛得益于高超的防腐技術(shù)，不過(guò)也有人提出這與重心有關(guān)。埃及人堅(jiān)信金字塔的重心可吸收宇宙的能量，所以把法老的木乃伊埋在了這里。

據(jù)說(shuō)在金字塔重心位置放上銹蝕的剃須刀片后，銹跡竟會(huì)奇跡般地消失。對(duì)此許多人雖然不敢茍同，但其神奇作用或許真的存在。因此，利用這一點(diǎn)不少洗浴桑拿房都設(shè)立了金字塔體驗(yàn)室。

文物修復(fù)與外心

三角形除重心外，還有內(nèi)心、外心、重心、旁心等四個(gè)中心（五心），其中三角形外心為通過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)的圓中心。這一點(diǎn)在文物修復(fù)中起到了非常重要的作用。

圖18

我們來(lái)舉一個(gè)例子。磚瓦屋頂?shù)姆块苁怯筛餐邩?gòu)成的，新羅時(shí)代文物——人臉圖案覆瓦為圓形（如圖18），不過(guò)挖掘時(shí)外形遭到嚴(yán)重?fù)p壞。

為了修復(fù)這個(gè)文物，首先要找出它原來(lái)形狀的圓的中心，即外心。在覆瓦四周確定三個(gè)點(diǎn)，連接這三個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)三角形，找出三角形的外心并畫(huà)出其外接圓，則可修復(fù)成原來(lái)形狀的人臉圖案覆瓦。

金字塔與地球相像？

重新回到埃及金字塔。埃及金字塔底面為正四邊形，斜面是由四個(gè)三角形構(gòu)成的四角棱錐，底面與斜面形成角度為51°52′，得出如此復(fù)雜的角度是因?yàn)闆Q定金字塔高度和底面的正四邊形一邊事先已經(jīng)被確定了下來(lái)。

金字塔的高度為146米，底面是一邊為230米的正四邊形（如圖19）。如果正四邊形周長(zhǎng)（4×230米）除以高度（146米）的話，則結(jié)果近似圓周率π的2倍，這與從赤道測(cè)得的地球周長(zhǎng)（2πr）除以地球半徑r所得值幾乎一致。對(duì)此，有人認(rèn)為這是埃及人為了把整個(gè)地球裝進(jìn)金字塔而有意設(shè)計(jì)的，或許這是古埃及人的美好夢(mèng)想吧。

圖19

不過(guò)符合實(shí)際的解釋更令人信服。當(dāng)時(shí)，人們是從棕櫚樹(shù)或亞麻中提取出來(lái)的纖維作成繩子來(lái)測(cè)量距離，這種繩子一繃緊很容易被拉長(zhǎng)，致使測(cè)量的距離不是很準(zhǔn)確。為此，埃及人便利用事先知道半徑的圓盤(pán)來(lái)確定金字塔的高度和底面的邊長(zhǎng)。將圓盤(pán)直徑的2倍確定為金字塔的高度，圓盤(pán)周長(zhǎng)為金字塔底面的一邊，這樣就會(huì)出現(xiàn)剛才上面提到的那個(gè)比例。

針對(duì)金字塔還有另一種解釋。如果將干燥的沙子堆放起來(lái)的話，堆到一定高度會(huì)無(wú)法繼續(xù)堆上去，而此時(shí)底面與斜面形成的角度恰好為51°52′。從中或許可以得出這樣一個(gè)結(jié)論，金字塔底面與斜面形成的角度遵循了自然法則。

石窟庵的對(duì)稱比

人們借旅行機(jī)會(huì)或許去過(guò)石窟庵和瞻星臺(tái)，但知道那里隱藏著精妙數(shù)學(xué)比的人卻不是很多。

石窟庵本尊佛像的面部寬度按當(dāng)時(shí)使用單位為2.2尺，胸寬為4.4尺，肩寬為6.6尺，兩膝寬度為8.8尺，臉、胸、肩、膝之比為1∶2∶3∶4，在這里成為標(biāo)準(zhǔn)單位的1.1尺是本尊佛像高度的十分之一。還有，佛國(guó)寺釋迦塔1層底座的寬度與高度是大雄殿大梁與橫梁的十分之一。在石窟庵和佛國(guó)寺出現(xiàn)的十分之一比例與古希臘文明時(shí)代思想家維特魯威的著作《建筑十書(shū)》中提到的對(duì)稱比相同。

維特魯威認(rèn)為建筑不僅要有強(qiáng)度和實(shí)用性，審美也很重要，建筑的美麗在于建筑物的各個(gè)尺寸符合對(duì)稱比。事實(shí)上，對(duì)稱比在人體中也可以找到。下顎至額頭的臉部長(zhǎng)度為身高的十分之一，手腕至中指尖的手掌長(zhǎng)為臂長(zhǎng)的十分之一。維特魯威強(qiáng)調(diào)，正如人體呈如此精妙比例一樣，建筑也應(yīng)該遵循這一對(duì)稱比例。

1200年前的新羅人不會(huì)知道維特魯威的對(duì)稱比例，但值得稱道的是他們卻已經(jīng)意識(shí)到維特魯威體現(xiàn)穩(wěn)定性和審美性的對(duì)稱比并在石窟庵上利用了這種理想的比例。

瞻星臺(tái)的碑

在瞻星臺(tái)的許多地方也能找到這種對(duì)稱比。天障石的對(duì)角線長(zhǎng)度、基石長(zhǎng)度、瞻星臺(tái)高度之比為3∶4∶5，這與中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中的比例一致，也就是說(shuō)，瞻星臺(tái)的比例3∶4∶5是3²＋4²＝5²直角三角形三個(gè)邊的比例。

畢達(dá)哥拉斯定理，即“直角三角形斜邊為一邊的正四邊形面積與兩個(gè)直角為一邊的兩個(gè)正四邊形面積之和相同”已在《周髀算經(jīng)》中的“勾股定理”有了介紹。

《周髀算經(jīng)》將“勾（底邊）3、股（高度）4、弦（斜邊）5”定理只用簡(jiǎn)單的一張圖進(jìn)行了證明，這個(gè)證明比畢達(dá)哥拉斯定理中的任一證明都簡(jiǎn)潔明了，而且比畢達(dá)哥拉斯早了500年。

帕特儂神殿與維納斯像黃金比

黃金比自古希臘時(shí)期就被視為最穩(wěn)定、最美麗的比例。希臘帕特儂神殿正面寬度與高度之比正是黃金比，米羅的維納斯像也有很多黃金比。

以肚臍為基準(zhǔn)上半身與下半身之比為1∶1.618。就上半身而言，頭頂至脖頸與脖頸至肚臍的距離之比還是黃金比。在下半身，腳趾至膝部與膝部至肚臍距離之比仍為1∶1.618。

黃金比是指長(zhǎng)的部分與短的部分之比和整體長(zhǎng)度與長(zhǎng)的部分之比相同。用方程式表示這種關(guān)系，然后求解這個(gè)二元方程式即可得出這個(gè)比大約為1.618∶1，用黃金比分割稱為“黃金分割”。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的象征

如果畫(huà)出連接正五邊形頂點(diǎn)的五個(gè)對(duì)角線，則在里面會(huì)出現(xiàn)五角星狀的圖形（如圖20），畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)在這個(gè)五角星里有許多黃金比。

圖20

正五邊形的一邊與其對(duì)角線的長(zhǎng)度比為1∶1.618，各對(duì)角線將其他對(duì)角線同樣分成黃金比。這一驚人發(fā)現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將正五角星視為自己的象征。

貝多芬的巴托克的音樂(lè)

在貝多芬的第五交響曲《命運(yùn)》第一樂(lè)章里，“當(dāng)當(dāng)當(dāng)—當(dāng)—”的主題曲曾出現(xiàn)過(guò)三次：在開(kāi)始和最后部分出現(xiàn)第一次和第三次，而第二次則出現(xiàn)在黃金分割點(diǎn)。在第二次出現(xiàn)的主題曲前為377節(jié)拍，然后為233節(jié)拍，377與233之比為1.618∶1，接近黃金比。

巴托克也是在曲的高潮部分使用了黃金分割，甚至在一個(gè)節(jié)拍內(nèi)的旋律結(jié)合上也用了黃金比。綜上所述，黃金比不僅廣泛應(yīng)用于建筑、雕刻，甚至在音樂(lè)中也有它的身影。

人類(lèi)本質(zhì)的審美觀

在分割某一物體的長(zhǎng)度時(shí)，如果選擇正中央略顯呆板和正統(tǒng)，如果一部分比另一部分長(zhǎng)很多，則顯得變化太大，有種激進(jìn)的感覺(jué)。

在折衷這兩種情況、使感覺(jué)變化不明顯的過(guò)程中，也許會(huì)不經(jīng)意間接近黃金比。也就是說(shuō)，即使不是有意使用黃金比，但是在按照直觀尋找穩(wěn)定比的過(guò)程中也會(huì)自覺(jué)不自覺(jué)地接近黃金比。從這一點(diǎn)可以看出，黃金比符合人類(lèi)普遍的審美觀點(diǎn)。