奇妙的自然數(shù)

1，2，3，4，5，……這些簡簡單單的自然數(shù)，是我們從牙牙學(xué)語開始就認識的。它們是那樣自自然然，因而顯得平淡無奇。但我們?nèi)绻J真研究一下這些數(shù)字，就會發(fā)現(xiàn)其中妙趣橫生。聰明的數(shù)學(xué)王子高斯在小學(xué)的時候就會巧算自然數(shù)列之和，這正是由于他對自然數(shù)有深刻的了解。高斯小時候在德國的一所農(nóng)村小學(xué)讀書。數(shù)學(xué)老師是位從城里來的先生。他瞧不起窮人的孩子，從不認真教他們，甚至還打罵學(xué)生。有一天，他情緒很壞，一上課就命令學(xué)生做加法，從1一直加到100，誰算不到就不準(zhǔn)回家。所有的孩子都急急忙忙地算起來，老師卻在一邊看小說，不一會兒，小高斯就算出了結(jié)果是5050。老師大吃一驚，奇怪他怎么算得這么快。原來，高斯并不是按1＋2＋3＋4……的順序計算的。而是把1到100一串?dāng)?shù)，從兩頭向中間，一頭一尾兩兩相加，每兩個數(shù)的和都是101。例如：1＋100、2＋99、3＋98……，直到50＋51，和都是101。這樣，100個數(shù)正好是50對，因此，101×50就得出5050的總和了。從此，老師再也不敢輕視窮孩子們了。他還從城里買來書，送給高斯，熱心幫助他學(xué)數(shù)學(xué)，高斯進步得更快了。小高斯所用的方法，正是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)過長期努力才找到的等差數(shù)列求和的辦法。這個故事人人皆知，它說明努力發(fā)現(xiàn)和巧妙利用規(guī)律是多么重要?，F(xiàn)在讓我們再看看自然數(shù)還有哪些有趣的性質(zhì)。

我們前面提到過完全數(shù)和友好數(shù)，除了這兩種有趣的數(shù)以外，自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為“自守數(shù)”。所謂自守數(shù)就是自己和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。在自然數(shù)中凡末尾數(shù)是1、5和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍然是1、5、6。例如：

　　　　21×21＝421

　　　21×21×21＝9261

　　　325×325＝105625

　　　6×6×6×6＝1296

這樣的結(jié)論是不是完全正確呢？我們可以用代數(shù)方法加以證明。讓我們以末尾是6的數(shù)為例。這樣的數(shù)可以表示成a，這里a為任意自然數(shù)，那么：

由于a是自然數(shù)，得到的結(jié)果也必定是自然數(shù)，可見它的個位必定是6。高次方情況下也如此，證明從略。用同樣方法可以證明1、5結(jié)尾的數(shù)也是自守數(shù)。

如果把尾數(shù)取到兩位，還有沒有自守的性質(zhì)呢？有。比如末尾是25和76的數(shù)就是自守數(shù)。

如果尾數(shù)取到三位、四位或更高位數(shù)，還能找到自守數(shù)嗎？經(jīng)過數(shù)學(xué)家的計算尋覓，發(fā)現(xiàn)尾數(shù)為376、9376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的數(shù)都是自守數(shù)。

讓我們再來看看自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)。

奇數(shù)數(shù)列是1，3，5，7，…n，…（n為項數(shù)）偶數(shù)數(shù)列是2，4，6，8，…2n，…（n為項數(shù)）人們研究奇數(shù)，發(fā)現(xiàn)如下的性質(zhì)：

這個結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明，不過相當(dāng)麻煩。其實我們只要畫一張最簡單的方格圖，這個性質(zhì)就一目了然了。

自然數(shù)中偶數(shù)數(shù)列則有如下的性質(zhì)：

2＝1×2　2＋4＝6＝2×3

　 2＋4＋6＝12＝3×4

　2＋4＋6＋8＝20＝4×5

　　　　　……

2＋4＋6＋8＋…＋n＝n（n＋1）

不論用數(shù)學(xué)歸納法還是用畫圖方法也都能證明這個結(jié)論。此外，對所有的自然數(shù)，下面的規(guī)律也成立并且十分有趣：

自然數(shù)中還有一類數(shù)被稱為回文數(shù)?；匚臄?shù)就是一個數(shù)的兩邊對稱，如11，121，1221，9339，30203等等?；匚臄?shù)本身倒也沒有什么奇特。不過人們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的自然數(shù)，如果把它各位數(shù)字的順序倒置，再與原數(shù)相加，將得數(shù)再按上述步驟進行，經(jīng)過有限的步驟后必能得到一個回文數(shù)：

如：95＋59＝154

　　154＋451＝605

　　605＋506＝1111

1111就是一個回文數(shù)。

又如：198＋891＝1089

　　　1089＋9801＝10890

　　　10890＋09801＝20691

　　　20691＋19602＝40293

　　　40293＋39204＝79497

79497又是一個回文數(shù)。

是不是所有的自然數(shù)都有這個性質(zhì)呢？不是。例如三位數(shù)中的196似乎用上述辦法就得不到回文數(shù)。有人用計算機對196用上述辦法重復(fù)十萬次，仍然沒有得到回文數(shù)。但至今還沒有人能用數(shù)學(xué)證明辦法對這個問題下結(jié)論，所以“196問題”也成了世界性數(shù)學(xué)難題之一。經(jīng)過計算，在前十萬個自然數(shù)中有5996個數(shù)就像196一樣很難得到回文數(shù)。

讓我們再看一個有趣的數(shù)字現(xiàn)象：

隨意取4個數(shù)，如8，3，12，5寫在圓周的四面。用兩個相鄰數(shù)中的大數(shù)減小數(shù)，將得數(shù)寫在第二圈圓周。如此做下去不久，必會得到4個相同的數(shù)。這個現(xiàn)象是意大利教授杜西在1930年發(fā)現(xiàn)的，所以叫作“杜西現(xiàn)象”。

在自然數(shù)中還有一些數(shù)，看起來貌不驚人，但卻十分特別，令人百思不得其解。6174就是其中之一。

把6174各位數(shù)字從大到小排列，再從小到大排列，然后用大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果還得到6174。

7641－1467＝6174

有趣的是，不僅6174本身，就是任意一個四位數(shù)字，只要4個數(shù)字不完全相同，用上述辦法重復(fù)多次，最后終能得到6174這個數(shù)。

例如：1234這個數(shù)，我們用下列步驟運算：

　　　4321－1234＝3087

　　　8730－0378＝8352

　　　8532－2358＝6174

再舉一例，如2883，則有：

　　　　　　8832－2388＝1998

　　　　　　9981－1899＝7982

　　　　　　9872－2789＝7083

　　　　　　7830－0387＝7443

　　　　　　7443－3447＝3996

　　　　　　9963－3699＝6264

　　　　　　6642－2466＝4176

　　　　　　7641－1467＝6174

對三位數(shù)字，用這個辦法最終將得到495。例如867，運算如下：

　　　　　　876－678＝198

　　　　　　981－189＝792

　　　　　　972－279＝693

　　　　　　963－369＝594

　　　　　　954－459＝495

你還可以用其他數(shù)字來驗證一下，看看對不對。

五位以上的數(shù)字，這個規(guī)律就不明顯了。

最后再讓我們看兩組有趣的數(shù)：

第一組為：1，6，7，23，24，30，38，47，54，55

第二組為：2，3，10，19，27，33，34，50，51，56

這兩組數(shù)有什么奇特之處呢？

首先，這兩組數(shù)都沒有公因數(shù)，而且兩組數(shù)各自的和都是285。不過這算不上奇怪，拼拼湊湊，誰也弄得出來。不要著急，我們再往下看。如果計算一下它們的方冪之和，你就會大為驚奇。

因為數(shù)字太多，我們不能一一列下去，讓我們把結(jié)果列出來。

方冪次數(shù)　　　每組數(shù)方冪和

0　　　　　　　285

1　　　　　　　11685

2　　　　　　　536085

3　　　　　　　26043813

4　　　　　　　1309753125

5　　　　　　　6734006805

6　　　　　　　3512261547765

7　　　　　　　185039471773893

…　　　　　　　…

…　　　　　　　…

從0次冪到8次冪，兩組數(shù)的方冪和都相等，誰能不感到驚奇呢？不過算到9次方冪，兩組數(shù)的方冪和就不相等了，這又是為什么呢？這兩組有趣的數(shù)和它們有趣的性質(zhì)吸引了不少人進行研究。

專門研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支叫作數(shù)論。數(shù)論中有許多看似簡單實則相當(dāng)困難，甚至近乎神秘的問題等待人們?nèi)ソ鉀Q，哥德巴赫猜想就是其中之一。

建立自然數(shù)概念通常有基于基數(shù)與基于序數(shù)兩種方法。

基于基數(shù)的自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計數(shù)。古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù)?，F(xiàn)在使用的英語calculate（計算）一詞是從希臘文calculus（石卵）演變來的。中國古代《易·系辭》中說，上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契，這都是匹配計算法的反映。

集合的基數(shù)具有元素“個數(shù)”的意義，當(dāng)集合是有限集時，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)。由此可通過集合的并、交運算定義自然數(shù)的加法與乘法（見算術(shù)）。

為了計數(shù)，必須有某種數(shù)制，即建立一個依次排列的標(biāo)準(zhǔn)集合。隨后對某一有限集合計數(shù)。就是將該集合中每個元素順次與標(biāo)準(zhǔn)集合中的項對應(yīng)，所對應(yīng)的最后的項，就標(biāo)志著給定集合元素的個數(shù)。這種想法導(dǎo)致G．皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論。

皮亞諾規(guī)定自然數(shù)集滿足下列五條公理，這里“集合”、“含有”、“自然數(shù)”、“后粥”等是不加定義的。

①是自然數(shù)。

②不是任何其他自然數(shù)的后繼。

③每個自然數(shù)都有一個后繼（a的后記為）

④a／＝b／蘊含a＝b

從上述公理出發(fā)，可以定義加法和乘法，它們滿足交換律與結(jié)合律，加法與乘法滿足分配律。