連續(xù)型隨機(jī)變量的隨機(jī)抽樣有兩種情況：一是當(dāng)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)的反函數(shù)可以用顯式表示時(shí)，可以采用直接抽樣方法；二是當(dāng)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)的反函數(shù)不能用顯式表達(dá)時(shí)，可以用舍取抽樣方法。

7.4.1 直接抽樣方法

所謂直接抽樣方法是建立在下述定理基礎(chǔ)上的。

定理：設(shè)隨機(jī)變量ξ具有單調(diào)遞增連續(xù)分布函數(shù)F（x），則z=F（ξ）是[0，1]上均勻分布的隨機(jī)變量。

證：因F（x）是概率分布函數(shù)，則F（x）在[0，1]上取值。又F（x）是單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，所以，當(dāng)ξ在[-∞，x]內(nèi)取值時(shí)，隨機(jī)變量Z則在[0，F(xiàn)（x）]上取得值。因而，當(dāng)Z在[0， 1]上取得一個(gè)值z(mì)時(shí)，至少有一個(gè)x滿足

z=F（x）=p{ξ≤x} （7-41）

由上式取反函數(shù)得

x=F-1（z）（7-42）

用F1（z）表示隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)，根據(jù)定義有

F1（z）=P{Z≤z} （7-43）

則

F1（z）=P{F（ξ）≤z}=P{ξ≤F-1（z）} （7-44）

將式（7-42）代入上式，有

F1（z）=P{ξ≤x} （7-45）

又Z在[0，1]上取值，則

上式即是在[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)。定理由此得證。

由上述定理得知，若z為[0，1]上均勻分布的隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）為某一隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)，且單調(diào)遞增連續(xù)，則

ξ=F1（z）（7-47）

是以F（x）為分布函數(shù)的隨機(jī)變量。這樣，就可以用均勻分布隨機(jī)抽樣產(chǎn)生ξ的抽樣。

例7.2 產(chǎn)生[a，b]上均勻分布的隨機(jī)變量ξ的隨機(jī)抽樣值。

解：ξ的分布函數(shù)F（x）為

則有

解得

ξ=F-1（z）=（b-a）z+a

將z的隨機(jī)抽樣值η代入上式，即可求出分布函數(shù)為F（x）的隨機(jī)變量ξ的隨機(jī)抽樣值XF（ξ）：

XF（ξ）=F-1（η）=（b-a）η+a

7.4.2 舍取抽樣法

當(dāng)有的分布函數(shù)的反函數(shù)不存在顯式或是不容易求出時(shí)，可以采用舍取法進(jìn)行抽樣。這種方法的實(shí)質(zhì)是從許多隨機(jī)數(shù)序列中選取一部分，使之成為具有給定分布的隨機(jī)抽樣值。那么，哪一些可舍，哪一些該取呢？

設(shè)隨機(jī)變量在有限區(qū)間[a，b]上取值，其分布密度函數(shù)在[a，b]上有限，即

f（x）≤f0 （7-48）

又f（x）定義于[a，b]區(qū)間，故有

這種情況如圖7-3所示，在[a，b]范圍內(nèi)，曲線f（x）以下的面積R為1。顯然，要抽取的隨機(jī)變量可以理解為是分布在橫軸上的，問題也可以直觀地理解為橫軸上哪一點(diǎn)的函數(shù)值越大，哪一點(diǎn)被抽到的概率也就越大。這就意味著在如圖7-3所示的面積R中（陰影中）進(jìn)行均勻隨機(jī)投點(diǎn)，就可以獲得ξ的隨機(jī)抽樣值。在投點(diǎn)過程中，落入R中的則取，落到R外的則舍，這是唯一的原則。

圖7-3 舍取抽樣

設(shè)投點(diǎn)值用S（x′，f′）表示，為了進(jìn)行隨機(jī)均勻投點(diǎn)，可取兩隨機(jī)數(shù)列：{η1}，{η2}。則

x′=（b-a）η1+a（7-49）

若

f′=f0η2（7-50）

f′＜f（x′）（7-51）

或

f0η2＜f[（b-a）η1+a]（7-52）

成立，則說明點(diǎn)S（x′，f′）是落在R中的，x′即為所求的ξ的隨機(jī)抽樣值XF（ξ）：

XF（ξ）=x′=（b-a）η1+a（7-53）

否則說明點(diǎn)S（x′，f′）在面積R之外，應(yīng)予以舍去。另取一組η1、η2，并看其是否滿足式（7- 51）或式（7-52），繼續(xù)作假設(shè)試驗(yàn)。由此可以得到服從分布密度函數(shù)為f（x）的隨機(jī)變量ξ的隨機(jī)抽樣序列。表7-6是常見分布隨機(jī)變量的抽樣公式。

表7-6 常見隨機(jī)變量的抽樣公式

以上是在假定ξ是在有限區(qū)間[a，b]內(nèi)取值的情況下進(jìn)行的。如果ξ不是在有限區(qū)間內(nèi)取值，那么，總可以選擇某一個(gè)有限區(qū)間[a1，b1]，且

式中ε是任意小的正數(shù)。

然后，再利用上述方法在[a1，b1]內(nèi)進(jìn)行抽樣，即可得到所需的隨機(jī)抽樣序列。

由上述方法可以看到，在舍取抽樣的諸多投點(diǎn)中，有許多投點(diǎn)是舍去的。因而，在舍取抽樣中存在著一個(gè)效率問題。對(duì)舍取抽樣的效率B可以用下式來加以定義：

B=n/N（7-54）

式中：N為進(jìn)行隨機(jī)投點(diǎn)的總次數(shù)；n為S點(diǎn)落入R之中的次數(shù)。

由于隨機(jī)投點(diǎn)是在以b-a為長(zhǎng)，f0為高的矩形（見圖7-3）中均勻進(jìn)行的，因而，當(dāng)N足夠大時(shí)，有顯然，B也表示每一次隨機(jī)投點(diǎn)落入面積R之中的概率。不同的隨機(jī)變量具有不同的密度分布函數(shù)f（x），a、b和f0也可能取不同的值。用舍取法進(jìn)行隨機(jī)抽樣時(shí)可以用B值來衡量其各自的抽樣效率。

例7.3 設(shè)隨機(jī)變量ξ具有分布密度函數(shù)：

求其舍取抽樣B。

解：

由式（7-55）有