數(shù)學(xué)反常識

有哪些數(shù)學(xué)常識與人們的生活經(jīng)驗不符？

傅渥成

圣彼得堡悖論（St. Petersburg Paradox）：一場賭博游戲，大家投擲硬幣直至出現(xiàn)正面為止，一共投擲的非正面的次數(shù)假設(shè)為 N，則可以贏得 2^N 元的獎金，那么你愿意投入多少錢來參加這個游戲？實際上參加這個游戲你能贏到的錢的期望是多少？

通過分析可以知道，實際上你贏錢的期望值是巨大的。那么如果真的有這樣一個提供這種游戲的賭場，為了使賭場不至于虧本，公平起見，你也應(yīng)該投入很多的錢來玩這個游戲。可是我們的直覺都會告訴我們，即使是來參加一場「公平」的賭博，那也不應(yīng)該投入太多的錢來參加這個游戲，甚至有心理學(xué)的統(tǒng)計表明，大多數(shù)人從直覺上考慮，會覺得投入 2~4 塊左右的錢來玩這個游戲才是比較公平的。考慮邊際效益遞減，這種「錯誤」或許反而是「理性的勝利」。不管怎樣，這個問題分析得到的結(jié)果很可能與你的最初直覺違背。更多的分析請參考維基百科條目「圣彼得堡悖論」。在這個悖論的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了效用函數(shù)（Utility）的理論。

Monty Hall 三門問題：「參賽者會看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？」

這個問題也是被說爛了的，換門后會大大增加中獎概率，但這與直覺會相違背。條件概率的有關(guān)問題在日常生活中經(jīng)常容易犯錯，我們自己在某種賭博中連續(xù)輸了好幾次之后總是安慰自己，「我靠，連續(xù)輸這么多次了，下次怎么也不可能再輸了吧」；又或者那種笑話「自己帶一個炸彈上飛機」；再例如考試常考的「已知老王家有一個兒子，那么他再生一個兒子的概率是多少？」我們自己常常會在這些事情上犯錯。

最短的路徑的修建（Steiner 樹問題）：如果希望連接正方形上四個頂點處的四個城市，怎樣修建公路可以使得總路徑最短？你能「直覺」想到想到如下圖所示的結(jié)果嗎？（最優(yōu)解時，角 AEB = 120°，在邊長 a=1 的情況下，總路線長度將小于對角線式的連接方式，計算可得： L = 1+sqrt(3) = 2.732 < 2sqrt(2) = 2.828）。

數(shù)學(xué)上還有很多很多這樣的例子：以為很簡單的問題其實是很難的難題；有時候做著做著就忘了某些定理成立的條件；一些看似簡單的方程卻存在一些奇特的解的形態(tài)，不考慮條件概率和 Bayesian 定理從而相信各種偽科學(xué)……說得極端點，在受過教育之前，我們對數(shù)學(xué)幾乎完全沒有可以天生的直覺，幾乎（這個「幾乎」也可以看成是數(shù)學(xué)用語^_^）只要一出手就會錯。我們會很難相信奇數(shù)跟整數(shù)一樣多，整數(shù)跟有理數(shù)一樣多（ Hilbert 旅店問題），無窮長的周長可以圍著有限的面積，關(guān)聯(lián)不意味著因果，調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，甚至邏輯上的逆命題、否命題、逆否命題……所有這些都只有在稍稍經(jīng)過訓(xùn)練之后才有可能出現(xiàn)這種「直覺」。

討論這些東西相關(guān)的參考書也有很多很多，隨手寫幾本：

對「偽心理學(xué)」說不 (豆瓣)

統(tǒng)計數(shù)字會撒謊 (豆瓣)

啊哈！原來如此 (豆瓣)

啊哈，靈機一動 (豆瓣)

2013-11-18