邊際收益和需求價格彈性

生產者在決策過程中，是要尋求目標函數的最優(yōu)化(目標函數可以是利潤、收益、成本，甚至是員工滿意度)，優(yōu)化決策中常用的方法就是邊際分析，即生產者采取某種管理行動后，某一經濟變量在一定范圍內變化，生產者要確定這一行動能否使最大化問題的值進一步增大，或者最小化問題的值進一步減少。如果這種變化趨勢滿足了生產者的要求，那么，我們就可以在這一方向進一步調整，逐步使目標函數達到極值。例如，生產者擬增加產量，就要考慮產量增加后，增加的成本和增加的收益，當增加的成本大于增加的收益時，生產者就不應當增加產量，反而通過減少產量能提高利潤。這里所說的增加的收益，就是邊際收益(marginal revenue，MR)概念。

邊際收益是指增加一個單位某種產品的銷售量所帶來的總收益的變化量。如果用ΔTR表示總收益的變化量，ΔQ表示銷售量的變化量，則邊際收益的定義式為：

在上式中，后面的部分是用導數的形式表示的，即總收益函數對銷售量求一階導數可得。

當需求函數是線性的情況下，其函數形式為P＝a＋bQ，在以價格為縱軸，產量為橫軸時，該線性需求曲線與縱軸相交于A點，與橫軸相交于B點(如圖3.3所示)，則總收益TR＝PQ＝aQ＋bQ²，可得邊際收益MR＝a＋2bQ，由此，邊際收益曲線也是線性的，其斜率是需求曲線斜率的2倍，與縱軸的交點也是A點，而與橫軸的交點C正好位于OB線的中點。

圖3.3　線性需求曲線和邊際收益曲線

在實踐中，邊際收益、價格與需求價格彈性之間的關系相當重要。例如，當廠商實施差別價格時，就可以根據這一關系制定在不同的細分子市場上的價格策略，詳細內容將在后面闡述，這里主要推導這三者之間的關系。

這一關系可以用對總收益函數求導數的辦法得到，也可以用差分形式推導。

設廠商面對的需求函數為：

Q＝f P()

則廠商總收益為：

廠商的邊際收益是總收益對產量的一階導數，可得：

TR＝P×Q＝f P()P

令E_d為需求的價格彈性系數，則有：

代入上式，可得：

上述推導是在存在連續(xù)可導的需求函數的情形下，當只有幾組價格和需求量數據的情形下，可以用另一種方法近似地指導出上述關系。

設當價格為P₁時，需求量為Q₁，價格變化為P₂時，需求量為Q₂，可得ΔP＝

P₂－P₁，ΔQ＝Q₂－Q₁，即P₂＝P₁＋ΔP，Q₂＝Q₁＋ΔQ，當然由于價格與需求量呈反方向變化，ΔP和ΔQ的值為一正一負，降價時ΔP為負，ΔQ為正；反之，提價時ΔP為正，ΔQ為負。

廠商在價格變化前的總收益TR₁為：

TR₁＝P₁·Q 1

價格變化后的總收益TR 2為：

TR₂＝P₂·Q 2

則邊際收益MR為：

由上面的邊際收益、價格和需求價格彈性的關系式，結合圖3.4，邊際收益可為正、為零、為負，相對應，線性需求曲線上任意一點的彈性值不相同。在線性需求曲線的中點彈性等于1，為單元彈性；中點以上部分任何一點的彈性系數大于1，為富有彈性；中點以下部分任何一點的彈性系數小于1，為缺乏彈性。特別地，在邊際收益與需求曲線在縱軸的交點(A點)，彈性系數等于無窮大，為完全富有彈性。需求曲線與橫軸的交點(B點)，彈性系數等于零，為完全無彈性。

圖3.4　線性需求函數、邊際收益和需求價格彈性的關系

這一點從需求價格彈性的定義式中也可得到，由于需求曲線是線性的，其斜率保持不變，而需求曲線上各點的位置是不同的，所以在各點上計算出來的點彈性系數也就是不同的。