第一節(jié)　數(shù)學證明的基本特征

在維特根斯坦的數(shù)學哲學思想中，數(shù)學證明問題占有非常重要的地位。他說：“數(shù)學哲學就是對數(shù)學證明的一種精確的研究，而不是用空想包圍數(shù)學?！保╲.4，p.344，§23）因此，無論在20世紀30年代所寫的《哲學評論》、《哲學語法》等著作中，還是在40年代所寫的《論數(shù)學的基礎(chǔ)》等著作中，他都用大量篇幅談?wù)摂?shù)學證明問題。

對于什么是數(shù)學證明，或者說，對于數(shù)學證明有哪些基本特征，維特根斯坦沒有作過系統(tǒng)的說明。不過，從他關(guān)于數(shù)學證明的論述中，可以看出他認為數(shù)學證明具有以下這些基本特征：數(shù)學證明必須是顯而易見的、確鑿無疑的、可重復的，數(shù)學證明具有規(guī)范性，它所顯示的是內(nèi)在關(guān)系，而不是外在關(guān)系，如此等等。

按照維特根斯坦的觀點，數(shù)學證明必須是顯而易見、一目了然的，這是數(shù)學證明的一個基本特征。他說：“證明必須是顯而易見的?！保╲.7，p.133，§55）“證明必須是一種顯而易見的程序。或者說，證明就是那種顯而易見的程序。”（v.7，p.121，§42）在證明過程中，我們往往要進行多次替換，相同的替換總是產(chǎn)生相同的結(jié)果，這是數(shù)學證明的明顯之處。如果不存在這種明顯之處，如果人們對這種替換產(chǎn)生懷疑，那么這種證明就會失敗。

在維特根斯坦看來，數(shù)學證明必須是確鑿無疑的。如果人們懷疑數(shù)學證明的正確性，那么這種證明就會失去作為指導者的作用。例如，當我們用一種計算驗證另一種計算時，通?？倳贸鱿嗤慕Y(jié)果。這就是說，證明包含有對于正確地再生產(chǎn)證明的公認標準。他說：“在懷疑表現(xiàn)為這是否真的是這個證明的圖式的地方，在我們決意懷疑證明的同一性的地方，證明就失去它的指導力量。因為證明對于我們是被用做度量的。”（v.7，p.109，§21）

維特根斯坦認為，數(shù)學證明之所以應(yīng)當是確鑿無疑的，是因為我們把數(shù)學證明看做語法規(guī)則，換句話說，正是由于數(shù)學證明被表現(xiàn)為語法規(guī)則，因此，凡是已經(jīng)得到證明的東西都應(yīng)當是確鑿無疑的。他說：“我要說，承認一個命題為確鑿無疑的，即意味著把它用做語法規(guī)則；這就去除了它的不確定性。”（v.7，p.118，§39）他還認為，證明使我們確信某些東西，但引起我們興趣的不是確信這種精神狀態(tài)，而是與這種確信相關(guān)聯(lián)的應(yīng)用。當我說“證明使我確信某些東西”時，表達這種確信的命題不必在此證明中構(gòu)造出來。例如，當我們做乘法時，并不需要用“…×…=…”這樣形式的命題把結(jié)果寫出來。因此，人們說，乘法使我們這么確信，而我們并沒有說出表達這種確信的語句。他說：“在數(shù)學中，我們確信語法命題；因此，這種確信的表達，即結(jié)果，就是我們接受一種規(guī)則。”（v.7，p.112，§26）

與此相關(guān)，數(shù)學證明的另一個重要特征是：數(shù)學證明必須是可重復的，也就是可以被再度一模一樣地生產(chǎn)出來。他說：“證明向我們表明應(yīng)該得出的東西。因為每一次重新作出的證明必定會顯示同樣的東西。所以，一方面它必定會自動地重新產(chǎn)生結(jié)果，而另一方面它必定也要重新產(chǎn)生得到這個結(jié)果的強制性?！保╲.7，p.132，§55）這就是說，我們重新得到的不僅是曾經(jīng)產(chǎn)生這種結(jié)果的條件，而且還有這個結(jié)果本身。或者說，一方面，我們必定會完全自動地重新得到這個證明，另一方面，這種重新產(chǎn)生必定還是對于結(jié)果的證明。

維特根斯坦還用另一種方式表達他的上述這個觀點。他說：“我們只把這樣的結(jié)構(gòu)叫做‘證明’，其再生產(chǎn)是一項輕易可解決的任務(wù)。必須可以確切地決定，我們實際上是否有兩次相同的證明。證明必須是圖像，它肯定可以準確地再生產(chǎn)。”（v.7，p.96，§1）這就是說，數(shù)學證明的本質(zhì)在于它肯定可以被準確地再生產(chǎn)出來，就像可以用兩種不同的顏色或筆畫把證明描繪出來那樣。不過，證明的再生產(chǎn)不應(yīng)屬于那種對于顏色或筆畫的準確復印，因為它所證明的是幾何學命題，而不是關(guān)于紙張、圓規(guī)、米尺、鉛筆等等的特性的命題。在這方面，他認為文字的證明優(yōu)于圖形的證明，因為圖形的證明的本質(zhì)常常被誤解，例如，歐幾里得證明的圖形可能是不精確的，這就是說，畫出的直線并非是真正的直線，畫出的圓形并非是真正的圓形，如此等等。

維特根斯坦還強調(diào)數(shù)學證明具有規(guī)范的性質(zhì)，他說：“證明使得我要說：它必須像這樣。”（v.7，p.114，§30）因為，數(shù)學證明的本質(zhì)在于把語法規(guī)則刻畫出來。他說：“在數(shù)學中，我們確信語法命題；因此，這種確信的表達，即結(jié)果，就是我們接受一種規(guī)則?！保╲.7，p.112，§26）換句話說，數(shù)學證明使某些語法慣例確立起來，這些慣例使命題像語法規(guī)則那樣發(fā)揮作用，數(shù)學證明就是命題語法的一部分。在這里，重要的是在那些構(gòu)成命題的基礎(chǔ)的概念之間形成一種內(nèi)在的關(guān)系。他說：“當我說，一個證明引入一個新概念，我的意思大致是這樣：對于語言的范例，證明提出了一種新范例。”（v.7，p.115，§31）這就是說，證明改變了我們語言的語法，改變了我們的概念，它產(chǎn)生了新的聯(lián)系，它創(chuàng)造了這些聯(lián)系的新概念。

維特根斯坦對證明的這種看法與傳統(tǒng)的“證明”概念有所不同。按照傳統(tǒng)的觀點，證明只不過是任何一系列用以得出定理的推論。維特根斯坦卻不是強調(diào)所采取的某些特定步驟，而是強調(diào)所形成的某些聯(lián)系。因此，我們不是根據(jù)某些特定的步驟把某些證明區(qū)別開來，而是根據(jù)這些證明是否構(gòu)成同樣的規(guī)則而把它們區(qū)別開來。他說：“‘如果兩個證明使我確信的東西相同，那么這兩個證明就是同一個?！鼈兪刮掖_信這些東西相同是在什么時候?我怎么知道它們使我確信的東西是相同的?當然不是通過內(nèi)省而知道的。有各種各樣的途徑使我接受這個規(guī)則。”（v.7，p.135，§58）例如，人們教導學生們利用各種輔助證明技巧去構(gòu)造歐幾里得幾何學證明。按照傳統(tǒng)的觀點，我們認為利用這些不同的技巧對同一個命題所作的證明是不同的；而按照維特根斯坦的觀點，我們在這種情況下作出的是同一種證明，盡管其外貌有所不同。

維特根斯坦認為，人們在證明中通過種種努力獲得一些認識，這些認識在所得出的最后命題中被表述出來。此時，這些認識不依賴于證明，它們被獨立地使用，沒有證明附著于它們。換句話說，人們在證明過程中通過種種努力作出一些決定，證明把這些決定納入一個決定系統(tǒng)之中，也就是置入一個規(guī)則系統(tǒng)之中。他說：“由證明而形成的命題被用做規(guī)則，并因此而被用做范型。因為我們按規(guī)則行動?！保╲.7，p.113，§28）證明不僅使我們按規(guī)則行動，而且它還向我們說明我們應(yīng)該如何按規(guī)則行動。他說：“我認為證明的作用在于使人們投入新的規(guī)則中去?！保╲.7，p.179，§36）如果一個命題在應(yīng)用時顯然不適合，那么證明必須向我們表明這個命題為什么不適合，必須怎樣才能適合，這就是說，我們必須怎樣使這個命題與經(jīng)驗相適合。因此，證明也是對規(guī)則用法的一種說明。他說：“數(shù)學命題具有雙重特征——它是定律，也是規(guī)則?！保╲.7，p.172，§21）

維特根斯坦強調(diào)數(shù)學證明所顯示的必須是內(nèi)在關(guān)系，而不是外在關(guān)系。他說：“數(shù)學證明所顯示的東西將作為內(nèi)在關(guān)系建立起來，不再受到懷疑?！保╲.7，p.279，§6）對于內(nèi)在關(guān)系與外在關(guān)系之間的區(qū)別，他作了這樣的說明：“人們可以說，內(nèi)在關(guān)系處于事物的本質(zhì)之中。內(nèi)在關(guān)系絕不是處于兩個事物之間，但你可以稱之為一種處于兩個概念之間的關(guān)系。一個論述兩個對象之間的關(guān)系的語句，例如一個數(shù)學語句，并沒有描述某些對象，而是構(gòu)造一些概念。”^[1]

維特根斯坦有時把數(shù)學證明稱為“形式檢驗”。在他看來，數(shù)學證明對數(shù)學命題作出某種排列，把某種聯(lián)系賦予這些命題，可以說數(shù)學證明是一種形式檢驗途徑?！靶问綑z驗”概念以“變形規(guī)則”概念為前提，從而也以“技巧”概念為前提。因為，只有借助于技巧，我們才能把握規(guī)律性。例如，為了看出把某些數(shù)加在一起是否得出1000，人們肯定把這種加法稱為對數(shù)字符號的形式檢驗。不過，只是在這種加法是一種實際技巧的情況下。因為，如果不是如此，那就不能把這個程序稱為檢驗。他說：“證明僅僅在變形技巧的范圍內(nèi)才是一種形式檢驗?！保╲.7，p.227，§1）又說：“證明是檢驗的途徑。只有當我們把結(jié)果理解為形式命題的結(jié)果時，檢驗才是形式檢驗?！保╲.7，p.228，§2）