生日悖論

這是最著名的“似非而是的悖論”之一。不同于前兩個(gè)例子，這種悖論不?；ㄕ?，沒有邏輯推理上的謬誤，也不使用敘述上的障眼法。我必須強(qiáng)調(diào)，不論讀者是否相信其解答，它在數(shù)學(xué)與邏輯上都是完全正確的，并且具有一致性。這種面對問題的挫敗感在某種程度上提高了破解此悖論的樂趣。

以下是生日悖論的表述：

你認(rèn)為房間里至少要有多少人，才能讓其中任意兩人同一天生日的概率超過一半——也就是說，任意兩人生日相同的概率比不同來得高？

先讓我們運(yùn)用直觀的常識（當(dāng)然稍后會(huì)證明是錯(cuò)的）。一年有365天，可以想象成大講堂里有365個(gè)空座位。 100位學(xué)生進(jìn)入講堂，每個(gè)人隨機(jī)選了一個(gè)座位。有些人可能想跟朋友坐在一起；有些人喜歡最后一排的隱蔽性，讓他們可以在課堂中打瞌睡不被發(fā)現(xiàn)；較多學(xué)生則選擇離講臺較近的位置。不過他們坐在哪里并不重要，因?yàn)槌^三分之二的座位仍然空著。當(dāng)然，沒有學(xué)生會(huì)去坐已經(jīng)有人的座位，而我們總覺得講堂里有這么多座位，兩位學(xué)生搶同一個(gè)位置的機(jī)會(huì)相當(dāng)微小。

如果將這種常識性的思維方式應(yīng)用到生日問題上，我們可能會(huì)認(rèn)為，在可選的生日與座位一樣多的情況下，這100位學(xué)生當(dāng)中任何人跟別人同一天生日的機(jī)會(huì)也一樣微小。當(dāng)然，難免有少數(shù)一起過生日的死黨，但我們覺得發(fā)生的可能性比不發(fā)生來得低。

如果換成一群為數(shù)366人的學(xué)生（先不管閏年），很自然地，不須多作解釋就很清楚，我們可以確定至少有兩個(gè)人生日在同一天。當(dāng)學(xué)生人數(shù)逐漸減少，情況卻開始變得有趣起來。

以下所述也許會(huì)讓讀者感到不可思議——事實(shí)上，房間里只需要57個(gè)人，就可以讓任意兩人同一天生日的概率超過99％。也就是說，只要57個(gè)人，就幾乎能確定其中有兩個(gè)人同一天生日！這個(gè)答案聽起真是令人難以置信。若只針對問題來回答，任意兩人生日相同的可能性比不同還高（也就是概率超過一半）所需的人數(shù)則遠(yuǎn)低于57。事實(shí)上，只要23個(gè)人就足夠了！

多數(shù)人初次聽到這個(gè)答案莫不大吃一驚，甚至在確認(rèn)過解答的正確性之后依舊感到渾身不自在，這在直覺上的確太令人難以接受了。我們接著來詳細(xì)探討其中的數(shù)學(xué)，我會(huì)盡可能將它說清楚。

我們首先假定一些預(yù)設(shè)條件，盡量使問題簡化：排除閏年、一年中每一天作為生日的概率都相同、房間里沒有雙胞胎。

許多人所犯的錯(cuò)誤在于，他們認(rèn)為這個(gè)問題是兩個(gè)數(shù)字之間做比較：房間里的人數(shù)與一年中的天數(shù)。由于共有365天可作為這23人的生日，避開彼此生日的機(jī)會(huì)似乎遠(yuǎn)比撞在一起來得高。但是這種看待問題的方式卻造成誤導(dǎo)。試想，為了能讓兩個(gè)人的生日在同一天，我們需要的是成對的人，而非單獨(dú)的個(gè)體；因此應(yīng)該考慮的是不同配對方式的總數(shù)。首先從最簡單的狀況出發(fā)：如果只有三個(gè)人，那么總共有三種不同的配對：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ｂ—Ｃ。若是四個(gè)人，配對的可能性增加到六種：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ａ—Ｄ，Ｂ—Ｃ，Ｂ—Ｄ，Ｃ—Ｄ。當(dāng)總?cè)藬?shù)達(dá)到23人時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)總共有253種不同的配對方式[1]。到這里讀者是否發(fā)現(xiàn)，相較于原本的答案，要相信這253種雙人組合其中一組的生日剛好是365 個(gè)日期之一，是否變得簡單多了呢？

計(jì)算這個(gè)概率的正確方法是：從一組配對開始，逐漸增加人數(shù)，并且觀察生日相同的概率如何變化。這個(gè)方法的訣竅在于，我們直接計(jì)算的并非新加入者與別人一同過生日的概率，而是避開所有其他人生日的概率。如此一來，第二個(gè)人避開第一個(gè)人生日的概率就是364÷365，因?yàn)樗梢栽谝荒曛蓄^一個(gè)人生日以外的任何一天出生。第三人與前兩人生日錯(cuò)開的概率是363÷365。然而別忘了前兩人仍得避開同一天生日（有364÷365的機(jī)會(huì)）；在概率論里，如果我們想知道兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，就得將第一個(gè)事件出現(xiàn)的概率乘上第二個(gè)事件的概率。因此，第二人避開第一人生日，以及第三人同時(shí)避開前兩者生日的概率，就是：（364／365）×（363／365）＝ 0.9918。最后，如果以上結(jié)果是三個(gè)人生日完全錯(cuò)開的概率，那么其中任意兩人生日相同的概率就是1－0.9918 ＝ 0.0082。在只有三個(gè)人的情況下，生日出現(xiàn)在同一天的機(jī)會(huì)非常微小，正如讀者所預(yù)期。

接著繼續(xù)進(jìn)行相同的步驟——逐一增加人數(shù)，建立一串連乘的分?jǐn)?shù)算出所有人錯(cuò)開彼此生日的概率，直到總乘積低于0.5 （也就是50％）為止。這時(shí)候就會(huì)得到任意兩人生日相同概率超過50％所需的人數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)，只需要22個(gè)分?jǐn)?shù)連乘就可以讓總乘積小于0.5，也就是23個(gè)人：

←23個(gè)分?jǐn)?shù)連續(xù)相乘→

于是房間里任意兩人生日在同一天的概率便為：

1－0.4927 ＝ 0.5073 ＝ 50.73%

解開這個(gè)難題需要一些概率論的知識。相較之下，下一個(gè)悖論就某些方面來說較為淺顯易懂，而我認(rèn)為這點(diǎn)更令它顯得不可思議。這是我最喜歡的“似非而是的悖論”，因?yàn)樗年愂鍪侨绱撕唵?，如此容易解釋，卻又難以透徹理解。