在金屬中運動的自由電子、原子核中的質(zhì)子等，它們的運動都被限制在一個很小的空間內(nèi)，經(jīng)近似和簡化后，抽象出一維無限深勢阱模型。一維無限深勢阱模型是解釋金屬物理性質(zhì)的基礎。

設在一維空間運動的粒子，其勢能函數(shù)為

其勢能曲線如圖18－3－1所示，故稱為一維無限深勢阱。粒子只能在寬度為a的兩個無限高阱壁之間自由運動。

圖18－3－1 一維無限深勢阱

（1）根據(jù)給定的勢能函數(shù)列出定態(tài)薛定諤方程。

在勢阱外（x≤0，x≥a）：

在勢阱內(nèi)

（2）求定態(tài)薛定諤方程的通解。

在勢阱外，U（x）＝∞，從而ψ（x）＝0。ψ（x）＝0表示勢阱無限高時，能量有限的粒子不可能出現(xiàn)在勢阱外。

在勢阱內(nèi)，將式（18－3－3）變形得

令k2＝，則有

上述微分方程的通解為

式中，A、k、δ為三個待定系數(shù)，需要三個約束條件來確定。

（3）利用波函數(shù)的標準條件和歸一化條件來確定通解中的待定系數(shù)。

根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性條件，在x＝0和x＝a處波函數(shù)連續(xù)。

當x＝0時，ψ（x）＝0，可得Asinδ＝0，即δ＝0。

當x＝a時，ψ（x）＝0，可得Asinka＝0，此時不能取A＝0，否則波函數(shù)只能得到零解，那么只有sinka＝0，從而得出ka＝nπ（n＝1，2，3，…），即

勢阱內(nèi)粒子的波函數(shù)為

其中n只取正整數(shù)，n＝0時，ψ≡0，無物理意義；n取負整數(shù)時不能給出新的量子態(tài)。

根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件（粒子在勢阱內(nèi)出現(xiàn)的總的概率為1）可求得歸一化系數(shù)A。

解之得

這樣勢阱內(nèi)粒子的定態(tài)波函數(shù)為

所對應的定態(tài)能量為

式中，n稱為能量量子數(shù)，可取不同的值，分別對應不同的定態(tài)；En是粒子處于ψn態(tài)時的定態(tài)能量。通常，ψn（x）稱為能量本征函數(shù)，En稱為能量本征值，粒子所處的狀態(tài)稱為能量本征態(tài)。

由此可見，在一維無限深勢阱中運動的粒子的能量只能取一些分立的能級，即能量是量子化的。能量最低的態(tài)為基態(tài)，能量較大的態(tài)為激發(fā)態(tài)。

當n＝1時，粒子處于能量最低的基態(tài)，基態(tài)能量為

這一能量也稱為零點能，零點能E1≠0，表明束縛在勢阱中的粒子不會靜止。

另外，勢阱中粒子處于各能級的概率密度為

圖18－3－2為對應于能量本征值E1、E2、E3和E4的波函數(shù)以及相應的概率密度。

圖18－3－2 一維無限深勢阱中粒子的波函數(shù)和概率密度