在黏性流體中取一邊長(zhǎng)為d x,d y,d z的長(zhǎng)方體,各表面應(yīng)力的方向如圖5-11所示。以平面ABCD為例,作用在平面上的應(yīng)力有法向應(yīng)力p zz與切向應(yīng)力τzx和τzy。圖中各應(yīng)力的值均為代數(shù)值,正值表示應(yīng)力沿相應(yīng)坐標(biāo)軸的正方向,反之亦然。由于流體不能承受拉力,因此p xx,p yy,p zz必為負(fù)值。由牛頓第二定律,x方向的運(yùn)動(dòng)微分方程如下

圖5-11　表面應(yīng)力示意圖

化簡(jiǎn)后,得這就是以應(yīng)力表示的黏性流體運(yùn)動(dòng)微分方程式。式中ρ對(duì)于不可壓縮流體是已知常量,通常單位質(zhì)量力X、Y、Z也是已知量。九個(gè)應(yīng)力和三個(gè)速度分量是未知量。式(5-30)中的三個(gè)方程加上連續(xù)性方程共四個(gè)方程,不足以解這十二個(gè)未知量,需要補(bǔ)充關(guān)系式,使方程組封閉,這些封閉條件就是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中所謂的本構(gòu)方程,即下面所述的應(yīng)力和變形速度的關(guān)系式。

三元流動(dòng)的牛頓黏性定律及法向應(yīng)力的理論推導(dǎo)比較復(fù)雜,這里僅給出其結(jié)論,具體推導(dǎo)可參見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)。根據(jù)三元流動(dòng)的牛頓黏性定律,切應(yīng)力可以寫(xiě)成如下形式

由于兩個(gè)相互垂直面上的角變形速度相同,所以它們的切應(yīng)力相等。對(duì)于三元流動(dòng),法向應(yīng)力p xx,p yy,p zz可表示為

式(5-31)可以消去式(5-30)中的六個(gè)變量,式(5-32)中三個(gè)法向應(yīng)力變換為一個(gè)壓強(qiáng)函數(shù)p,進(jìn)一步減少了兩個(gè)變量,這樣方程(5-30)的未知數(shù)只剩下四個(gè),與方程的個(gè)數(shù)相等,原則上已可求解了。

在將牛頓流體本構(gòu)方程應(yīng)用于建立流動(dòng)微分方程之前,有必要首先對(duì)牛頓流體本構(gòu)方程本身進(jìn)行一些討論,以對(duì)前面各章涉及的相關(guān)問(wèn)題或概念作出回應(yīng),同時(shí)也有助于增進(jìn)對(duì)流動(dòng)過(guò)程中流體變形速率、應(yīng)力、壓力等有關(guān)概念的理解。

(1)正應(yīng)力與線變形率　由牛頓流體本構(gòu)方程可見(jiàn),流體正應(yīng)力由兩部分構(gòu)成:一部分是流體靜壓力產(chǎn)生的正應(yīng)力(壓應(yīng)力-p);另一部分是黏性流體運(yùn)動(dòng)變形所產(chǎn)生的正應(yīng)力(拉伸或壓縮應(yīng)力),且僅與流體的線變形速率即有關(guān)。其中,如在x方向,流體流動(dòng)變形產(chǎn)生的正應(yīng)力包括:,前者反映x方向線應(yīng)變率的貢獻(xiàn),而后者反映其他方向線應(yīng)變率的貢獻(xiàn)。流體正應(yīng)力與線變形率相關(guān)這一性質(zhì),與虎克定律中固體正應(yīng)力僅與線應(yīng)變相關(guān)是類(lèi)似的。

如果將黏性流體運(yùn)動(dòng)變形所產(chǎn)生的正應(yīng)力稱(chēng)為附加黏性正應(yīng)力,或簡(jiǎn)稱(chēng)為附加正應(yīng)力,并用Δp xx、Δp yy、Δp zz分別表示x、y、z方向的附加正應(yīng)力,即

則直角坐標(biāo)系流場(chǎng)中任一點(diǎn)的正應(yīng)力p可表示為

(2)附加正應(yīng)力與流體流動(dòng)　為進(jìn)一步闡明附加黏性正應(yīng)力的物理意義,不妨考察流,故根據(jù)式(5-33)有體只沿x方向流動(dòng)的情況。此時(shí),Δ

由此可見(jiàn),附加黏性正應(yīng)力的產(chǎn)生是流體速度沿流動(dòng)方向的變化所導(dǎo)致的。加速時(shí),所以Δp xx>0;減速時(shí),所以Δp xx<0。物理意義上,因?yàn)榧铀贂r(shí)同方向一前一后兩流體質(zhì)點(diǎn)將處于分離趨勢(shì),流體線的變形為拉伸變形,故由此產(chǎn)生的附加黏性正應(yīng)力為拉應(yīng)力(正);反之,減速時(shí)同方向一前一后兩流體質(zhì)點(diǎn)將處于擠壓趨勢(shì),流體線的變形為壓縮變形,故由此產(chǎn)生的附加黏性正應(yīng)力為壓應(yīng)力(負(fù))。

如果加速過(guò)程中線變形率很大,使得Δp xx=p,則流體將發(fā)生分離,失去連續(xù)性,故對(duì)于連續(xù)的真實(shí)流體,總有p xx=-p+Δp xx≤0,即不承受拉應(yīng)力。特別地,如果該流動(dòng)是等速的,即=0,則必然有Δp xx=0。

(3)正應(yīng)力與靜壓力　由p xx=-p+Δp xx可知,流體靜止條件下,因Δp xx=0,所以p xx=-p。由此得到一般性結(jié)論:靜止條件下流體的正應(yīng)力數(shù)值上等于流體靜壓力p,且為壓應(yīng)力,即

p xx=p yy=p zz=-p　　　　　(5-35)

但對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體,因附加黏性正應(yīng)力的存在,其正應(yīng)力一般不等于流體靜壓力。對(duì)于附加黏性正應(yīng)力Δp xx>0、Δp xx<0、Δp xx=0三種情況,相應(yīng)有|Δσxx|<p、|Δσxx|>p、|Δσxx|=p。但如果將牛頓流體本構(gòu)方程式(5 -32)中三個(gè)正應(yīng)力相加,因?yàn)閜 x x+p yy+ p zz=0,所以有

這說(shuō)明,雖然運(yùn)動(dòng)流體的三個(gè)正應(yīng)力在數(shù)值上一般不等于壓力值,但它們的平均值卻總是與靜壓力大小相等。

特別地,對(duì)于不可壓縮流體的一維流動(dòng),設(shè)流動(dòng)沿x方向,則因?yàn)閡 y=0、u z=0,且根據(jù)連續(xù)性方程又有,于是由本構(gòu)方程得:p xx=p yy=p zz=-p。這說(shuō)明不可壓縮流體作一維流動(dòng)時(shí),其流場(chǎng)中任一點(diǎn)的正應(yīng)力與靜止流體的情況一樣,都等于流體靜壓產(chǎn)生的壓應(yīng)力-p。這正是一維流動(dòng)分析中,在微元體表面上直接標(biāo)出壓力p作為法向表面力的原因。

將式(5-31)和式(5-32)代入式(5-30),就可將式(5-30)中的應(yīng)力消去。以其第一式為例得

整理得

對(duì)于不可壓縮流體,代入得到x方向的運(yùn)動(dòng)方程為

同理可得到y(tǒng)、z方向的運(yùn)動(dòng)方程,與x方向的運(yùn)動(dòng)方程一起組成方程組,有

這就是不可壓縮黏性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程,一般稱(chēng)為納維-斯托克斯方程(Navier-Stokes equation),簡(jiǎn)稱(chēng)N-S方程,是不可壓縮流體最普遍的運(yùn)動(dòng)微分方程。以上三式加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程

共四個(gè)方程,原則上可以求解方程組中的四個(gè)未知量,即流速分量u x,u y,u z和壓強(qiáng)p。

由于速度是空間坐標(biāo)x,y,z和時(shí)間t的函數(shù),式(5-37)中的加速度項(xiàng)可以展開(kāi)為四項(xiàng),例如

在流速分量u x對(duì)時(shí)間t求全微分時(shí),指的是某一任取的流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的微分,因此就是加速度,此時(shí)u x=u x(x,y,z,t)=u x[x(t),y(t),z(t),t]。這種描述方法是拉格朗日法,故函數(shù)中的變量x,y和z指的是該質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置坐標(biāo),因此是時(shí)間t的函數(shù),并非獨(dú)立變量。而式(5 38)右端的四項(xiàng)中的各項(xiàng)又是獨(dú)立變量x,y,z和t的函數(shù),是歐拉描述方法。這樣,式(5-38)就完成了對(duì)加速度分量d u x/d t的描述由拉格朗日法到歐拉法的轉(zhuǎn)換。式(5-38)中右邊第一項(xiàng)表示空間固定點(diǎn)的流速隨時(shí)間的變化(對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)),稱(chēng)為時(shí)變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣?后三項(xiàng)表示固定質(zhì)點(diǎn)的流速由于位置的變化而引起的速度變化,稱(chēng)為位變加速度,式(5-38)第二項(xiàng)中表示在同一時(shí)刻由于在x方向上位置不同引起的單位長(zhǎng)度上速度的變化,u x表示流體質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)在x方向上位置變化,因此兩者乘積,

表示流體質(zhì)點(diǎn)的流速分量u x在單位時(shí)間內(nèi)單純由于在x方向上的位移所產(chǎn)生的速度變化。

這樣,納維-斯托克斯方程又可寫(xiě)成

納維斯托克斯方程是流體力學(xué)中最有用的一組方程之一,它們可以用于建模天氣、洋流、管道中的水流、星系中恒星的運(yùn)動(dòng)、翼型周?chē)臍饬?也可以用于飛行器和車(chē)輛的設(shè)計(jì)、血液循環(huán)的研究、電站的設(shè)計(jì)、污染效應(yīng)的分析等。