第三講 如何測量地球的重量

↓1.物體的下落、物體之間的引力、鉛垂線往山的方向傾斜。

↓2.卡文迪許扭秤。

↓3.落體落向地球中心、雙架馬車。

↓4.引力與質(zhì)量成正比。

↓5.引力與距離平方成反比。

↓6.對上述定理的解釋。

↓7.引力的作用點是物體的重心。

↓8.牛頓、對重量的比較歸結(jié)為對降落距離的比較。

↓9.地球的重量、以立方分米來計量的平均重量、理性的杠桿。

↓1.把物體提到半空中，然后放開，使其自由下落，它們都會落回地球。在下落過程中，它們總是垂直落向地球，相對于水平面而言，它們既不偏向一邊，也不偏向于另一邊。它們總是垂直于地球，即順著鉛垂線的方向下落。若沿著它們下落的方向在地球上挖一個無底的井，那么井必定會經(jīng)過地球的中心。我們通過觀察可以得知，自由下落的物體在下落的第一秒里經(jīng)過的路程是4.9米。隨著物體的下落，速度會越來越快，所經(jīng)過的路程也增長得越來越快。這段所經(jīng)過的路程等于4.9米乘以兩次它所經(jīng)過的秒數(shù)，換言之，所經(jīng)過的路程等于4.9米乘以它所經(jīng)過的秒數(shù)平方。因此，在6秒中所經(jīng)過的路程等于4.966，即4.9乘以6的平方36。物體下落的原因是地球的引力。

物質(zhì)間相互吸引。這是所有物體中最普遍的性質(zhì)之一，我們稱之為引力。將兩個物體相對放置，不管它們間有多少距離，它們都會相互吸引、趨于靠近。如果我們?nèi)粘Ｋ姷降奈矬w，并沒有由于這一相互吸引的性質(zhì)而相互靠近，那是因為地球引力使得物體自身具有重量，從而把它們固定在了一定的位置上，地球?qū)ξ矬w的這種引力大于物體自身之間的引力。同時，物體自身間的引力被那些其他的阻力抵消掉了，比如空氣阻力、它們與所處之地的摩擦力等，故而它們就不能抗衡地球?qū)λ鼈兊囊?，于是就被地球的引力固定住了。但是，如果產(chǎn)生吸引力的那個物體具有很大的質(zhì)量，而被吸引的物體又有足夠的自由度，那么，這兩個物體間的吸引便可被觀察到。在平原上，鉛垂線的方向總是垂直于地面；但在大山的附近，它的方向就會稍微有所改變，球會略略偏向大山一側(cè)。這時，大山的引力是和地球的引力相抗?fàn)幍摹?/p>

↓2.通過下面的例子，我們可以觀察到一個物體是如何對另一個物體產(chǎn)生吸引力的。如圖20所示，一根兩米長的細(xì)棍BC，在它的中間O處用一根細(xì)繩吊起來，把細(xì)繩的另一端用夾子固定在A處。在木棍的兩端放置同等重量的兩個小球B和C。那么這兩個小球是平衡的，就像使天平秤的兩端重量相等而保持平衡一樣。這樣，木棍與球都會在水平面上處于靜止?fàn)顟B(tài)。我們在小球B的附近放置一個大的鉛球P，在小球C的附近放置同樣的一個鉛球R，使得鉛球R離小球C的距離與鉛球P離小球B的距離相等，如圖，此時BP等于CR。這時我們就可以看到，細(xì)棍BC會繞著懸垂的細(xì)繩AO轉(zhuǎn)動起來，兩個小球分別受到兩個鉛球的吸引而向這兩個鉛球靠近。它們朝著吸引它們的鉛球方向移動，但由于它們與鉛球間的引力很微弱，所以它們移動的速度很慢。而且它們并不是垂直落向吸引它們的鉛球的，即不是順著連接小球與鉛球中心的直線方向下落的。它們的下落軌跡是弧線，只有這樣的下落方向才與這套裝置相符。經(jīng)過精確的計算，我們就能從這套裝置中的弧線下落軌跡推算出，小球應(yīng)該是沿著直線下落的。

圖20

↓3.由于所有懸于半空然后放開的物體，它們都會落下來，這是因為地球會吸引它們，就像在上述實驗中大的鉛球吸引小球一樣。但這種吸引并不是由地球的某一部分作用的，而是由地球的所有部分共同作用的，也即上面部分與下面部分、左邊部分與右邊部分、表面的部分與內(nèi)里的部分一起作用的即地球這個整體。在所有這些引力中，每一個力都單獨作用于物體的一面，最終產(chǎn)生一種整體的吸引力，這種整體的吸引力決定了物體會向著地球的中心落去。

假設(shè)有一輛雙駕馬車，如果只有右邊的馬在拉車，那么這輛車就會傾向于右邊；而如果只有左邊的馬在拉車，那么車子就會傾向于左邊；如果兩匹馬同時向前拉，那么這輛車就會徑直往前走。這對于降落中的小球而言也是一樣的，因為我們總是可以想象地球被分成兩個等份：半個在左邊，半個在右邊。假設(shè)只有右半球?qū)ξ矬w施加吸引力，那么物體就會偏向右邊，反之則會偏向左邊。但是如果這兩個半球同時對物體施加吸引力或是整個地球施加整體的吸引力的話，那么物體就會落向中間，即向著地球中心落去。

↓4.現(xiàn)在我們回到圖20。小球B因為受到P的吸引力，從而向著這個鉛球靠近，向它落去，但由于這個吸引力很微弱，所以它的速度很緩慢。假設(shè)鉛球重100千克，小球在下落的頭一秒所經(jīng)過的路程是一毫米，這一毫米就是它向著吸引它的鉛球所移動的距離。如果鉛球是由密度更大的鉛鍛造而成的，那么結(jié)果會怎樣呢？如果其他一切因素都保持不變，而鉛球的質(zhì)量是原先的兩倍，即質(zhì)量變成了200千克，而不是100千克。那么很簡單，因為每一個產(chǎn)生吸引力的物體的每一點都作用在被吸引的物體上，這樣，產(chǎn)生吸引力的物體所含的物質(zhì)越多、越重、越密實，那么它所產(chǎn)生的吸引力就會越大。因此，在鉛球體積相同的情況下，一個重200千克的鉛球會使小球在下落的頭一秒所經(jīng)過的距離是2毫米，而100千克的鉛球使小球在下落的頭一秒所經(jīng)過的距離是1毫米。同樣的，一個小球向著一個鉛球落去，如果這個鉛球的體積與原來的相等，但是質(zhì)量是第一個鉛球的三、四倍，那么小球在頭一秒所經(jīng)過的距離也將會是三、四毫米。下面我們來說說地球，地球使得物體在下落的頭一秒所經(jīng)過的距離是4.9米，但若地球的體積不變，而所含的物質(zhì)是原先的兩倍或三倍，那么在同樣的時間內(nèi)地球所吸引的物體所下落的距離也將是原來的兩倍或三倍。我們將這一個結(jié)論普遍化，即引力與產(chǎn)生吸引力物體的物質(zhì)多少成正比。或者我們用更專業(yè)的術(shù)語來表述，即引力與質(zhì)量成正比。質(zhì)量在此指的是所含物質(zhì)的多少。

↓5.被吸引的物體距離產(chǎn)生吸引力的物體越遠(yuǎn)，吸引的力就會越弱，被吸引物體的下落速度也會變得越慢。因此，我們可以觀察到，從山頂上降落的物體比從平原上降落的物體下落的速度會更慢些。這樣，我們由此可以證明，地球的引力是隨著與地面距離的增加而減少的。那么，引力的減少是遵循著什么樣的規(guī)律的呢？這是我們接下來要研究的問題。

我們往前回到圖20。假設(shè)鉛球P的中心與其鄰近小球的中心之間的距離是一分米，或者更簡化些，如果小球很小，就可以把它看成一個點，即鉛球P的中心與該小球之間的距離是一分米。這時，鉛球P吸引小球，使其向著自己傾斜降落，在降落的頭一秒，小球經(jīng)過了一毫米的距離。現(xiàn)在我們將鉛球P往后移至原先兩倍遠(yuǎn)的距離，即鉛球P的中心離小球為兩分米。然后把鉛球R也作同等距離的移動，由此使得整套裝置對稱。在這樣的條件下，下落運動還是會發(fā)生，但是下落的速度會慢上四倍，并且在下落的頭一秒內(nèi)小球落向鉛球的距離是四分之一毫米。如果鉛球的中心離小球的距離拉大至三倍，那么下落的速度會慢上九倍，并且在下落的頭一秒內(nèi)小球落向鉛球的距離是九分之一毫米。因此，當(dāng)距離擴(kuò)大至兩倍時，在此我們不要忘記該距離總是從鉛球中心開始計量的，鉛球的吸引力是原先距離上所產(chǎn)生吸引力的四分之一。當(dāng)距離擴(kuò)大至三倍時，吸引力就會是原先的九分之一。你們一定要注意到，四是二的平方，而九是三的平方。因此，引力與距離的平方成反比。

↓6.為了讓大家更熟悉這條基本的定理，我們可以用圖來解釋引力，使得引力隨著距離的增加而減小這一規(guī)律變得更為直觀些。不過，你們一定要注意，不要把我將給你們所演示的看作一個證明，它只是一種闡釋方式，目的是為了在你們頭腦中留下點印象。

圖21

每個質(zhì)點都向著它周圍的各個方向施加它自身的引力。因此，我們用些帶著棘爪的細(xì)繩來表示從該質(zhì)點產(chǎn)生出來的各個方向的吸引力，就像圍繞一個光源而發(fā)射出來的光線所形成的光線網(wǎng)。這些棘爪會抓住任何出現(xiàn)在它們方向上的東西，并把這些東西拉向吸引中心。很明顯，施加的吸引力只取決于抓住物體的棘爪之?dāng)?shù)目，而跟沒抓住物體的棘爪完全沒關(guān)系。這也就是說，假設(shè)有一個吸引點A，它將吸引力作用于一個方形物體C上，如圖21所示。我們說，從點A起向著所有的方向都發(fā)射出密密麻麻的帶著棘爪的細(xì)繩，它們靠得很近，甚至?xí)嗷ヅ龅?。這些帶著棘爪的細(xì)繩會抓住它們所在方向上的一切東西，并且會將這些東西拉向發(fā)射的中心。對于方形物體C而言，它能接收到所有以A為頂點、并以該方形為底所構(gòu)成的空間內(nèi)的任何一束繩子。在離A點距離為AC兩倍的H處，為了接收到C所接收到的所有繩子，我們需要一個是方形物體C四倍大的物體。因此，我們?nèi)魧⒃瓉淼姆叫挝矬wC移到H處，即離A點距離為AC的兩倍處，那么它只能接收到原先四分之一的繩子，引力也就減少為原先的四分之一。同樣的，在離A點距離為AC三倍的K處，為了接收到原先所有的繩子，我們需要一個是原先方形物體C九倍大的物體。如果將方形物體C移至H處，那么它只能接收到原先九分之一的繩子，引力也就減少為原先的九分之一。隨著離A點的距離增大為原來的兩倍、三倍、四倍，那么方形物體C所受到的A點的引力也就會減少為原來的四分之一、九分之一、十六分之一。

↓7.在第五段中，我們提到過，所計算引力的距離指的是被吸引的質(zhì)點到產(chǎn)生吸引力的球的中心這段距離，現(xiàn)在我們就可以來解釋這是什么原因?qū)е碌?。我們首先來思考地球引力，我們將一個小球放在斯特拉斯堡大教堂高達(dá)142米的塔頂上，然后放開小球。由于受到地球所有質(zhì)點的引力作用，小球會向地球下落。然而，這些質(zhì)點離小球的距離并不相等。那些位于塔底的質(zhì)點與小球的距離只有142米，而位于地球內(nèi)部的質(zhì)點，離地球表面越遠(yuǎn)，它離小球的距離就越遠(yuǎn)。那些位于地球中心的質(zhì)點，它們離小球之間的距離是地球半徑的距離再加上142米。位于地球另一端的那些質(zhì)點，即位于地球直徑另一端的那些質(zhì)點，它們離小球之間的距離是兩個地球半徑再加上142米。另外，在中心直線之外，我們還會發(fā)現(xiàn)，聚集了無數(shù)個我們剛才所提到的質(zhì)點。它們要么在右邊，要么在左邊；要么在前邊，要么在后邊；要么靠近地球表面，要么離表面很遠(yuǎn)；要么離下落的物體近一些，要么離下落的物體遠(yuǎn)一些。每一個質(zhì)點都根據(jù)它與小球之間的距離對后者施加或多或少的吸引力。那么，怎樣從這些一個點到另一個點變化不等的眾多吸引力中，找到我們的結(jié)論呢？我們可以通過如下假設(shè)來得到結(jié)論：假設(shè)地球上所有的質(zhì)點到被吸引的物體間的距離都相等，該距離處于最短的距離和最長的距離之間，即處于142米與142米加上地球直徑的距離之間；我們再假設(shè)，所有的引力點都處于地球中心的位置上。由此可見，地球的上半部分有一半的質(zhì)點其引力都會變?nèi)?。這是因為，我們把這些質(zhì)點假設(shè)得離小球更遠(yuǎn)，以致它們實際上并不產(chǎn)生吸引力。而地球下半部分質(zhì)點的引力卻由此得到了同等程度的加強，這是因為我們同樣假設(shè)了它們與小球之間的距離變近了。由于地球是由兩個相對對稱的半球所構(gòu)成的一個球體，因此這兩種相反的引力相互抵消了。于是我們得到第三條定理：均勻散布于一個球上的所有質(zhì)點，當(dāng)它們一起作用于球外的一點時，它們就仿佛集中在球的中心一樣。因此，以后當(dāng)涉及一個球體所產(chǎn)生的引力時，我們不再關(guān)注距離的問題，不再關(guān)心從引力點到被吸引點之間的距離哪些更大哪些更小的問題。既然所有的引力點都像集中在球的中心那樣起著作用，那么就只有一個距離是需要我們考慮的，即從球的中心到被吸引的點之間的距離。

↓8.牛頓首先發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，他是受到人類尊敬的最偉大的天才之一。牛頓得出這樣的結(jié)論，并不是通過像剛才我為了讓自己理解而所做的那些初步而有失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎级玫降?；而是通過對那些建立在天文學(xué)事實上的最高級秩序進(jìn)行思考和實驗而得出的。我們在后面的章節(jié)中會有機會更緊密地沿著牛頓的思路來思考。

毫無疑問，你們會問到，這些規(guī)律都有什么用呢？牛頓發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律有什么價值呢？孩子們，這些規(guī)律是人類所認(rèn)識到的最美麗的東西，因為它們向我們解釋了世界的運作機理，它們把關(guān)于宇宙的神圣和諧問題轉(zhuǎn)變成為瑰麗的數(shù)學(xué)問題。為了讓你們窺見這些原理傳授給我們的知識與力量，我們將借助于它們來測量地球的重量。是啊，要去測量地球、測量這個我們無法想象其大小的巨球的重量，我們要把它放在牛頓定理的天平上來測出它的質(zhì)量，就像我們把它放在實際的標(biāo)有質(zhì)量刻度的天平上來用砝碼測量一樣。

引力與產(chǎn)生吸引力物體的質(zhì)量，即與其所含物質(zhì)的多少成正比。因此，在圖20中，我們把具有一定質(zhì)量的鉛球放在小球B前面時，它就會吸引這個小球，使其在一秒內(nèi)向它靠近一點距離；而如果我們將另一個質(zhì)量是其二倍、三倍、四倍的鉛球，放在同樣的距離上時，那么它就會使得小球在一秒內(nèi)向該鉛球移動二倍、三倍、四倍的距離。如果我們已經(jīng)知道第一個鉛球的質(zhì)量，那么，通過計算在同樣的時間內(nèi)第二個鉛球吸引小球移動距離是第一個鉛球吸引小球移動距離的多少倍，那么我們就可以得知第二個鉛球的質(zhì)量。由此，我們將兩個鉛球的質(zhì)量比轉(zhuǎn)化為：在同樣遠(yuǎn)處的兩個鉛球在同樣的時間內(nèi)分別吸引小球向自身移動所經(jīng)過的路程之比。那些使小球向自身移動兩倍、十倍距離的鉛球，它們也會比其他的鉛球重兩倍、十倍。

↓9.我們可以將同樣的推理過程應(yīng)用于地球。為了計算出地球的質(zhì)量是某個鉛球質(zhì)量的多少倍，我們只需知道，小球在地球引力下于一秒內(nèi)所下落的路程，是在該鉛球吸引下小球所移動距離的多少倍，而這兩種下落顯然都是在與產(chǎn)生吸引力物體的相同距離處發(fā)生的。下面我們再做一次圖20中所示的實驗。我們在小球B與小球C的前面、距離它們的中心一米處，各放置一個非常重的鉛球。那么小球就都會向其鄰近的鉛球移動，我們假設(shè)它們在移動的頭一秒內(nèi)所經(jīng)過的路程是一毫米。我們知道，當(dāng)小球與鉛球之間的距離是一米時，小球在下落的頭一秒內(nèi)向鉛球移動的距離是一毫米；而如果產(chǎn)生吸引力的物體與小球的距離不是一米，而是位于地球中心處，即與小球的距離是6366千米，那么，我們就可以通過上述條件而計算出在這種情況下小球在頭一秒內(nèi)所下落的路程。由于引力的大小與距離的平方成反比，我們可以通過這一定律得知，小球在這種情況下，頭一秒內(nèi)所移動的距離是一毫米除以的平方，即除以40525956000000。如果你們覺得可以的話，我讓你們自己來做這個除法運算。其實不必進(jìn)行這個痛苦的運算，我們就可以看出，被除數(shù)是一毫米，而除數(shù)又是這么大的數(shù)，那么顯然二者相除所得的商肯定是一個特別小的數(shù)字。這一商數(shù)指的是：將鉛球放在地球中心處，在它的吸引下，小球在頭一秒內(nèi)所下落的距離。但是對于地球來說，我們只需考慮一個點，即地球中心，它代表了全部地球質(zhì)量。根據(jù)牛頓第三定律，在上述條件不變的情況下，即在同樣的時間與同樣的距離下，地球吸引著小球在頭一秒內(nèi)所經(jīng)過的距離是4.9米。然后我們再來考察一下，對于前面所得的那個極小的商數(shù)，看看4.9米是它的多少倍，由此我們就可以知道地球的質(zhì)量是鉛球質(zhì)量的多少倍了。最終我們發(fā)現(xiàn)，地球的質(zhì)量若以千克來計算的話，就是6后面跟著21個0，即60萬億億千克。從地球體積的宏偉和地球質(zhì)量的龐大來看，我們可以推斷出，如果我們將地球上所有的物質(zhì)——空氣、水、巖石、金屬、礦物——全部混合起來，那么每升的這種混合物約為5.5千克。

我們稱完了地球，這節(jié)課程告一段落。那么我們是通過什么來稱的呢？是通過什么力量來稱的呢？我們是通過思想的力量來稱的。這種力量是大自然所賦予我們的，它使我們窺探到了宇宙的奧妙；我們是通過理性的杠桿來撬起地球的，對它而言，撬起沉重的地球是輕而易舉的。