為了分析截面積變化對流動(dòng)特性的影響， 需要將所有的流動(dòng)參數(shù)變化與面積變化d A聯(lián)系起來。 推導(dǎo)的思路是， 首先根據(jù)控制方程組導(dǎo)出d A對流速變化dv的影響， 即幾何形狀對流動(dòng)的影響， 然后再推導(dǎo)d A對其余參數(shù)的影響。

1. 截面積變化對流速的影響

對連續(xù)方程 （5-116） 取對數(shù)微分， 得

這是微分形式的連續(xù)方程。 為了從式 （5-121） 中消去密度項(xiàng)， 在動(dòng)量方程 （5-117） 兩邊同除以ρ， 并將其改寫成

由理想氣體的聲速公式 （5-21） 及馬赫數(shù)定義， 可將上式改寫成

聯(lián)立上式和式 （5-121）， 消去密度項(xiàng)， 有

這就是截面積變化與流速變化之間的關(guān)系。

2. 截面積變化對壓強(qiáng)的影響

將動(dòng)量方程 （5-117） 代入式 （5-122）， 得

注意到理想氣體聲速公式式 （5-22）， 上式左端可寫成

于是， 動(dòng)量方程最終變成

3. 截面積變化對密度、 溫度和聲速的影響

聯(lián)立式 （5-122） 和式 （5-121）， 消去速度項(xiàng)， 可得截面積變化對密度的影響：

將動(dòng)量方程 （5-117） 和能量方程 （5-118） 改寫成

兩式相減有

將理想氣體的比定壓熱容式 （5-8） 代入上式得

兩端同除以T， 再將式 （5-123） 代入， 可得截面積變化對溫度的影響：

對理想氣體的聲速公式 （5-23） 求對數(shù)微分， 再將式 （5-125） 代入， 可得管道截面積變化對聲速的影響：

4. 截面積變化對馬赫數(shù)的影響

對馬赫數(shù)定義取對數(shù)微分， 有

將式 （5-122） 和式 （5-126） 代入上式， 整理后得截面積變化對馬赫數(shù)的影響：

從以上推導(dǎo)結(jié)果可以看出， 流動(dòng)過程中， 流速和馬赫數(shù)的變化方向總是相同的， 具有相同的變化規(guī)律； 壓強(qiáng)、 溫度和密度的變化方向也是相同的， 或同時(shí)增大， 或同時(shí)減小。 因此， 在分析截面積變化d A對流動(dòng)的影響規(guī)律時(shí)， 只需分析流速和壓強(qiáng)的變化方向。 由式 （5-122） 和式 （5-123） 可知：

（1） 當(dāng)d A＜0時(shí)， 管道截面積A沿流動(dòng)方向逐漸減小， 這是收斂管道， 如圖5-12所示。 在收斂管道中， 當(dāng)進(jìn)口馬赫數(shù)Ma＜1， 即亞聲速流流進(jìn)收斂管道時(shí)， 由式 （5-122）和式 （5-123） 知dv＞0， dp＜0， 這說明亞聲速流在收斂管道中是膨脹加速流動(dòng)； 當(dāng)進(jìn)口流動(dòng)馬赫數(shù)Ma＞1， 即超聲速流流進(jìn)收斂管道時(shí)， 由dv＜0， dp＞0， 表明超聲速流在收斂管道中是壓縮減速流動(dòng)。

圖5－12 收斂管道中的流動(dòng)變化

（2） 當(dāng)d A＞0時(shí)， 管道截面積A沿流動(dòng)方向逐漸擴(kuò)大， 這是擴(kuò)張管道， 如圖5-13所示。 在擴(kuò)張管道中， 當(dāng)進(jìn)口馬赫數(shù)Ma＜1， 即亞聲速流流進(jìn)擴(kuò)張管道時(shí)， 由式 （5-122）和式 （5-123） 知dv＜0， dp＞0， 即為壓縮減速流動(dòng)； 當(dāng)進(jìn)口流動(dòng)馬赫數(shù)Ma＞1， 即超聲速流流進(jìn)擴(kuò)張管道時(shí)， dv＞0， dp＜0， 即為膨脹加速流動(dòng)。

圖5－13 擴(kuò)張管道中的流動(dòng)變化

綜上所述， 一維定常等熵流動(dòng)具有膨脹加速或壓縮減速的流動(dòng)特性。 收斂管道中的亞聲速流和擴(kuò)張管道中的超聲速流是膨脹加速的， 沿流道流速不斷增加， 而壓強(qiáng)、 密度和溫度不斷減??； 擴(kuò)張管道中的亞聲速流和收斂管道中的超聲速流是壓縮減速的， 沿流道流速不斷降低， 而壓強(qiáng)、 密度和溫度卻不斷增加。 這些結(jié)論可以總結(jié)在表5-6中。

表5－6 截面積變化對流動(dòng)參數(shù)的影響規(guī)律

在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴管中， 要求燃?xì)獍l(fā)生膨脹加速變化。 所以， 當(dāng)燃?xì)鉃閬喡曀倭鲃?dòng)時(shí)必須使用收斂形噴管， 而當(dāng)燃?xì)鉃槌曀倭鲃?dòng)時(shí)則必須使用擴(kuò)張形噴管， 只有這樣才能達(dá)到使燃?xì)馀蛎浖铀俚哪康摹?/p>