人們對流體力學(xué)的研究同人類對客觀世界的認(rèn)識規(guī)律一樣，由簡到繁，由易到難，是隨著生產(chǎn)力的發(fā)展而向前發(fā)展的。縱觀流體力學(xué)的發(fā)展歷史和目前流體力學(xué)的研究現(xiàn)狀，可以看到研究具體流體力學(xué)問題的過程，就是在分析各種復(fù)雜因素的基礎(chǔ)上，在保證精度的范圍內(nèi)忽略次要因素，抓住主要因素，使問題簡化求解的過程。根據(jù)不同的問題，有著不同的分類，也對應(yīng)著不同的研究方法。一般來說，本書將要討論的問題，可以分為如下幾種類型:

(1)根據(jù)流體的性質(zhì)，按照粘滯性可以分為理想流體流動和粘性流體流動，按照壓縮性可以分為可壓縮流體流動和不可壓縮流體流動等。

(2)根據(jù)運動狀態(tài)，可以分為定常流動和非定常流動;均勻流流動和非均勻流流動;層流流動和紊流流動;有旋流動和無旋流動;亞音速流動和超音速流動等。

(3)根據(jù)坐標(biāo)數(shù)量，可以分為一維流動、二維流動和三維流動，還有元流流動和總流流動等。

上述流體流動類型，有些已在第1章中進(jìn)行了討論，有些將在以后的章節(jié)敘述，本節(jié)將敘述一些流動類型和一些相關(guān)的基本概念。

4．2．1　定常流動和非定常流動

用歐拉法描述流體運動時，對于流場中通過每一空間點的各流體質(zhì)點的運動要素，在不同的時間都保持不變，也就是與時間無關(guān)，這樣的流動稱為定常流或恒定流。定常流的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中φ表示任一運動要素，如u、p、T、ρ等。在這種情況下，運動要素φ僅僅是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，與時間t無關(guān)。從隨體導(dǎo)數(shù)式(4-7)～式(4-12)來說，與本地加速度有關(guān)的項為零，與遷移加速度有關(guān)的項不為零。

4．2．2　一維流動、二維流動和三維流動

根據(jù)歐拉法，描述流體流動的流速、壓強(qiáng)等運動要素都是空間坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)。如果描述某種流動的運動要素只是一個坐標(biāo)的函數(shù)，則稱為一維流動。以此類推，如果運動要素是兩個坐標(biāo)的函數(shù)，則稱為二維流動;如果運動要素是三個坐標(biāo)的函數(shù)，則稱為三維流動。一般來說，所有的流體流動過程，都是三維流動。然而在實際工程中，全部按三維流動分析求解，則費工費力，有時也可能有非常大的困難。因此為了求解方便，并在保證一定的精度情況下，可以將實際的三維流動簡化為一維流動、二維流動來求近似解。

例如，分析管道、明渠內(nèi)的流體流動，若將每個有效截面上的運動要素取為平均值，則該平均值只是自然坐標(biāo)s(即沿軸程距離或沿流程距離)的函數(shù)，這時流動可以作為一維流動來分析，如圖4-1所示。這種方法稱為一維流動分析法。后面將介紹的元流和總流都屬于一維流動分析法。

圖4-1　一維流動

4．2．3　跡線與流線

跡線就是流體質(zhì)點在空間運動時留下的軌跡所連成的曲線。跡線是與拉格朗日法相聯(lián)系的，可以通過拉格朗日法給出跡線方程。注意到，跡線是針對具體流體質(zhì)點的，從分析推導(dǎo)歐拉法加速度時，給出的流體質(zhì)點在Δt時段內(nèi)沿其運動軌跡的微小位移與速度的關(guān)系式(4-6)，就是可表示跡線的跡線微分方程式。即

或

應(yīng)注意，坐標(biāo)x，y，z是時間t的函數(shù)，對式(4-14)或式(4-15)積分時，是以時間t為自變量，以坐標(biāo)x，y，z為參量進(jìn)行的。積分后在所得的表達(dá)式中消去時間t后即得跡線方程。

流線是指在某一瞬時空間的一條曲線，在該曲線上任一點的流速方向和該點的曲線切線方向重合?；蛘哒f流線是同一時刻由不同流體質(zhì)點所組成的空間曲線，這個曲線給出了該時刻不同流體質(zhì)點的運動方向。流線是與歐拉法相聯(lián)系的。

現(xiàn)討論流線方程。在流場中任一流線上某點沿流線取一微小線段ds，顯然ds的方向就是流線的切線方向，又設(shè)該點的流速為u。根據(jù)流線的定義，有流速u的方向與微小線段ds的方向重合，即

寫成直角坐標(biāo)表達(dá)式為

式中，i，j，k分別為坐標(biāo)x，y，z軸向的單位矢量。展開后可得流線微分方程

流線微分方程(4-18)由兩個獨立方程式組成，式中流速u為坐標(biāo)(x，y，z)和時間t的函數(shù)。由于流線是針對同一瞬時的，則以坐標(biāo)(x，y，z)為自變量進(jìn)行積分可以求得流線方程，時間t則看做為參量。

流線有下列基本特性。

(1)在定常流中，流線的形狀和位置不隨時間而改變，流線與流體質(zhì)點的跡線相重合。

這是因為在定常流中，各空間點流速不隨時間而變化，則流線的形狀和所處的位置也不隨時間而變化。也就意味著流線就像一個通道，許多流體質(zhì)點沿著這個通道不停的向前運動。這時，針對具體的流體質(zhì)點則為跡線;針對眾多的流體質(zhì)點則為流線。

對非定常流，由于流速隨時間變化，那么流線的形狀和所處的位置也隨時間變化。

(2)對同一時刻，流線不可能相交，也不可能分叉或轉(zhuǎn)折，流線是光滑的曲線。

用反證法，如果某時刻，有兩條流線在某點相交，這時在該相交點處，沿兩條流線有兩個切線方向，而該點只有一個流速方向，按照流線定義，這是矛盾的和不可能的。故在同一瞬時，流線不可能相交。同理也可證得，流線不可能分叉或轉(zhuǎn)折，是光滑的曲線。

例4-1已知定常流場中的流速分布為ux=ay，uy=－ax，uz=0，其中常數(shù)a≠0，試求該流場的流線。

解由于uz=0，并且ux和uy與坐標(biāo)z無關(guān)，則法線與Oz軸平行的所有平面上的流速分布是相同的。因此可以任取一個法線與Oz軸平行的平面作為xOy平面，并在該平面上進(jìn)行流場分析?，F(xiàn)將已知的流速分布代入流線微分方程(4-18)，即

積分該流線微分方程，得流線方程

x2+y2=C

可見在xOy平面上，流線為一簇圓心位于坐標(biāo)原點的同心圓，圓的半徑由積分常數(shù)C給出。由于流動同時為定常流，該同心圓也是跡線，即流體質(zhì)點繞原點作圓周運動。

4．2．4　流管、元流、總流

1．流管

在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，在同一瞬時，過該封閉曲線上的每一點作流線，由這些流線所構(gòu)成的管狀封閉曲面稱為流管，如圖4-2所示。若所取的封閉曲線為微小的封閉曲線，這時所構(gòu)成的流管為微元流管。根據(jù)流線的定義，盡管由流線構(gòu)成的流管壁面在流場中是虛構(gòu)的，但在流動中好像是真正的管壁，流體質(zhì)點只能在流管內(nèi)部或沿流管壁面流動，不能穿越管壁流進(jìn)流管或流出流管。

圖4-2　流管、流束示意圖

2．元流

充滿流管內(nèi)的流動流體稱為元流或微小流束。當(dāng)元流直徑趨于零時，元流則達(dá)到其極限——流線。在一般的情況下，元流和流線的概念是相通的。定常流時元流的形狀和位置是不隨時間而變化的。由于元流的橫截面面積很小，可以認(rèn)為橫截面上各點的流速、壓強(qiáng)均相等。

3．總流

總流就是實際流體在具有一定尺寸的有限規(guī)模邊界內(nèi)的流動?？偭饕部梢钥醋鍪菬o數(shù)元流的總和。如自然界的管道流動和河渠流動都可以看做為總流流動問題。

將流動問題看做元流和總流，就是按照一維流動分析法的思路解決實際流動問題。

4．2．5　有效截面、流量、斷面平均流速

1．有效截面

與元流或總流中的流線相垂直的橫截面稱為有效截面，或者說有效截面上各點的流速方向與該截面的法線方向相同。注意，有效截面不一定為平面。如圖4-3所示，當(dāng)流場內(nèi)所有的流線相互平行時，有效截面則為平面，否則有效截面為曲面。元流或總流的橫截面也稱為斷面，有效截面也稱為過水?dāng)嗝妗?/p>

圖4-3　不同流動的有效截面示意圖

2．流量

單位時間內(nèi)通過有效截面的流體體積稱為體積流量Q，一般簡稱為流量，其單位為m3/s。對于元流，由于有效截面面積dA非常小，可以近似認(rèn)為該截面上各點的流速在同一時刻是相同的，因此元流流量dQ為

式中:dA——元流有效截面面積;

u——元流有效截面上各點的流速。

對于總流流量則可以通過將經(jīng)過總流有效截面的所有元流流量相加求得，即

式中:A——總流有效截面面積;

u——總流有效截面上各點的流速。

對于通過流場中某橫截面或某表面的流體的流量，這時橫截面或表面的法線n方向與流速u方向不相同，這時流量為

式中:cos(u，n)——流速矢量與該有效截面法向方向的方向余弦;

un——流速矢量向該有效截面法向方向的投影分量。

若單位時間內(nèi)通過有效截面的流體數(shù)量為質(zhì)量或重量，則稱為質(zhì)量流量QM(單位:kg/s)和重量流量QG(單位:N/s)。其計算公式為:

質(zhì)量流量

重量流量

實際應(yīng)用中，在不產(chǎn)生錯誤理解的情況下，仍可以用Q表示質(zhì)量流量QM和重量流量QG。

3．平均流速

由于流體的粘性和流動邊界的影響，總流有效截面上各點的流速是不相同的，整個截面的流速分布是不均勻的，為方便計算，引入平均流速的概念。即認(rèn)為總流有效截面上各點的流速大小都是相同的，并且都等于平均流速v，如圖4-4所示。按照這個概念，平均流速v與有效截面面積相乘所獲得的流量，應(yīng)等于按實際點流速u分布沿面積積分所得的流量，即

整理得平均流速v與實際點流速u的關(guān)系為

圖4-4　截面流速分布與平均流速示意圖

4．2．6　均勻流與非均勻流

1．均勻流

流體流動的流線均為相互平行的直線，這種流動稱為均勻流。例如流體在直徑不變的長直管道內(nèi)的定常流動就是均勻流(進(jìn)口段和出口段不算)?；诰鶆蛄鞯亩x，均勻流有下列特性:

(1)均勻流的有效截面為平面，并且有效截面的形狀和尺寸沿流程不變;

(2)均勻流中同一流線上各點的流速相等，各有效截面上的流速分布相同、平均流速相同;

(3)均勻流有效截面上的流體動壓強(qiáng)分布規(guī)律與流體靜力學(xué)中的流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，也就是在均勻流有效截面上同樣存在各點的測壓管水頭等于一常數(shù)的特性，即

根據(jù)這個特性，均勻流有效截面上的流體動壓強(qiáng)分布可以按流體靜壓強(qiáng)的規(guī)律計算。

2．非均勻流

流體流動的流線如果不是相互平行的直線，例如流線平行但不是直線、或流線是直線但不平行，這樣的流動稱為非均勻流。如圖4-5所示，流體在收縮管和擴(kuò)散管中的流動，或流體在一管道系統(tǒng)中的流動，都為非均勻流。非均勻流有效截面上流體動壓強(qiáng)分布不滿足流體靜壓強(qiáng)規(guī)律，如圖4-6所示。

圖4-5　非均勻流流動示意圖

圖4-6　非均勻流有效截面上的壓強(qiáng)分布示意圖

根據(jù)非均勻流中流線平行和彎曲的急劇程度，又可以分為漸變流和急變流。

如果某流動的流線曲率很小可以近似為直線，或流線之間的夾角很小，這種流動稱為漸變流，也稱為緩變流，如圖4-5中(a)、(b)、(c)等。漸變流的極限情況為均勻流，或者說漸變流就是近似均勻流。由于漸變流流線的曲率和夾角都很小，則在其有效截面上流體動壓強(qiáng)分布可以近似滿足流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律，即式(2-25)近似成立。

如果某流動的流線曲率很大完全不為直線，或流線之間的夾角很大，這種流動稱為急變流。急變流因為其流線彎曲程度很大，沿垂直于流線的方向存在離心慣性力，使得有效截面上的流體動壓強(qiáng)分布復(fù)雜，完全不滿足流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律，如圖4-6所示。

4．2．7濕周、水力半徑

總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸部分的周長稱為濕周，以χ表示，如圖4-7所示?？偭鞯挠行Ы孛婷娣eA與濕周χ之比稱為水力半徑，以R表示，即

由式(4-26)可知，水力半徑是具有長度量綱的量，但必須注意水力半徑與一般的圓截面的半徑是完全不同的概念，不能混淆。例如以半徑為r、直徑為d并充滿流動流體的圓管，其水力半徑為

可見圓管半徑r不等于水力半徑R。

濕周和水力半徑反映了總流有效截面的綜合形狀特性，特別是在非圓截面管道和渠道的水力計算中經(jīng)常用到。

圖4-7　濕周及計算方式示意圖