2　乘法和除法——倍增倍減的魔法盒

知識導(dǎo)航

人類從來就沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，數(shù)學(xué)伴隨人類進(jìn)步在發(fā)展。從萌芽到一門科學(xué)，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了數(shù)千年的文化積淀，匯聚成今天人類知識海洋的重要組成部分。我們要讓枯燥乏味的數(shù)字、符號、公式、定理變成一幅美麗、生動且富有哲理的數(shù)學(xué)畫卷，激起學(xué)生對未知的數(shù)學(xué)世界探究的好奇心、求知欲和興趣，去體驗(yàn)數(shù)學(xué)世界中五彩斑斕的數(shù)學(xué)符號的神奇，感受倍增倍減的魅力！

人類很早就掌握乘法運(yùn)算了，由于乘法比加法麻煩，我國古代出現(xiàn)了“九九歌”乘法表，在西方出現(xiàn)過“格子乘法”并且在直乘法中，有從高位起和從低位起兩種算法。

關(guān)于表示乘法的符號，也是眾說紛紜：

17世紀(jì)前，有人用字母M和D分別表示乘法和除法。M和D是拉丁文中乘、除兩個(gè)單詞的第一個(gè)字母。顯然，用字母參與乘除運(yùn)算是相當(dāng)煩瑣的。

1631年，英國數(shù)學(xué)家奧特雷德發(fā)現(xiàn)乘法也是相加的意思，但是又和加法有所不同，怎么表示更合適呢？

他想：能不能把“+”號旋轉(zhuǎn)45°，斜過來用“×”表示乘法呢？

當(dāng)奧特雷德的這種設(shè)想成為現(xiàn)實(shí)時(shí)，乘號“×”便問世了。

知識放大鏡

數(shù)學(xué)“天才”——珊瑚蟲

真正的數(shù)學(xué)“天才”是珊瑚蟲。珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”，它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋，顯然是一天“畫”一條。奇怪的是，古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)3.5億年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”。天文學(xué)家告訴我們，當(dāng)時(shí)地球一天僅21.9小時(shí)，一年不是365天，而是400天。

但是，數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)為乘號“×”和拉丁字母“x”很相似，容易引起混淆，所以他反對使用這個(gè)符號。萊布尼茨非常理解建立一個(gè)合適符號的重要性，他很贊成用數(shù)學(xué)家哈里奧特首創(chuàng)的符號“·”表示乘法。這個(gè)點(diǎn)乘號，被整個(gè)歐洲大陸和拉美國家普遍采用。

令人遺憾的是，“·”這個(gè)記號與小數(shù)點(diǎn)號相似，容易引起新的混淆。后來有人干脆改用逗號“，”來代替圓點(diǎn)，但這種改用的辦法直到今天還未被人們所接受。

英國數(shù)學(xué)家哈里奧特

實(shí)際上，“×”和“·”這兩個(gè)乘號同時(shí)被使用，一直沿襲到今天。

在代數(shù)里，兩個(gè)有理數(shù)用括號括起來再相乘或者數(shù)和字母相乘或字母之間相乘，常用“·”號或把乘號省略不寫，例如：

（-3）×（-5）可以記作：（-3）·（-5）；

3×a可以記作：3·a或3a。

因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，人類很早就掌握了除法的技巧。

公元前2000多年前，古巴比倫人就用“倒數(shù)表”把除數(shù)表示成六十進(jìn)位制的小數(shù)，通過乘以除數(shù)的倒數(shù)來做除法。

關(guān)于除法的符號，阿拉伯人曾用過兩個(gè)數(shù)之間加一條短線的方法表示相除。例如用“2/3”表示“2除以3”的意思。

1631年，數(shù)學(xué)家奧特雷德也曾設(shè)想過用符號“∶”表示除法，但沒有推廣開來。

數(shù)學(xué)上正式把“÷”作為除法運(yùn)算的符號，是瑞士數(shù)學(xué)家哈納的功勞。哈納在計(jì)算時(shí)，遇到把一個(gè)整數(shù)分成幾份的問題，卻沒有恰當(dāng)?shù)姆柋硎具@種算法。于是他把阿拉伯人表示除法的小短線“/”和奧特雷德的除法記號“∶”合二為一，哈納用一條橫線段“—”把兩個(gè)圓點(diǎn)“∶”從中間分開，產(chǎn)生了表示除法的新記號“÷”，這就是除號。

1659年，哈納在《代數(shù)學(xué)》一書中，正式把“÷”作為除法運(yùn)算的符號。

英國數(shù)學(xué)家奧特雷德

知識擴(kuò)展

乘號的不同用法

奧特雷德于1631年在其著作《數(shù)學(xué)之鑰》中首次以“×”表示兩數(shù)相乘，即現(xiàn)代的乘號，隨后慢慢流行開來，沿用至今。萊布尼茨在1698年7月29日給J.伯努利的一封信內(nèi)提出以圓點(diǎn)“·”表示乘，以防“×”號與字母X相混淆。后來以“·”表示乘法的用法也相當(dāng)流行，歐洲大陸派（德、法等國）規(guī)定以“·”作乘號。其他國家則以“×”作乘號，“·”為小數(shù)點(diǎn)。而我國則規(guī)定以“×”或“·”作乘號都可以，一般字母或括號前的乘號可略去。