“病態(tài)”圖形

歷史上一些數(shù)學(xué)家曾經(jīng)構(gòu)造出一些非常特殊和有趣的幾何圖形，雖然形態(tài)怪異并被稱為“病態(tài)圖形”，但它們都是由某種簡單操作的多次重復(fù)而形成的，既錯綜復(fù)雜又具自相似性，所以是典型的分形圖。盡管是人造的，但它們可以模擬或者代表某些實際的事物，以便進(jìn)一步研究實際事物的性態(tài)。這說明“病態(tài)”圖還挺有用，下面舉兩個實例。

通訊誤差與康托爾集合

曼德布羅特在IBM曾研究過一個讓他的老板十分贊賞的實際課題，也是長期困擾該公司工程師們的問題，那就是通信中的噪聲。經(jīng)驗告訴他們，有些噪聲可以設(shè)法消除，而另有一些噪聲無法消除，且總是一撥一撥的出現(xiàn);如果擦掉出現(xiàn)噪聲的那一段信號，就會造成一段通信誤差。于是一段無誤差的通訊之后緊跟著就是一段有誤差的通訊。曼德布羅特分析這個現(xiàn)象的方法是，按不同時間尺度區(qū)分無誤差傳輸段和有誤差傳輸段。若把一天的通訊按小時分段，則發(fā)現(xiàn):有一小時無錯，下一小時有錯，再下一小時無錯。若時間段再劃分短些，以分為一小段，則發(fā)現(xiàn):原來無錯的那一小時內(nèi)還會出現(xiàn)一些有錯段，原來有錯的那一小時內(nèi)也會出現(xiàn)無錯段。如果把時間尺度再細(xì)分下去，在有錯段中總會出現(xiàn)無錯段，在無錯段中總能找到有錯段。而且他發(fā)現(xiàn)，不管是用小時還是用分或秒為時間尺度，有錯段和無錯段之比始終是一個常數(shù)。這些特征充分說明通信誤差具有自相似性，是分形結(jié)構(gòu)。如何計算其分?jǐn)?shù)維呢?他想起了康托爾集合。

康托爾(G．Gantor，1845—1918)是德國數(shù)學(xué)家，它構(gòu)造過這樣一個集合:把0到1的一段線段三等分后去掉中間段，剩下的兩段再各三等分去掉中間斷，如此重復(fù)操作無窮次，最后剩下的就是無窮多又無窮稀疏的點的集合，如圖6－3所示，顯然具有自相似結(jié)構(gòu)。曼德布羅特認(rèn)為，通訊誤差就像是沿時間軸上排列的康托爾集合。由于是點的集合，所以剩下的總長度為零。它的維數(shù)可容易算出:由于是規(guī)則自相似形體，所以可用公式(6．3)計算。在第n次操作中，用ε=()ⁿ作尺子去測量時，生成的小相似形數(shù)為N=2ⁿ，于是分維是

圖6－3　康托爾集合

它是小于1的分?jǐn)?shù)。其實構(gòu)造康托爾集合的方式不止此一種，還可以分割成不等比的段，那時分維數(shù)也就變了。究竟用什么樣的康托爾集合來算，還得對照有錯段和無錯段的比是什么數(shù)來決定。

曼德布羅特的研究，使IBM的工程師們終于明白，這種噪聲既非來自外界干擾也非設(shè)備故障，而是由于通信過程為非線性的，產(chǎn)生分形式噪聲是自身所固有的效應(yīng)，不能通過慣用的增加信號強度的辦法淹沒它，只能在熟悉其特性的基礎(chǔ)上仔細(xì)辨認(rèn)和校正。

海岸線長度與科赫曲線

海岸線長度的問題．我們在第三章提到的那位英國科學(xué)家理查森，就曾提出并研究過。他查閱了西班牙和葡萄牙，荷蘭和比利時等國的百科全書，就連他們作為國境分界的共同河岸線的長度，也竟有20%的差別。究竟海(或河)岸線有無準(zhǔn)確長度?曼德布羅特論證的結(jié)論是:在某種意義上說，任何海岸線是無限長;在另一種意義上說，這個長度又取決于你所用的測量尺度。如果你用千米做測量單位，則千米以下的彎彎曲曲都將被忽略，測得的總長度就短了;如果你改用米作測量單位，那么超過1米的彎曲都可測出，總長度就增加了;如果你不斷地縮小測量單位，更小的彎曲將會被測出，總長度就不斷增加，最后趨于無窮。所以，只說海岸線有多長是沒有意義的，必須說明是用什么長度單位測量的。因為海岸線是具有自相似結(jié)構(gòu)的，無特征尺度。也許你會說隨著測量單位的縮小，總長度會趨于一個特定的數(shù)值即真實長度。如果海岸線是規(guī)則的整形幾何圖形，確實如你所說;但對于不規(guī)則的分形，那是不可能的，它永遠(yuǎn)不會收斂于一個特定值。曼德布羅特認(rèn)為，只有海岸線的維數(shù)是確定的，有意義的。

圖6－4　用折線近似海岸線

為了計算海岸線的維數(shù)(許多自然形體，如河流、樹木、血管等都一樣)，可如圖6－4那樣，用長為ε的折線的集合去近似分形圖(如對海岸線就是航拍照片上的曲線)。折線即小圓的半徑，覆蓋曲線所需小圓的最小數(shù)N(ε)就是折線數(shù)目。原則上說按照公式(6．4)可算出海岸線的維數(shù)。但實際上數(shù)小圓的數(shù)目是很笨拙的。曼德布羅特又想到了用科赫曲線近似海岸線的辦法。

科赫(H．Koch，1870—1924年)是瑞典數(shù)學(xué)家，他曾發(fā)明過一種“雪花曲線”模擬雪花，如圖6－5所示。其做法是:在正三角形的每一邊中間處，再造一個邊長為原邊長的的外凸正三角形，然后如法炮制下去，經(jīng)過多次操作，最后得到一個無窮多條無窮短邊相接的閉合曲線圖形，就是個理想化的雪花圖案。若借用此法，在一條單位長度直線的中間處，凸起一個邊長為的正三角形，則線段有4段，如法炮制，在第n次作出的凸起正三角形的邊長是ε=()ⁿ，共有N=4ⁿ個線段，見圖6－6。如果它和你所討論的海岸線相近，則該海岸線的維數(shù)為:生成海岸線的模型可以有許多種，從中選擇與實際相符的，并計算其分?jǐn)?shù)維。圖6－7中列舉了3種，讀者也不妨算算它們的分維數(shù)，都大于1。

圖6－5　科赫雪花

圖6－6　一種海岸線模型

圖6－7　3種海岸線模型

從上面的具體例子可以看出，原來一維的線，當(dāng)被挖空時維數(shù)變小了，長度也變小了;彎曲它維數(shù)變大了，長度也增加了。分維反映了分形結(jié)構(gòu)的緊密程度和所占空間的能力，普遍規(guī)律是，占有較小空間卻具有很大面積和很長的長度。