功能原理主要涉及機械能與其他形式能量的轉化問題。它的內容是：物體系統(tǒng)的機械能增量等于非保守外力對系統(tǒng)所做的功和系統(tǒng)內耗散力（非保守內力）所做的功的代數(shù)和，其本質是能量的轉化，系統(tǒng)獲得了機械能，就有可能消耗了熱能、電能等；反之，如果系統(tǒng)損失了機械能，則就有可能獲得熱能、電能等形式的能量，但孤立系統(tǒng)總能量不變。如果系統(tǒng)沒有非保守力做功，則整個系統(tǒng)沒有能量轉化，系統(tǒng)機械能守恒。

一、功能原理的建立背景

摩擦生熱的現(xiàn)象對于我們每個人并不陌生。冬天，人們手冷了都知道兩手搓一搓就暖和了，這表明機械運動的能量可以轉化為熱能。倫福德和戴維的實驗進一步證實了這種轉化。而在17世紀、18世紀蒸汽機的發(fā)明和應用，為熱能向機械能的轉化做出了令人信服的說明。當然，機械能和熱能轉化也不都是好的、有用的，機械運動部件之間的運動摩擦耗損不僅消耗機械能，還會損害機械部件，所以常用加機油的方法來避免或者減少這種轉化。為了量化這種轉化，蘇聯(lián)科學家在動能定理的基礎上引入保守內力和非保守內力的概念，因此，內力的功W應包括保守內力的功與非保守內力的功。在前一講中我們講到保守內力的功可以用勢能的變化表示，進一步把勢能和動能合在一起統(tǒng)稱為機械能。這樣，動能定理的左邊就只有非保守力做功了，而右邊則是動能和勢能之和的變化量（又稱機械能的增加量），所以功能原理實際上是動能定理的變形，在運用時應注意：如在考慮機械能時引入了重力勢能，由于重力勢能屬于物體與地球共有，因此物體的重力勢能即為內力（保守力）做的功，在計算合外力做功時應剔除重力做功；同樣如引入彈性勢能，就不應再考慮彈簧的彈力做功。另外，因為功是機械能變化的量度，所以機械能的變化需要通過做功來實現(xiàn)，非保守內力做功則反映系統(tǒng)內部機械能和其他形式能量的轉換。特別地，如果系統(tǒng)內有滑動摩擦力時，非保守內力做功為負值，表明系統(tǒng)的一部分機械能轉換成了系統(tǒng)的內能。

二、功能原理和機械能守恒定律的數(shù)學表述及物理解析

1．功能原理

質點系的功能原理：在質點系運動過程中，外力和非保守內力對系統(tǒng)做的總功等于系統(tǒng)機械能的增量。

下面我們從動能定理出發(fā)來說明功能原理的意義。如果我們用We表示外力對質點系做的總功，Wi表示內力對質點系做的總功，則根據(jù)動能定理有

We+Wi=Ek2-Ek1=ΔEk（11-1）

進一步將Wi分為保守內力的功WCi和非保守內力的功WNi，上式變?yōu)?/p>

We+WCi+WNi=ΔEk（11-2）

又因保守內力做功可以表示為質點系勢能增量的負值，即

WCi=-（Ep-Ep0）=-ΔEp（11-3）

將式（11-3）代入式（11-2）并移項可得

We+WNi=ΔEk+ΔEp=Δ（Ek+Ep）（11-4）

如果我們定義質點系的動能與勢能之和為質點系的機械能，并用E表示，即E=Ek+Ep，則式（11-4）可改寫為

We+WNi=ΔE（11-5）

式（11-5）就是功能原理的數(shù)學表達式，它表明在質點系運動過程中任一位置，外力和非保守內力對系統(tǒng)做的總功等于系統(tǒng)機械能的增量。

2．機械能守恒定律

在式（11-5）中，如果滿足We=0，WNi=0，則

ΔE=0（11-6）

式（11-6）是機械能守恒定律的數(shù)學表達式。也就是說，孤立系統(tǒng)在外力和非保守內力做功皆為零的情況下，系統(tǒng)機械能保持不變，這叫機械能守恒定律。當然式（11-6）也可以改寫為

Ek+Ep=恒量 （11-7）

三、應用舉例

例1 如圖11-1所示，一條質量均勻分布的鐵鏈，總質量為m，總長為l，一段放在水平桌面上與桌面摩擦系數(shù)為μ，另一段懸掛在桌子邊緣。一人慢慢移動懸掛段，問：（1）懸掛段長度a為多少時鐵鏈開始下滑？（2）金屬鏈全部離開桌面時速度為多少？

圖11-1

解：當下垂部分重力等于摩擦力時鏈條開始下滑，即

時鐵鏈將開始下滑。解（11-8）式可得

要計算鏈條全部離開桌面的速度，根據(jù)功能原理，需要首先計算外力摩擦力做功。以鏈條下垂位置為坐標原點，建立如圖11-1所示坐標。鏈條下落任一x距離時，摩擦力可表為

在鏈條從下垂a位置到全部下落，摩擦力做的功可寫為

根據(jù)功能原理，并選取桌面為重力勢能零點，則有

Wf=ΔE（11-12）

即

將式（11-9）代入式（11-13）解得

例2 計算第一宇宙速度

解：第一宇宙速度是指從地面發(fā)射物體（衛(wèi)星），使其在地面附近（離地面的高度與地球半徑相比很?。┸壍览@地球飛行所需要的最小發(fā)射速度，通常用v1表示。在不考慮空氣阻力影響時，發(fā)射物與地球組成的系統(tǒng)滿足機械能守恒。假設地球半徑為R，質量為M，發(fā)射物質量為m，地面發(fā)射時速度為v1，在離地球高h繞地球做勻速圓周運動時速度為v，根據(jù)機械能守恒定律有

因萬有引力提供衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力，有

聯(lián)立式（11-15）和式（11-16）可以解得

考慮到=mg可得

將式（11-18）代入式（11-17）中有

如果假設h?R，R≈6．37×106m，則

也就是說，從地面上發(fā)射人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速率為7．9×103m／s。考慮到空氣阻力，火箭殼、燃料等本身的質量，實際所需要的速度要大于這個值。

四、課后習題

11-1 如圖11-2所示，一個木塊沿傾角θ=30°的斜面從初始位置以初速度v0=4．5m／s向上運動。已知木塊與斜面之間的摩擦系數(shù)為μ=0．35，以木塊初始位置為重力勢能零點，試求木塊動能等于重力勢能處相對其初始位置的高度。

圖11-2

11-2 一輕彈簧的一端固定在一斜面的底端，另一端與質量為m的物塊相連。初始時刻物塊處在離彈簧原長-x0的A位置（沿斜面），如果在一外力作用下，物塊由A點沿斜面向上緩慢移動了3x0距離到達B點，求這個過程中外力所做的功。

11-3 如圖11-3所示，Γ形剛性支架固連在面積足夠大的木板上，木板放在水平桌面上，其與桌面的摩擦系數(shù)為μ，木板與支架的總質量為M。長度為l質量為m的均質細桿可以繞支架頂端軸自由旋轉?，F(xiàn)將細桿拉到水平位置后由靜止釋放，在細桿下擺過程中假設木板不移動。當細桿擺至豎直位置時，與固連在木板上的不計質量的小木塊A發(fā)生完全非彈性碰撞。求：

圖11-3

（1）細桿擺至豎直位置時的角速度的大小；

（2）釋放細桿瞬間地面受到的壓力；

（3）碰撞后系統(tǒng)相對地面移動的最大距離。