對(duì)稱性是人們觀察客觀事物形體上的特征而形成的認(rèn)識(shí)。例如正六邊形具有六角對(duì)稱，一個(gè)平面圓形具有軸對(duì)稱，人體具有左右對(duì)稱，一條連續(xù)的花邊具有平移對(duì)稱，其他還有鏡像對(duì)稱等。這些對(duì)稱性被看作自然界的一項(xiàng)美學(xué)原則，廣泛應(yīng)用于建筑、造型藝術(shù)和工藝美術(shù)中。物理學(xué)移植對(duì)稱性概念用于研究物理規(guī)律的特征，并給以精確化，把它與變換聯(lián)系起來(lái)。通常把兩種情況通過(guò)確定的規(guī)則對(duì)應(yīng)起來(lái)的關(guān)系叫作從一種情況到另一種情況的變換，例如旋轉(zhuǎn)某一角度或旋轉(zhuǎn)任意角度，平移一段距離或平移一段時(shí)間等都是變換的規(guī)則。對(duì)稱性則定義為某一情形在某個(gè)變換下保持不變的性質(zhì)。對(duì)稱性意味著某種不可分辨性或不可測(cè)量性。例如物理規(guī)律具有空間平移變換對(duì)稱性，表明空間沒(méi)有絕對(duì)的原點(diǎn)，可以任意選擇空間的一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，物理規(guī)律保持形式不變。或者說(shuō)絕對(duì)位置是不可測(cè)量的。同樣，物理規(guī)律具有時(shí)間平移變換對(duì)稱性，表明時(shí)間也不存在絕對(duì)的零點(diǎn)。

一、對(duì)稱性與守恒定律關(guān)系的提出背景

為什么我們要關(guān)心對(duì)稱性呢？首先，在人們的心目中，對(duì)稱性是非常吸引人的。大自然也常常在我們周圍所遇到的物體中顯示出某種對(duì)稱性來(lái)。如我們想象中最對(duì)稱的物體是球體，而在自然界中就充滿球體——恒星、行星、水滴等都是球形。而大多數(shù)動(dòng)物是左右對(duì)稱的，植物的對(duì)稱性則更加多種多樣，絢爛奪目。在巖石中找到的晶體也呈現(xiàn)出各種各樣的對(duì)稱性，對(duì)它們的研究使我們知道了有關(guān)固體結(jié)構(gòu)的某些重要情況。但是，我們這里主要關(guān)注的不是自然界的物體往往是對(duì)稱的這個(gè)事實(shí)，我們更希望考察宇宙中的一些更引人注目的對(duì)稱性，即存在于支配物理世界運(yùn)轉(zhuǎn)的基本定律自身中的對(duì)稱性，尤其是需要知道對(duì)稱性與守恒律之間的關(guān)系。19世紀(jì)以前，物理學(xué)規(guī)律大都通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)觀察、數(shù)據(jù)整理、數(shù)學(xué)歸納等方法獲得，而這樣獲得的規(guī)律只是暫時(shí)正確的，因?yàn)橹灰聜€(gè)時(shí)刻下一位研究者的實(shí)驗(yàn)與前面的規(guī)律不符，這個(gè)規(guī)律就有否定的危險(xiǎn)。我們不禁要問(wèn)：有沒(méi)有可能不依賴實(shí)驗(yàn)只從物質(zhì)結(jié)構(gòu)的一般形式以及它們隨空間、時(shí)間變化的某些特征出發(fā)經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出自然的一般規(guī)律呢？答案是肯定的。18世紀(jì)中葉，力學(xué)家和數(shù)學(xué)家致力于尋找一種比牛頓定律更廣泛、更簡(jiǎn)便的普遍原理。他們把虛功原理和最小作用原理發(fā)展為數(shù)學(xué)上的變分方法，并且引入廣義坐標(biāo)的代數(shù)方法，形成了分析力學(xué)的基本框架。在分析力學(xué)中，由虛功原理和達(dá)朗貝爾原理相結(jié)合而得到拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)而推廣為自由參數(shù)的一般動(dòng)力學(xué)方程——拉格朗日方程。分析力學(xué)的積分形式是從莫泊丟的最小作用原理出發(fā)發(fā)展起來(lái)的變分原理。英國(guó)人哈密頓利用拉格朗日函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分定義了作用量的概念，即S=。哈密頓斷言系統(tǒng)在任意兩個(gè)時(shí)刻之間發(fā)生的真實(shí)運(yùn)動(dòng)是使這個(gè)作用量的數(shù)值在這段時(shí)間內(nèi)獲得最小或者最大的運(yùn)動(dòng)，即δS=。這樣，分析力學(xué)把力學(xué)問(wèn)題變成了數(shù)學(xué)變分問(wèn)題。1918年德國(guó)數(shù)學(xué)家艾米·諾特（A．E．Noether）在此基礎(chǔ)上提出了著名的諾特定理。該定理指出作用量的每一種對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒定律、有一個(gè)守恒量，從而將對(duì)稱和守恒性這兩個(gè)概念緊密地聯(lián)系在一起。簡(jiǎn)言之，物理定律的一種對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)地存在一條守恒定律。例如，運(yùn)動(dòng)定律的空間平移對(duì)稱性導(dǎo)致動(dòng)量守恒定律，時(shí)間平移對(duì)稱性導(dǎo)致能量守恒定律，空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（空間各向同性）導(dǎo)致角動(dòng)量守恒定律。上述經(jīng)典物理范圍內(nèi)的對(duì)稱性和守恒定律相聯(lián)系的諾特定理后來(lái)經(jīng)過(guò)推廣，在量子力學(xué)范圍內(nèi)也成立，并且從物質(zhì)的某種對(duì)稱性出發(fā)尋找物理規(guī)律成了現(xiàn)代理論物理研究的基石。典型的事例有，對(duì)SU（3）群以及相關(guān)對(duì)稱性成功的追根溯源而發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)基本組分——夸克的存在；極化Λ超子弱衰變中的上下不對(duì)稱（或者說(shuō)極化Λ超子弱衰變中宇稱對(duì)稱性被破壞）導(dǎo)致弱相互作用中宇稱不守恒。

二、能量的空間平移對(duì)稱性與動(dòng)量守恒定律

設(shè)一個(gè)孤立系統(tǒng)由兩個(gè)相互作用著的粒子組成，兩粒子的位矢分別為r1和r2，而系統(tǒng)的相互作用勢(shì)能為Ep（r1，r2）。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)平移量為Δr的操作后，兩粒子的位矢分別變?yōu)閞1+Δr和r2+Δr，而系統(tǒng)的勢(shì)能為Ep（r1+Δr，r2+Δr）。由于系統(tǒng)具有空間平移不變性，故有

Ep（r1，r2）=Ep（r1+Δr，r2+Δr）（16-1）

滿足式（16-1）的函數(shù)形式只能為Ep（r1-r2）。兩粒子相互作用力F1和F2分別為

F1=-?1Ep（r1-r2）（16-2）

F2=-?2Ep（r1-r2）（16-3）

由于

?1Ep（r1-r2）=-?2Ep（r1-r2）（16-4）

故有

F1+F2=0（16-5）

利用F1=和F2=，得到

即

p1+p2=恒量 （16-7）

式（16-7）即是動(dòng)量守恒表達(dá)式。這樣，我們從能量滿足空間平移對(duì)稱性這個(gè)對(duì)稱關(guān)系出發(fā)導(dǎo)出了動(dòng)量守恒定律，因此我們可以說(shuō)一個(gè)對(duì)稱性對(duì)應(yīng)一條守恒定律。

三、能量的時(shí)間平移對(duì)稱性與能量守恒定律

在描述系統(tǒng)狀態(tài)的空間即相空間中，對(duì)于力學(xué)系統(tǒng)，若系統(tǒng)有S個(gè)自由度，系統(tǒng)的總動(dòng)能T可以表示成廣義動(dòng)量的函數(shù)T=Ek（p1，…，ps，t），系統(tǒng)的總勢(shì)能U可以表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)U=Ep（q1，…，qs，t），系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為

H=T+U=H（q1，…，qs，p1，…，ps，t）（16-8）

即系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)就是在相空間中系統(tǒng)的總動(dòng)能與總勢(shì)能之和，也就是系統(tǒng)的總能量。式（16-8）中顯含時(shí)間t表明系統(tǒng)的總動(dòng)能和總勢(shì)能可能還是時(shí)間的顯函數(shù)。對(duì)于做機(jī)械運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，哈密頓函數(shù)就是系統(tǒng)的機(jī)械能。

當(dāng)系統(tǒng)具有時(shí)間平移對(duì)稱性時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)從t時(shí)刻經(jīng)歷了一個(gè)時(shí)間歷程Δt，則t→t+Δt時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)應(yīng)保持不變，也即系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H應(yīng)該在時(shí)間平移變換t→t+Δt下保持不變，對(duì)于任意Δt，有

H（t）=H（t+Δt）=H（t+εΔt）（0＜ε＜1）（16-9）

對(duì)于小的時(shí)間平移Δt，在t附近根據(jù)泰勒公式展開(kāi)

將式（16-9）代入式（16-10），由于Δt很小，得

又由于Δt的任意性，式（16-11）成立的條件只能是

即H（t）的1階，2階，…，n+1階導(dǎo)數(shù)都等于零，取k=1，得

故有

H（t）=T（t）+U（t）=恒量 （16-14）

式（16-14）即是能量守恒表達(dá)式。

四、現(xiàn)代物理中的對(duì)稱性與守恒定律

諾特在1918年發(fā)現(xiàn)諾特定理后，物理學(xué)家們已經(jīng)形成了這樣一種思維定勢(shì)：只要發(fā)現(xiàn)了一種新的對(duì)稱性，就要去尋找相應(yīng)的守恒定律；反之，只要發(fā)現(xiàn)了一條守恒定律，也總要把相應(yīng)的對(duì)稱性找出來(lái)。在現(xiàn)代物理中，對(duì)稱性（symmetry）成為一個(gè)核心的概念。它泛指規(guī)范對(duì)稱性（gauge symmetry）、局域?qū)ΨQ性（local symmetry）和整體對(duì)稱性（global symmetry）。它是指一個(gè)理論的拉格朗日量或運(yùn)動(dòng)方程在某些變數(shù)的變化下的不變性。如果這些變數(shù)隨時(shí)空變化，這個(gè)不變性稱為局域?qū)ΨQ性，反之則稱為整體對(duì)稱性。物理學(xué)中最簡(jiǎn)單的對(duì)稱性例子是牛頓運(yùn)動(dòng)方程的伽利略變換不變性和麥克斯韋方程的洛倫茲變換不變性和相位不變性。

數(shù)學(xué)上，這些對(duì)稱性由群論來(lái)表述。上述例子中的群分別對(duì)應(yīng)著伽利略群、洛倫茲群和U（1）群。對(duì)稱群為連續(xù)群和分立群的情形分別稱為連續(xù)對(duì)稱性（continuous symmetry）和分立對(duì)稱性（discrete symmetry）。德國(guó)數(shù)學(xué)家威爾（Hermann Weyl）是把這套數(shù)學(xué)方法運(yùn)用于物理學(xué)中并意識(shí)到規(guī)范對(duì)稱重要性的第一人。

20世紀(jì)50年代楊振寧和米爾斯意識(shí)到規(guī)范對(duì)稱性可以完全決定一個(gè)理論的拉格朗日量的形式，并構(gòu)造了核作用的SU（2）規(guī)范理論。從此，規(guī)范對(duì)稱性被大量應(yīng)用于量子場(chǎng)論和粒子物理模型中。在粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型中，強(qiáng)相互作用、弱相互作用和電磁相互作用的規(guī)范群分別為SU（3），SU（2）和U（1）。除此之外，其他群也被理論物理學(xué)家廣泛地應(yīng)用，如大統(tǒng)一模型中的SU（5），SO（10）和E6群，超弦理論中的SO（32）。

這些理論的創(chuàng)立將物理學(xué)中“對(duì)稱”的重要性推到了前所未有的高度。1926年，又有人提出了宇稱守恒定律，把對(duì)稱和守恒定律的關(guān)系進(jìn)一步推廣到微觀世界。宇稱守恒理論的確在幾乎所有領(lǐng)域都得到了驗(yàn)證——除了弱力。我們知道，現(xiàn)代物理將物質(zhì)間的相互作用力分為四種：引力、電磁力、強(qiáng)力和弱力。在強(qiáng)力、電磁力和引力作用的環(huán)境中，宇稱守恒理論都得到了很好的驗(yàn)證：正如我們通常認(rèn)為的那樣，粒子在這三種環(huán)境下表現(xiàn)出了絕對(duì)的、無(wú)條件的對(duì)稱。在普通人眼中，對(duì)稱是完美世界的保證；在物理學(xué)家眼中，宇稱守恒如此合乎科學(xué)理想。于是，弱力環(huán)境中的宇稱守恒雖然未經(jīng)驗(yàn)證，也理所當(dāng)然地被認(rèn)為遵循宇稱守恒規(guī)律。

但是20世紀(jì)50年代，被稱為“θ-τ之謎”的現(xiàn)象讓學(xué)者們困惑良久?？茖W(xué)家們從宇宙射線里觀察到兩種新的介子：θ和τ。這兩種介子的自旋、質(zhì)量、壽命電荷等完全相同，很多人都認(rèn)為它們是同一種粒子。但是，它們卻具有不同的衰變模式，θ衰變時(shí)會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)π介子，τ則衰變成三個(gè)π介子，這說(shuō)明它們遵循著不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1956年，李政道和楊振寧在深入細(xì)致地研究了各種因素之后，大膽地?cái)嘌裕害雍挺仁峭耆嗤耐环N粒子（后來(lái)被稱為K介子），但在弱相互作用的環(huán)境中，它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律卻不一定完全相同。后來(lái)，李政道和楊振寧共同提出了弱相互作用下宇稱不守恒，他倆也因這個(gè)論斷及其證明被授予1957年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

總之，在物質(zhì)運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的探索中，對(duì)稱性和守恒定律的研究占有重要的地位。從歷史發(fā)展過(guò)程來(lái)看，無(wú)論是經(jīng)典物理學(xué)還是現(xiàn)代物理學(xué)，一些重要的守恒定律常常早于普遍的運(yùn)動(dòng)規(guī)律而被認(rèn)識(shí)。質(zhì)量守恒、能量守恒、動(dòng)量守恒、電荷守恒就是人們最早認(rèn)識(shí)的一批守恒定律。這些守恒定律的確立為后來(lái)認(rèn)識(shí)普遍運(yùn)動(dòng)規(guī)律提供了線索和啟示。對(duì)稱性和守恒定律之間的聯(lián)系，提供了從分析對(duì)稱性入手來(lái)研究守恒定律的方法。