如果每一個(gè)部件有兩種狀態(tài)，那么n個(gè)部件就構(gòu)成系統(tǒng)的2n種狀態(tài)，而系統(tǒng)的這2n種狀態(tài)又可以歸結(jié)成為系統(tǒng)失效或系統(tǒng)正常這兩種狀態(tài)。為了區(qū)別起見，把系統(tǒng)失效或正常這兩種狀態(tài)稱為系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)，而將組成系統(tǒng)的n個(gè)部件的2n個(gè)組合稱為系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。將這2n個(gè)系統(tǒng)微觀狀態(tài)一一列舉出來，并考察其各自相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)宏觀狀態(tài)。由于這2n個(gè)微觀狀態(tài)是互斥的，將對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)宏觀狀態(tài)為“正?！钡娜肯到y(tǒng)微觀狀態(tài)概率加起來，即可得到系統(tǒng)的可靠度。

1）真值表

為了能毫無遺漏地列舉出所有的系統(tǒng)微觀狀態(tài)，這項(xiàng)工作可以借助于一張真值表來進(jìn)行。在真值表中填入部件或系統(tǒng)的狀態(tài)，部件或系統(tǒng)正常時(shí)填入1，部件或系統(tǒng)失效時(shí)填0。這樣，將對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)狀態(tài)取值為1的所有系統(tǒng)微觀狀態(tài)概率求和，即是系統(tǒng)的可靠度。下面通過例子來對(duì)該法加以說明。

例4.1 列出如圖4- 2所示系統(tǒng)的真值表，并在R1=R3=0.3，R2=0.9，R4=R5=0.6時(shí)，求系統(tǒng)的可靠度。

圖4-2 系統(tǒng)可靠性框圖

解：由圖4-2得相應(yīng)的真值表（見表4-1）。

表4-1 圖4-2的真值表

（續(xù)表）

從表4-1中可以看出，系統(tǒng)宏觀狀態(tài)取值為1的微觀狀態(tài)編號(hào)為9、12、13、15、18～32。在第9號(hào)微觀狀態(tài)中，部件1、4處于正常狀態(tài)，而2、3、5處于失效狀態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)宏觀狀態(tài)為正常，則系統(tǒng)處于該微觀狀態(tài)下的概率為

P9=R1×R4×（1-R2）×（1-R3）×（1-R5）

=0.3×0.6×（1-0.9）×（1-0.3）×（1-0.6）

=0.00504

其他系統(tǒng)狀態(tài)取值為1的狀態(tài)概率也可以用這種方法算得。將這些系統(tǒng)狀態(tài)概率填入表4-1的相應(yīng)位置，并把它們累加起來，即可得到系統(tǒng)可靠度為

如此算法實(shí)在太繁，上例要算19次，而且每次都是五項(xiàng)的連乘積，稍有不慎即可能出錯(cuò)。因而，本法需要進(jìn)一步化簡?；喌姆椒ㄊ呛喜?，合并的規(guī)則是在相同位數(shù)上只有一個(gè)數(shù)碼不同的二進(jìn)制數(shù)可以合并。

考察000111和00111兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)，它們分別代表A′B′C′DE和A′B′CDE兩種系統(tǒng)微觀狀態(tài)，而系統(tǒng)取這兩種狀態(tài)的概率值分別為（1-RA）（1-RB）（1-RC）RDRE和（1-RA）（1-RB）RCRDRE。兩個(gè)狀態(tài)概率之和為

（1-RA）（1-RB）（1-RC）RDRE+（1-RA）（1-RB）RCRDRE

=（1-RA）（1-RB）RDRE[（1-RC）+RC]

=（1-RA）（1-RB）RDRE

所代表的狀態(tài)是A′B′DE，用二進(jìn)制數(shù)可以表為00*11。這說明00011和00111兩個(gè)只有一個(gè)位置上數(shù)碼不一樣的二進(jìn)制數(shù)可以合并為0011，只需將那個(gè)數(shù)碼不同的位置上的數(shù)碼用*代替即可。被合并過的二進(jìn)制數(shù)后面可加一個(gè)“√”號(hào)加以區(qū)別，以避免重復(fù)合并。

將上例中1個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)取值為1的微觀狀態(tài)排列出來，（ ）中數(shù)字表示真值表中序號(hào)：

（9）10010√

（12）01010√

（13）01001√

（15）00101√

（18）11010√

（19）11001√

（20）10110√

（21）10101√

（22）10011√

（23）01110√

（24）01101√

（25）01011√

（26）00111√

（27）11110√

（28）11101√

（29）11011√

（30）10111√

（31）01111√

（32）11111√

排列出來后即可進(jìn)行合并工作：

（9）+（18）1*010√

（12）+（13）01*10

（13）+（19）*1001√

（15）+（21）*0101

（20）+（27）1*110√

（22）+（29）1*011

（24）+（28）*1101√

（26）+（31）0*111√

（30）+（32）1*111√

按照原法則可進(jìn)行再一輪合并化簡：

（9）+（18）+（20）+（27） 1**10

（12）+（13）+（24）+（28） *1*10

（26）+（31）+（30）+（32） **111

至此無法進(jìn)一步合并了，可將未加“√”所對(duì)應(yīng)狀態(tài)之概率求出并求和，即是系統(tǒng)的可靠度：

RS=（1-R1）R2（1-R3）R4R5+（1-R1）R2R4（1-R5）+ （1-R1）R3（1-R4）R5+R1（1-R3）R4R5+

R1R4（1-R5）+R2（1-R4）R5+R3R4R5

=0.78876

從上面合并的實(shí)例中可以看出，合并總是依照這樣一個(gè)規(guī)律進(jìn)行的，即具有m個(gè)1的二進(jìn)制數(shù)只能和具有m±1個(gè)1的二進(jìn)制數(shù)合并，否則不能保證只有一個(gè)位置上的數(shù)碼不一樣。但不管怎樣，要靠人眼來尋找只有一個(gè)位置上數(shù)碼不一樣的二進(jìn)制數(shù)似乎還是太累了一點(diǎn)，因而，具體的合并工作可以用卡諾圖這么一個(gè)有力的輔助工具來完成。

2）卡諾圖

卡諾圖又稱真值圖，在邏輯代數(shù)中，若多項(xiàng)式表達(dá)式中每一項(xiàng)均出現(xiàn)Ai或A′i（i=1， 2，…，n），這時(shí)的每一項(xiàng)就叫最小項(xiàng)。由這個(gè)最小項(xiàng)的定義可以得知，系統(tǒng)的每一個(gè)微觀狀態(tài)都可以表現(xiàn)為一個(gè)最小項(xiàng)。

由于由兩個(gè)部件組成的系統(tǒng)一共有4個(gè)微觀狀態(tài)，兩個(gè)邏輯變量的最小項(xiàng)也有4個(gè)。如果把一個(gè)矩形分成四個(gè)小方格，每一個(gè)小方格表示一個(gè)最小項(xiàng)，就可以得到兩個(gè)邏輯變量的卡諾圖（見圖4-3）。每一個(gè)小方格中可以填入一個(gè)相應(yīng)的最小項(xiàng)，也可以填入一個(gè)表示相應(yīng)最小項(xiàng)的二進(jìn)制數(shù)碼。方格如果不填入最小項(xiàng)或二進(jìn)制數(shù)碼，此時(shí)的卡諾圖叫卡諾框。

圖4-3 兩個(gè)邏輯變量的卡諾圖

n個(gè)部件的系統(tǒng)具有2n個(gè)微觀狀態(tài)，因而n個(gè)邏輯變量的最小項(xiàng)有2n一個(gè)。一般來說，編制n個(gè)邏輯變量的卡諾圖時(shí)，首先要畫一個(gè)矩形，并把它分成2n個(gè)小方格。如果n為偶數(shù)（n=2m），則將矩形的底邊和高各置2m個(gè)小方格。如果n為奇數(shù)（n=2m+1），則將矩形的底邊置2m+1個(gè)小方格而將矩形的高置2m個(gè)小方格。然后，將全部n個(gè)邏輯變量相應(yīng)地分為兩組，一組m+1個(gè)或m個(gè)置于底邊處，另一組m個(gè)置于高處，并使得每一個(gè)變量都在每一個(gè)小方格中有所反映，并且每一個(gè)小方格對(duì)應(yīng)于一個(gè)不同的最小項(xiàng)，這樣便得到了一張n個(gè)邏輯變量的卡諾圖。

為了保證2n個(gè)小方格和2n個(gè)最小項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，作卡諾圖時(shí)可運(yùn)用下列訣竅：將矩形按照上述法則分成2n個(gè)小方格后，底或高的小方格數(shù)都是可被m個(gè)2來除的。以在高處為例，首先將高處小方格一分為二，選擇某一邏輯變量，將高的上半部分放這個(gè)變量的真值，下半部分放這個(gè)變量的非值。然后再考慮安排第二個(gè)邏輯變量。安排第二個(gè)變量時(shí)，首先取該邊長度的1/4，然后再把這個(gè)長度擴(kuò)大一倍，把整個(gè)高分成三格，并按第一個(gè)變量的真、非次序相間地填入第二個(gè)變量的真與非。在安排第m個(gè)變量時(shí)，首先取該邊長度的1/2m作一格，然后取2/2m作長度一格一格連續(xù)畫下去，最后得到長度為1/2m的一格。這樣即將該邊分成了一系列小格，按照第一個(gè)變量的真、非次序依次相間地填入第m個(gè)變量的真與非。這樣就可以保證卡諾圖中每一個(gè)小方格對(duì)應(yīng)于一個(gè)不同的最小項(xiàng)。

卡諾圖具有這么一個(gè)重要性質(zhì)，即相鄰兩個(gè)小方格所代表的最小項(xiàng)僅有一個(gè)邏輯變量的取值是不同的，其余均相同。這樣，相鄰兩個(gè)小方格所代表的系統(tǒng)微觀狀態(tài)就具備了合并的條件。在實(shí)際合并過程中，如果由若干個(gè)小方格組成的小矩形中所對(duì)應(yīng)的所有變量都只出現(xiàn)真或非或是真、非數(shù)量相等，則該小矩形可以當(dāng)成一個(gè)小方格來處理。在狀態(tài)概率計(jì)算時(shí)，真、非數(shù)量相等的變量取值以“*”代替，不參加計(jì)算。取真的變量取值為“1”，取非的變量取值為“0”。這樣，卡諾圖把煩瑣的合并工作變成了簡單的數(shù)格子工作。

在實(shí)際應(yīng)用卡諾圖進(jìn)行合并時(shí)，每一個(gè)小方格中既不是填入相應(yīng)的最小項(xiàng)，也不是填入二進(jìn)制數(shù)碼，而是填入當(dāng)系統(tǒng)處于小方格所代表的系統(tǒng)微觀狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)取值。為了使卡諾圖更簡單明了地反映問題，通常系統(tǒng)狀態(tài)取值為0時(shí)不填入圖中，而只填使系統(tǒng)狀態(tài)取值為1的那些小方格。

例4.2 用卡諾圖法化簡例4.1，并求系統(tǒng)可靠度。

解：圖4-3系統(tǒng)的卡諾框圖如圖4-4所示。

圖4-4 圖4-3系統(tǒng)的卡諾框圖

由例4.1可知，使系統(tǒng)宏觀狀態(tài)取值為1的系統(tǒng)微觀狀態(tài)一共有19個(gè)。在圖4- 4的卡諾框中找出相對(duì)應(yīng)的小方格，并在這些小方格中填上1，即可得到如圖4-5所示的卡諾圖。

圖4-5 圖4-3系統(tǒng)的卡諾圖

得到了卡諾圖，即可對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行合并，19個(gè)狀態(tài)可以合并成如圖4-6所示的五塊。

圖4-6 狀態(tài)合并卡諾圖

用二進(jìn)制數(shù)表示，如圖4-6所示的五塊分別可以表為：*10*1、*1*10、**1*1、10011、10*10。則系統(tǒng)的可靠度為

RS=R2（1-R3）R5+R2R4（1-R5）+R3R5+R1（1-R2）（1-R3）R4R5+ R1（1-R2）R4（1-R5）

=0.78876

看來，以卡諾圖為工具來進(jìn)行狀態(tài)合并要方便得多。注意，卡諾圖合并的結(jié)果不是唯一的，但計(jì)算出的概率值應(yīng)該是唯一的。