第1章　J＇s拼板編號法及拼板組合圖形

1．1　拼板的編號

為了認識區(qū)別各個不同形狀的拼板，J＇s拼板編號法對12塊拼板進行編號，如圖1－1所示。

圖1－1　J＇s拼板編號法

拼板的編號基本上采用象形法，將拼板的形狀與阿拉伯數(shù)字聯(lián)系在一起，相互對應，便于記憶。但其中8號拼板和10號拼板引用我國的數(shù)碼計數(shù)的象形^[1]，12號拼板則象形英文字母L^[2]。從0到10，再加上英文字母L共12個代碼，對應12塊拼板，易于識別和記憶。

拼板有正面與反面，在拼圖時允許拼板反擺，因此會出現(xiàn)拼板的正反。有些拼板的反面與正面是同樣的，如1號拼板，反過來也是同樣的形狀；但也有不一樣的，如2號拼板反過來就不同了。歸納起來，若拼板的形狀具有軸對稱的性質(zhì)，則稱為“偶拼板”（見圖1－2），偶拼板正反面圖形是相同的，如0號、1號、3號、8號、10號和L號拼板，計有6塊。若拼板反面的形狀與原圖形是軸對稱的，則稱為“奇拼板”，奇拼板有2號、4號、5號、6號、7號和9號，也是6塊。原拼板的對稱拼板稱為“拼板的反面”，在其編號上加“－”，如2號拼板的反面記作拼板 2號。圖1－3中列出了奇拼板及其編號。

圖1－2　偶拼板的軸對稱圖

在本書插圖及圖集中，偶拼板和奇拼板的正面采用純色，奇拼板的反面飾以小圓點花紋。

在實際拼圖中，偶拼板比較呆滯，奇拼板則顯得活躍。

圖1－3　具有正反面的奇拼板及其編號

1．2　拼板的演變與拼板間的關聯(lián)

12塊拼板雖然形狀各不相同，但它們都能互相變化，有著一定的內(nèi)在聯(lián)系。了解各拼板的來龍去脈及它們相互演變過程，有助于“傷腦筋十二塊”拼圖和進行圖形的變換。

每個拼板都是5個單位面積（格），拼板的演變就是拼板的格結構的變化。

1．2．1　拼板的分類

根據(jù)拼板形狀外框可以分成4種，如表1－1所示。前3類拼板的周長等于其圖形外框的周長，均為12，唯第四類不同。0號拼板，其外框周長為10，而拼板周長為12，因為它的中部空著一格；6號拼版的拼板周長與外框周長均為10，因為它有4個格集中在一起。

表1－1　拼板的分類

將拼板歸類后就可以看出這12塊拼板是由5個格逐步相互變化而形成的，它們的5個格是一個整體，不能分離，猶如5個格帶有磁性，雖然各個格可以轉(zhuǎn)動、移動，但始終在一起，至少有一邊相連。拼板中的5個格共有20條邊，即20；格與格相連的邊有4條，須去掉8條邊，使得外形周長為12。這就說明拼板的5個格，格與格之間至少有一邊相連，且最多也只有一條邊相連。特例是拼板6，它有4個格集中在一起，共有5條邊相連，須去掉10條邊，所以其外框周長只有10。

1．2．2　拼板中格的轉(zhuǎn)動變化（R變化）

1號拼板由5個格排成一長條，設為格1、格2、格3、格4和格5，且每兩格能連在一起后做90°轉(zhuǎn)動。如1號拼板中的格1，2、格2，3、格3，4、格4，5都可作為一個單元進行轉(zhuǎn)動，如鏈條似的。1號拼板中的格1，2以格2為中心進行轉(zhuǎn)動，若向左轉(zhuǎn)則成7號拼板，若向右轉(zhuǎn)即成 7號拼板。如圖1－4所示（格1轉(zhuǎn)向左或右，原格1取消，以格2為中心畫一圓弧來表示）。轉(zhuǎn)動（記為“R變化”）是相互的、可逆的。7號拼板是由1號拼板經(jīng)R變化而得，也可以認為1號拼板是由7號拼板經(jīng)R變化而來。

圖1－4　拼板1的轉(zhuǎn)動

在圖1－5中舉數(shù)例說明拼板中格的轉(zhuǎn)動（R變化）。圖形①是7號拼板中的格4，5向右轉(zhuǎn)，變成2號拼板。圖形②是7號拼板中的格4，5向左轉(zhuǎn)而成0號拼板。圖形③是L號拼板中的格1，2向左轉(zhuǎn)而成 9號拼板。圖形④是 9號拼板中的格4，5向下轉(zhuǎn)而成3號拼板。圖形⑤是 9號拼板中的格4，5向上轉(zhuǎn)而成 6號拼板。圖形⑥是 6號拼板中的格3，4向下轉(zhuǎn)而成L號拼板。圖形⑦是3號拼板中的格1，2向上轉(zhuǎn)而成9號拼板。

圖1－5　拼板的R變化舉例

1．2．3　拼板中格的移動變化（M變化）

拼板中的5個格都可移動，每次移動1格（但不能分離）。以7號拼板為例，如圖1－6所示。7號拼板中格1與格2相連，將格1向下移1格后變成 5號拼板（格1與格3相連），繼續(xù)將格1向下移1格便變成5號拼板（格1與格4相連），再將格1向下移1格后與格5相連，便變成7號拼板。由此可見，格1由上而下每移動1格，拼板變化一次，7號拼板通過移動（M）變化成 5，又成5，最后變成7。

圖1－6　拼板7的移動

在圖1－7中舉出了拼板M變化的有趣例子。

圖形①中號拼板中格2向左移就成9號拼板。圖形②是5號拼板中格5向左移就成了號拼板。圖形③是8號拼板中格1向上移變成 4號拼板；若格1繼續(xù)向上移就變成2號拼板。圖形④是8號拼板中格5向上移變成4號拼板；若4號拼板中格2向右移就成3號拼板。圖形⑤還是8號拼板中格5向上移變成4號拼板；但這次在4號拼板中變成格1向上移則成10號拼板；格1繼續(xù)向上移變成號拼板；若此時將格5向上移就又變成8號拼板；經(jīng)過幾次M變化，最末的8號拼板卻是初始8號拼板的倒圖。

圖1－7　拼板的M變化舉例

其實這僅僅是移動（M）變化的一部分。移動（M）變化與轉(zhuǎn)動（R）變化一樣也是相互的、可逆的，可無限移動。

1．2．4　轉(zhuǎn)動（R）變化與移動（M）變化的組合

拼板格的轉(zhuǎn)動（R）變化與移動（M）變化相組合后更是變化無窮。原則上講，12塊拼板都可以相互變化。某一塊拼板可以由其他拼板變化而來，而它也可以變化成其他拼板。在圖1－8中，格號按序排列的1號拼板，在轉(zhuǎn)動與移動的組合變化中可以變成其他十幾種拼板，最后又變回到1號拼板，但它們的格的排列經(jīng)過變化后就不同了。

拼板中格的變化詳細過程請參閱圖1－9“拼板中格的變化流程圖”。

圖1－8　拼板的R變化與M變化的組合

圖1－9　拼板中格的變化流程圖

圖1－9　拼板中格的變化流程圖

1．2．5　拼板的“相鄰”與“互余”

從上面可以看出有些拼板的形狀相互僅差一格，有的左右差一格，有的上下差一格，有的是一格旋轉(zhuǎn)90°。

兩拼板之間僅是上下或左右差一格的，稱它們?yōu)椤跋噜彙?，?和6，2和4，3和4等等；5和，6和也是相鄰的。某拼板與某“相鄰”的拼板互為“鄰塊”，如2和4相鄰，4是2的鄰塊，2也是4的鄰塊。

若兩拼板是由一端的一格旋轉(zhuǎn)90°而成的，稱它們?yōu)椤盎ビ唷?，?和7，1和7，3和9等等。某拼板與它“互余”的拼板互稱為其“余塊”，如0和7互余，7是0的余塊，0也是7的余塊。

拼板的鄰、余塊數(shù)目說明了它與其他拼板的聯(lián)系及活動能力。從表1－2中可以看出，拼板4和6的鄰、余塊最多，而拼板1和10最少。這就決定了拼板中4和6最活躍，而1和10最呆滯。所以在拼圖時盡量先安排拼板1和10，最后處理拼板4和6。

表1－2　拼板的鄰塊和余塊

拼板的“相鄰”和“互余”關系在拼板可變換組合圖形中起著重要的作用。許多“相鄰”、“互余”的拼板能組成各種可變換的組合圖形。所以熟悉和掌握拼板的“鄰塊”、“余塊”關系，在探索“傷腦筋十二塊”奧秘中至關重要。

1．3　拼板的組合圖形

由若干塊拼板構成的圖形稱為“組合圖形”。組合圖形形狀各不相同，數(shù)量千千萬萬。但在某一組合圖形中的拼板可以進行變換（相對位置的改變），換言之，這個圖形有數(shù)種拼法而外形沒有改變。這種圖形稱為“可變換的組合圖形”。以后講的組合圖形都是指可變換的組合圖形。

下面舉幾個簡單例子來說明可變換的組合圖形。

拼板2和4可以拼成的圖形有數(shù)十種，但只有如圖1－10所示的兩種是可變換的組合圖形，因為它們都是軸對稱圖形，把它們翻過來的圖與原圖是吻合的，但相對的排列改變了。圖1－10①中拼板改變成4，2；而圖1－10②中拼板2，變成了，4，正反面都改了。

圖1－10　可變換的組合圖形例1

圖1－11　可變換的組合圖形例2

例2是拼板0，5和 6拼成的組合圖形（見圖1－11）。右邊的圖形中3個拼板的相對位置改變了，同時拼板6翻轉(zhuǎn)了，但其外形沒有變。

圖1－12　可變換的組合圖形例3

圖1－12的例3中顯示了由拼板6，7和L拼成的組合圖形。其中拼板6和L構成的軸對稱圖形有兩種變換：6和L組合及 6和L組合；若把6和L看做一個整體，與7號拼板拼在一起，7號拼板旋轉(zhuǎn)變成 7，與拼板6和L的軸對稱圖形又有兩種組合，故此組合圖形有4種拼法，構成4幅圖形。雖然外形沒有改變，但其內(nèi)部的排列卻不相同了。

從以上3個例子可以看出，可變換的組合圖形，不但變換數(shù)量有許多，而且變換方式也不一樣，例1中的圖形為軸對稱圖形；例2為拼板的相對位置的改變；例3則是兩種變換復合在一起。所以變換方式多種多樣，且錯綜復雜。

1．4　拼板組合圖形變換的方式

拼板組合圖形中，拼板變換的方式可分為兩大類：對稱型變換和非對稱型變換。

在對稱型變換中，根據(jù)對稱形式還可細分為：①中心對稱型變換（DD型）；②縱軸對稱型變換（ZD型）；③斜軸對稱型變換（XD型）和④矩型對稱型變換（JD型）。

非對稱型變換可分為：①移位型變換（E型）；②替代型變換（T型）；③置換型變換（Z型）和④隱性變換（YT型）。

記錄時用英文大寫字母表示對稱型變換，如“DD”，“JD”，“E”，“Z”等，下標為組合圖形的序號，后面也可加一括號記錄參與拼板的編號。如圖1－13①中的變換為縱軸對稱，參與的拼板有3和4，查《組合圖形匯總表》（第三篇）可知應記為“ZD4（3，4）”。對于一些特殊的變換，如替代型變換、置換型變換、隱性變換的參與拼板編號的記錄方式請見各相關的章節(jié)。

1．4．1　對稱型變換

符合對稱型變換的圖形有很多類，如縱軸對稱圖形、中心對稱圖形，矩形圖形是上述兩種對稱圖形的綜合，還有斜軸對稱圖形。實施對稱變換時，參與的拼板編號沒有變化。

1．縱軸對稱組合圖形（ZD型）的變換

兩塊或數(shù)塊拼板構成的組合圖形如果是縱軸對稱圖形，那么繞縱軸將圖形翻過來仍舊可放回原處，也就是該組合圖形的反面圖和正面圖的外形是一樣的，只是排列改變了。

如圖1－13所示，圖形①中拼板3和4構成了縱軸對稱組合圖形ZD4，把它翻過來后，外形是一樣的，但排列由3和4變成了 和3。圖形②中，拼板1，6，7構成的圖形也是縱軸對稱圖形ZD17－1，翻轉(zhuǎn)后外形沒變，拼板的排列由1，7變成6，7，1。

圖1－13　縱軸對稱的組合圖形

圖1－14　偶拼板組成的縱軸對稱圖形

縱軸對稱圖形的組成方式很方便。

第一種是由偶拼板組成。偶拼板0，1，8和10本身就是軸對稱圖形，若相互在同一對稱軸上就構成縱軸對稱圖形。如圖1－14所示，拼板0和1、0和8、0和10、1和8等等。它們的組合翻過來后與原圖形一樣，且排列相同，在圖案中的變換并不能產(chǎn)生新的圖案，因此在可變換組合圖形中不予考慮。

第二種是互為“鄰塊”的相鄰的兩拼板構成的縱軸對稱組合圖形。在圖1－15中，拼板2和4（兩個圖形）、3和4（兩個圖形）、4和8、4和10、5和7、5和9（兩個圖形）等，它們相互之間都只相差一格，所以可以拼在一起組成縱軸對稱型圖形，它們是可變換組合圖形的重要組成部分。

大量的可變換縱軸對稱圖形是由兩個以上的拼板組成的。在第2．3節(jié)介紹的J＇s黃金組合圖形（見圖1－16①，ZD53－1）是非常特殊的縱軸對稱圖形，不但外形漂亮，在其圖形中包含有5種變換圖形（見圖2－14）；圖1－16中的圖形②是由拼板3，4，9構成的燈籠形縱軸對稱圖形（ZD19），圖形③是由拼板0，3，10和L構成的房屋形縱軸對稱圖形（ZD30－1）。這能激起對組合圖形的想象力，提高趣味性。

圖1－15　相鄰拼板組成的縱軸對稱圖形

圖1－16　其他縱軸對稱型組合圖形

2．中心對稱組合圖形（DD型）的變換

組合圖形如果是中心對稱的，那么該圖能以對稱中心為軸心在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°，得到的圖形仍可放回原處，但排列次序改變了。

圖1－17　中心對稱的組合圖形

圖1－17中畫出了兩個中心對稱組合圖形。圖1－17①是由拼板3，7，9構成的組合圖形DD3－3，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)180°后外形不變，排列從3，變成了，3。圖1－17②是由拼板5，2，3和6構成的中心對稱組合圖形DD7－2，平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°后外形沒變，排列由，3變成，3。

中心對稱變換與軸對稱變換的不同點在于它是在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°，拼板不翻過來；而軸對稱變換是把圖形（拼板）翻過來。它們的共同點是產(chǎn)生另外一個對稱的圖形。

3．矩形組合圖形（JD型）的變換

矩形的特點是既是縱軸對稱又是中心對稱，所以可以翻過來，又可以旋轉(zhuǎn)180°。它可變換出正、反、倒、順四個圖形。

圖1－18例舉了兩個矩形組合圖形。圖1－18①是由拼板7，9，L構成的5×3矩形組合圖形JD1－6。圖形（b）是圖形（a）的側反面圖，圖形（c）是圖形（a）經(jīng)過平面旋轉(zhuǎn)180°后得到的，圖形（d）是圖形（c）的側反面圖。同樣，圖1－18②是由拼板8，5，7和4組成的5×4矩形組合圖形JD2－4，圖形（a）到圖形（d）是它的4種不同排列的圖形。

圖1－18　矩形的組合圖形

4．斜軸對稱組合圖形（XD型）的變換

兩塊或數(shù)塊拼板構成的圖形，如以它的對角線為對稱軸對稱，則可以以對角線為軸，原處立體旋轉(zhuǎn)180°（翻過來）后的圖形與原圖形重合，則該圖形為斜軸對稱型組合圖形。

圖1－19　斜軸對稱組合圖形及其變換

圖1－19畫出了最簡單的斜軸對稱型組合圖形及其變換。如圖1－19①所示，由拼板2和9構成的組合圖形（a）是關于對角線AB對稱，它可以AB為軸進行翻轉(zhuǎn)（翻過來）成圖形（b），外形沒有變，但其排列改變了：由正面變成反面，即拼板的排列由2，9變成（XD3－1）。又如圖1－19②所示，由拼板3和 7構成的組合圖形（a）經(jīng)過翻轉(zhuǎn)后得到了圖形（b）（XD4－1），其排列也改變了。

要實施斜軸對稱型變換，斜軸對稱型圖形的構成是關鍵。下面介紹幾種斜軸對稱型圖形的構成方法。

兩個互余的拼板可構成斜軸對稱型圖形。如圖1－20中所舉的4例。拼板0和7（XD1）、1和7（XD2）、3和9（XD5）、4和6（XD8）都是互余的拼板，它們構成的組合圖形可以翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)后拼板的排列改變了，拼板的正反面也改變了。

圖1－20　互余拼板構成斜軸對稱型圖形

兩塊偶拼板也可以構成斜軸對稱型圖形。如偶拼板3和10、3和L、10和L等雖然也組成了斜軸對稱型圖形，但它們旋轉(zhuǎn)前后完全一致，如圖1－21所示，不僅圖形一樣，排列也沒有變，所以在可變換組合圖形中也不予考慮。

圖1－21　偶拼板構成斜軸對稱型圖形

由3塊或3塊以上的拼板構成的斜軸對稱型組合圖形通常是以正方形為基礎、以對角線為對稱軸，其外形變化多端，排列形式繁多。圖1－22中舉出了6種常見的外形和排列。圖形①由3塊拼板1，2，7構成（XD14）；圖形②也是由3塊拼板構成，它們?yōu)槠窗?，5，8（XD15－4）；圖形③由4塊拼板1，2，6和7構成（XD22－6）；圖形④由5塊拼板組成（XD29－1）；圖形⑤由6塊拼板組成（XD34－9）；圖形⑥由7塊拼板組成（XD36－8），其中由7塊拼板構成的斜軸對稱型圖形正好是正方形缺一格，即6×6－1＝35格，這種外形是圖案中常見的一種組合圖形。

圖1－22　以正方形為基礎的斜軸對稱型圖形

1．4．2　非對稱型變換

1．移位型組合圖形（E型）的變換

由兩塊或兩塊以上拼板構成的組合圖形，經(jīng)過圖形內(nèi)部拼板相對位置的移動（排列改變）而其外形不變的變換稱為移位型變換，記錄方式為E15（2，7，L）。

見圖1－23中所舉的例子。圖1－23①中圖形是由拼板6和7構成的組合圖形（E2），經(jīng)內(nèi)部拼板移位后外形仍然不變。同樣，圖1－23②中圖形是由拼板4和9組成（E1），圖1－23③中的圖形由拼板2，7，L組成（E15），圖1－23④中的圖形由拼板0，4，5組成（E4），經(jīng)過拼板移位，均產(chǎn)生了外形相同但內(nèi)部拼板排列不同的圖形。

圖1－23　移位型變換

圖1－24　二次移位變換

一般組合圖形中只有一次移位，產(chǎn)生一個新排列的圖形。但也有可做二次移位、產(chǎn)生兩個新排列的圖形。如圖1－24所示，圖中①為由3塊拼板0，4，6構成的組合圖形（E5），圖②為由4塊拼板2，4，5和L構成的組合圖形（E49）。它們經(jīng)過二次移位分別產(chǎn)生了兩個不同排列的圖形?？梢娒恳莆灰淮尉彤a(chǎn)生一個新圖形。

2．替代型組合圖形（T型）的變換

由兩塊或數(shù)塊拼板構成的圖形A與另兩塊或數(shù)塊拼板構成的圖形B，若A，B兩圖形的外形相同且能重合，那么圖形A與圖形B可互相替代。這種變換稱作“替代型變換”。由于涉及的拼板在變換前后的組合不一樣，記錄時除表明類別及編號外，最好標出兩組（或多組）可互相替代的拼板編號。

圖1－25中顯示了可以實施替代變換的若干組圖形。圖1－25①中有兩幅圖形A和B，圖形A由拼板0和4構成，圖形B由拼板6和7構成，它們具有相同的外形，所以它們可以相互替代，記作T4－2（0，4～6，7）。同樣，圖1－25②中的圖形A與圖形B也可以替代，即拼板0和10也與拼板6和L在構成A，B圖形時可以替代（T18－3）。圖1－25③中的圖形A與圖形B分別由3塊拼板構成，這兩組組合圖形的外形相同也可以替代（T75－3）。圖1－25④中有由拼板2和3、6和8、7和9構成的3幅相同的圖形，可以相互替代，記作T34（2，3～6，8～7，9）。同樣圖1－25⑤中也有由拼板1和7、5和8、9和L構成的3幅相同圖形（T27），可以相互替代。

圖1－25　替代變換的圖形

圖1－26　相鄰拼板組成的可替代的圖形

替代型變換實施方法有：

（1）兩個相鄰的拼板與另兩個相鄰的拼板組成的兩組圖形可相互替代。如a，b為兩個相鄰拼板，c，d為另兩個相鄰拼板，那么a，c組成的圖形可與b，d組成的圖形相互替代。

從圖1－26中可以看出，拼板6，0是相鄰的3個拼板，拼板2，8也是相鄰的3個拼板，它們的組合圖形2和6、0和和8的外形相同，可以相互替代。這種類型的圖形很多，最基本的列在表1－3中。

表1－3　相鄰拼板構成的可替代圖形

（續(xù)表）

（2）兩互余的拼板，與另兩個互余的拼板構成的兩個圖形可相互替代。

這種類型的圖形很多，常見的如圖1－27所示。圖1－27①中拼板0和7是互余的，拼板6和9也是互余的，那么拼板0和6構成的圖形與拼板7和9構成的圖形可相互替代（T9－2）。圖1－27②中拼板1和7是互余的，拼板4和6也是互余的，拼板1和4構成的圖形與拼板6和7構成的圖形可相互替代（T19）。從圖1－27③到圖1－27⑦所示的5組圖形都是由兩對互余拼板構成的可替代的圖形。

圖1－27　互余滑塊組成的可替代的圖形

表1－4列出了由互余拼板構成的可替代圖形。在表1－3和表1－4中，右下角標出了在拼圖過程中使用過的替代型變換編號?？梢娫谄磮D中替代型組合圖形的變換用得比較多。

3．置換型組合圖形（Z型）的變換

“置換”是借用了化學中的名詞。在化學的置換反應方程式中

即在反應過程中C從AB中把B置換出來了。

在組合圖形的變換中，拼板A和B構成的圖形，在其外形不變的前提下，拼板C從AB圖形中把B置換出來。這種變換同樣是可逆的，相互的。

圖1－28　置換型變換（一）

圖1－28中舉了兩個例子。在圖1－28①中，拼板2和6與拼板4和6構成的圖形的外形相同，所以2號拼板與4號拼板可以相互置換，即4號拼板從拼板2和6構成的圖形中把2號拼板置換出來，反之，2號拼板也可以從拼板6和4構成的圖形中把4號拼板置換出來。在圖1－28②中，3號拼板把6號拼板從拼板4和6構成的圖形中置換出來；反之，6號拼板也可以從拼板3和4構成的圖形中把3號拼板置換出來。

未被置換的拼板稱作“根”，被置換的拼板稱作“花”，形象地表示一根上的兩朵花可以互換。圖1－28①中6號拼板是根，拼板2，4是花，記為Z16（62－4）；圖1－28②中4號拼板是根，拼板3，6是花，則可記為Z5（43－6）。

置換型變換的實施方法有：

（1）利用能自身翻轉(zhuǎn)成相鄰拼板（差一格）的拼板作根，與其他兩相鄰拼板實施置換變換。拼板中，為自身翻轉(zhuǎn)成相鄰拼板的拼板，在置換型變換中常以它們作根。

以圖1－28①中的置換變換Z16（62－4）為例。根是能自身翻轉(zhuǎn)成相鄰的拼板，拼板2，4是相鄰的拼板，以作根可分別與拼板2，4構成相同的圖形，即生成能互相置換的圖形，所以拼板2，4可以相互置換。

表1－5給出了能實施置換型變換的拼板和它們的組合圖形。表中橫向為及，縱向為另外的相鄰拼板，交錯格為它們構成的能置換的圖形。

表1－5　能實施置換型變換的拼板及組合圖形

（2）6號拼板與其他互余拼板可以實施置換型變換。

由于6號拼板的特殊性質(zhì)——把拼板6翻身成?，既是移位一格（相鄰），又是將頭部轉(zhuǎn)一格（互余）。所以6號拼板還可以與其他互余的拼板構成同樣外形的圖形，使得那對互余的拼板相互置換。具體見表1－6所示。表中橫向為互余的拼板。

表1－6　6號拼板與互余拼板實施置換型變換

除此之外，尚有許多。圖1－29中畫出的幾例都是可以置換的圖形。置換在拼圖中極其重要，尤其是用于解決第十二塊拼板的難題。后面將詳述。

圖1－29　置換型變換（二）

4．隱性型組合圖形（YT型）的變換

組合圖形中拼板變換的方式雖然各不相同，但都在相同外形的前提下實施，或在圖形內(nèi)部變換（D型和E型），或相互變換（T型和Z型）。這種在外形上顯而易見，較容易認識的，稱之為“顯性變換”。相對而言，在組合圖形不同外形的情況下進行變換則較難識別，較隱蔽，故稱之為“隱性變換”。

為了說明隱性變換的特點，下面舉出兩例。

例1如表1－7所示，拼板4，5與拼板8，9都可構成外形相同的圖形α1，α2和β1，β2。

在顯性變換中，拼板4，5與拼板8，9可實施兩組替代型變換：第一組為替代型變換T54，替代的為圖形α；第二組為替代型變換T51替代的為圖形β。顯然，圖形α和圖形β是不同的。

表1－7　隱性變換（一）

在隱性變換中，圖形α雖然與圖形β是不同的兩種圖形，然而，拼板4和5原構成的圖形為α1，可以變換成圖形β1（見表1－7），從而取代由拼板8和9構成的圖形β2，替換出拼板8和9，即α1→β1；替換出來的拼板8和9構成圖形α2填入原圖形α1的位置，即β2→α2；這樣就完成了一次隱性變換（YT8）。本例的隱性變換是通過兩對替代型變換的組合完成的。

例2如表1－8所示，拼板1，2，5和6均可分別構成圖形α和β。其中，拼板1和5構成圖形α1，拼板2和5構成圖形α2，這實際上是置換型變換Z7（51－2）；拼板2和6構成圖形β1，拼板1和6構成圖形β2，這是置換型變換Z14（61－2）。由表1－8中可看出，圖形α1＋β1是由拼板1，2，5和6組成，圖形α2＋β2也是由拼板1，2，5和6組成，那么圖形α1＋β1可與圖形α2＋β2互相替代（YT2）。此例是利用兩個置換型變換組合后實施的隱性變換，比例1更隱蔽、更復雜。

表1－8　隱性變換（二）

隱性變換是組合圖形變換中最深奧的變換，但它有助于圖案最后兩塊拼板的拼圖，值得我們對它進行探索研究。

1．4．3　組合圖形變換方式小結

（1）組合圖形的變換要有奇拼板參與，大多數(shù)變換都離不開奇拼板的正面、反面的變換。因為變換的產(chǎn)生除了排列變化外，主要通過拼板正反面的變化。

（2）偶拼板雖然正反面是同一形狀，但在某些變換中，為了能直觀和保持圖形的完整性，有時也保留偶拼板的位置。如圖1－30中的6×6－1形式的旋轉(zhuǎn)型變換（XD36－22）。在圖1－31①中保留了偶拼板3和10，較容易看出圖1－30①中圖形（b）是圖形（a）旋轉(zhuǎn)后的圖形，這是一個旋轉(zhuǎn)型圖形。而在圖1－30②中把拼板3和10刪去，就較難看出圖形（b）是圖形（a）旋轉(zhuǎn)后的圖形。其實在旋轉(zhuǎn)中拼板3和10也是反過來的，一起參加變換，只是它們的反面和正面一樣，被忽略而已。

圖1－30　6×6－1的斜軸對稱型變換

（3）表1－9匯總了本節(jié)所介紹的6種變換方式。表中A，B，C，D表示拼板，α，β代表圖形。

表1－9　拼板變換方式匯總表

（4）用12塊拼板可以拼出許許多多可變換組合圖形，我們僅對在本書拼圖中出現(xiàn)的可變換組合圖形進行了整理，匯編在第三篇《表集》中的“組合圖形匯總表”內(nèi)?？傆嬘蠨D型變換24組（42幅），JD型變換7組（69幅），XD型變換36組（107幅），ZD型變換63組（98幅），E型變換148組（155幅），T型變換78組（104幅），YT型變換9組（9幅），Z型變換34組（39幅）。相信隨著拼出圖案的增加，可變換組合圖形會變得越來越豐富。

1．5　組合圖形中拼板間的關聯(lián)

1．5．1　鏈式關聯(lián)

若有3塊拼板A，B和C組成的圖形中，拼板A，B可變換成BA從而排列成BAC，而正好AC又可變換成CA，使排列變成BCA。這種關聯(lián)中只有先完成AB成BA的變換才能產(chǎn)生AC成CA的變換，A，B，C像鏈的三個環(huán)。該變換是可逆的，倒過來變換也一樣，可往返變換。整個變換是：ABC～BAC～BCA～BAC～ABC…像鐘擺一樣可來回變換，所以鏈式關聯(lián)也可稱為“擺式關聯(lián)”。組合圖形ABC通過兩次變換生成3幅組合圖形。鏈式關聯(lián)參與的拼板可以有4塊、5塊……變換可以有三次、四次……每增加一次變換就增加一幅圖形（一種新排列的圖形），因此形成一個族，這個族的圖形數(shù)量等于變換次數(shù)加1。

圖1－31所示為三塊拼板3，4，9的鏈式關聯(lián)。圖形①的排列為4－3－9，其中4－3組合是縱軸對稱圖形，通過變換ZD4可變成3－4組合，即圖形②，排列為3－4－9；此時的4－9組合又可以通過移位型變換E1變成圖形③，排列為3－9－4。從圖形①到圖形③是通過兩次變換生成了3幅圖形。必須注意，原來4和9之間并沒有變換關系，是通過3和4的變換后才有4和9的變換。假設從圖形①到圖形③的變換為順向，那么從圖形③到圖形①的變換則為逆向。變換可在此范圍內(nèi)往返進行。

圖1－31　鏈式關聯(lián)（一）

圖1－32　鏈式關聯(lián)（二）

圖1－32中舉出了另一例鏈式關聯(lián)。圖形由拼板0，1，7構成。圖形①的排列為1－0－7，若將0－7組合做斜軸旋轉(zhuǎn)變換XD1，可獲得圖形②；若將圖形②中1－7組合做斜軸旋轉(zhuǎn)變換XD2則變成圖形③的排列7－1－0。圖形也是經(jīng)過兩次鏈式關聯(lián)的變換，產(chǎn)生了3幅圖形。

圖1－33　鏈式關聯(lián)（三）

圖1－33所示是五塊拼板4，10，8，3和9的鏈式關聯(lián)。圖形①的排列為4－10－8－3 －9，其中組合4－10為軸對稱圖形，經(jīng)ZD8變換后成圖形②；在圖形②中組合4－8也可進行縱軸對稱變換ZD7，成為圖形③；圖形③中的拼板3－4組合為縱軸對稱型ZD4，變換后成圖形④；圖形④中拼板4－9組合又可做移位變換E1，變換后成圖形⑤。此例的鏈式關聯(lián)有4次變換，環(huán)環(huán)相扣，產(chǎn)生5幅圖形。變換可以由圖形①到圖形⑤，也可以從圖形⑤到圖形①。值得注意的是，在變換中，4號拼板從上方逐步下降到下方，也可以從下方逐步升到上方，顯得很活躍。

1．5．2　復式關聯(lián)

一個組合圖形中有幾個變換，而且變換時各不相干，這種關系的變換稱之為復式關聯(lián)。

圖1－34　復式關聯(lián)

圖1－34是由拼板1，5，6構成的圖形。整個圖形可以做斜軸旋轉(zhuǎn)XD15－2，其中由5和6拼成的圖形也可單獨進行旋轉(zhuǎn)XD4－2，由此兩個旋轉(zhuǎn)變換是各不相干的。當拼板1，5，6整體旋轉(zhuǎn)時不用考慮拼板5和6的旋轉(zhuǎn)；組合5－6旋轉(zhuǎn)時也不會影響1，5，6的整體旋轉(zhuǎn)?？傊?，在復式關聯(lián)中兩個變換各不相干，都可單獨進行變換。所以，最終產(chǎn)生的圖形數(shù)等于2×2＝4幅。

圖1－35畫出了由拼板0，4，6，9，10和L組成的5×6矩形圖形JD4－1的復式關聯(lián)。矩形本身就有4個變換的圖形（圖中的圖形①到圖形④），而其中拼板4和9又可作移位變換E1，產(chǎn)生兩種變換圖形，一共產(chǎn)生2×4＝8幅圖形，圖1－35中的8幅圖形都是它的變換圖形。所以該矩形圖形的變換具有各不相干的兩種類型（矩形變換與移位變換各不相干），屬于復式關聯(lián)。

圖1－35　5×6矩形圖形JD4－1的復式關聯(lián)

1．5．3　混合式關聯(lián)

若一個組合圖形中，拼板既有鏈式關聯(lián)，又有復式關聯(lián)，則稱該圖形具有混合式關聯(lián)。

圖1－36　混合式關聯(lián)

圖1－36所示為由拼板0，2，3，6，9，10和L組成的組合圖形，整個圖形是（6×6－1）的斜軸旋轉(zhuǎn)圖形XD36－11?，F(xiàn)在分析一下該組合圖形的變換。

首先，該圖形可以斜軸旋轉(zhuǎn)，圖形④、⑤、⑥是圖形①、②、③經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的圖形。圖中3號拼板也參與了旋轉(zhuǎn)，因為它的正反面是一樣的，所以旋轉(zhuǎn)前后沒有變化。在圖中取掉3號拼板不影響旋轉(zhuǎn)變換，但識別比較難些。

拼板0和10構成的圖形是對稱型圖形，雖然它們可以變換，但0和10是偶拼板，正反面是一樣的，所以變換后仍舊是原樣。

拼板2，6，9和L組成的圖形中，拼板可以進行移位變換E55，圖形①和圖形②就是它們相互移位的兩個圖。

在圖形②中，拼板6和9又可以進行斜軸旋轉(zhuǎn)XD9而得到圖形③。但拼板6和9的旋轉(zhuǎn)是在拼板2，6，9和L移位的前提下才能進行，所以它們是鏈式關聯(lián)。

由此可見，圖1－36的變換由兩部分組成：整體圖形的旋轉(zhuǎn)變換；部分圖形的移位與旋轉(zhuǎn)。這種復式與鏈式的混合式關聯(lián)一共可產(chǎn)生2×（2＋1）＝2×3＝6種圖形。

【注釋】

[1]我國的計數(shù)之字曰“數(shù)碼”。圖1－1中的數(shù)碼符號參見1912年12月（民國二年）商務印書館《新字典》（朱祖謀主編，蔡元培序）中“石”部“碼”字條，第276～277頁。

[2]選用L表示第十二塊拼板，有兩層意思。第一，除0外它位于后11位，用阿拉伯數(shù)的1和中文的“一”相組合而成英文字母大寫的L，形象化了，便于記憶；第二，L在英文26個字母中正好排在第十二位。