3.3.1　洛特卡定律

1926年，在美國一家人壽保險(xiǎn)公司供職的統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛特卡經(jīng)過大量統(tǒng)計(jì)和研究，在美國著名的學(xué)術(shù)刊物《華盛頓科學(xué)院學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇題名為《科學(xué)生產(chǎn)率的頻率分布》的論文，旨在通過對發(fā)表論著的統(tǒng)計(jì)來探明科技工作者的生產(chǎn)能力及對科技進(jìn)步和社會發(fā)展所作的貢獻(xiàn)。這篇論文發(fā)表后并未引起多大反響，直到1949年這一研究成果才引起學(xué)術(shù)界關(guān)注，并譽(yù)之為“洛特卡定律”。

洛特卡選擇美國《化學(xué)文摘》和德國奧爾巴赫《物理學(xué)史一覽表》為數(shù)據(jù)源研究科技工作的論著數(shù)量分布。他統(tǒng)計(jì)分析了《化學(xué)文摘》1907—1916年10年累積索引中的部分作者，即姓氏以字母A和B開頭的6 891位作者。分別列出發(fā)表過1篇、2篇，一直到346篇論文的人數(shù)。《物理學(xué)史一覽表》包括了1900年前物理學(xué)領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)的1 325位物理學(xué)家及其論著，取其全部數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(數(shù)據(jù)表略)。

利用上述數(shù)據(jù)，洛特卡以論文數(shù)(x)和作者數(shù)(y_x)的對數(shù)為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)(即logx和logy)作圖，兩組數(shù)據(jù)都是直線(如圖3-4所示)。圖中虛線表示《化學(xué)文摘》數(shù)據(jù)，實(shí)線代表《物理學(xué)史一覽表》的數(shù)據(jù)。用最小二乘法計(jì)算擬合直線的斜率，近似為－2。

圖3-4　洛特卡分布曲線

據(jù)洛特卡分析，在論文數(shù)x和作者數(shù)y_x之間，存在著下列一種關(guān)系:

xⁿy_x=c　　　　　　　　　(3-9)

式中，y_x是發(fā)表了論文x篇的作者數(shù)，n和c是對應(yīng)于這一典型數(shù)據(jù)集合而估計(jì)出來的兩個(gè)常數(shù)，n的數(shù)值在2上下波動。具體到洛特卡統(tǒng)計(jì)的實(shí)例，指數(shù)n近似為2.0。于是(3-9)式可改為:

上式兩邊同除以著者總和∑y_x得:

令f(y_x)實(shí)際表示寫x篇論文的頻率(即占作者總數(shù)的比例)是新的常量，表示作者取樣總數(shù)的比例，這樣(3-11)式可寫成:

這就是著名的平方反比分布，現(xiàn)求常數(shù)C。令x=1，2，…，n，…，則f(y_x)分別為f(y₁)，f(y₂)，…，f(y_n)…，我們有:

兩邊取累積和:

亦即:

由于f(y_x)表示寫x篇論文的作者出現(xiàn)的頻率，顯然有:

亦即:

按照平方反比分布，所有生產(chǎn)一篇論文的著者的比例剛剛超過60%。例如在《物理學(xué)史一覽表》數(shù)據(jù)中，共有1 325位作者，寫一篇論文的為784人，占總數(shù)的59.2%。《化學(xué)文摘》數(shù)據(jù)中，姓氏以A開頭的作者共1 543人，寫一篇論文者為890人，占57.7%;以B開頭的作者共5 348人，寫一篇論文者3 101人，占57.98%。二者合計(jì)平均后占作者總數(shù)的57.9%。如果取絕對數(shù)，則可表述為:生產(chǎn)2篇論文的作者大約是生產(chǎn)1篇論文作者數(shù)的，生產(chǎn)3篇論文的作者數(shù)量大約是生產(chǎn)1篇論文作者數(shù)的。生產(chǎn)n篇論文的作者數(shù)量大約是生產(chǎn)1篇論文作者數(shù)量的。

洛特卡定律是對兩組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的推廣，是對信息生產(chǎn)的一般理論估計(jì)，而不是一個(gè)精確的統(tǒng)計(jì)分布，因而有其局限性。在洛特卡之后，許多學(xué)者采用不同的數(shù)學(xué)工具對不同學(xué)科領(lǐng)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，都獲得了與洛特卡定律相同的結(jié)論，只是(3-9)式中的n和c是更為一般的參數(shù)而不是常數(shù)。經(jīng)典的洛特卡表達(dá)式即平方反比分布可視為特例。