走向后實(shí)證主義的數(shù)學(xué)發(fā)展觀(guān)

□［荷蘭］E.格拉斯　□陳祖亮　譯

導(dǎo)言

仿照拉卡托斯關(guān)于數(shù)學(xué)的擬科學(xué)性和方法的準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)特征的研究，1980年代產(chǎn)生了多種多樣新后實(shí)證主義數(shù)學(xué)發(fā)展模型。這里，后實(shí)證主義是一個(gè)總稱(chēng)，它指那些斷言全部知識(shí)具有社會(huì)和歷史性的現(xiàn)代理論。在后實(shí)證主義那里，辯護(hù)的邏輯與發(fā)現(xiàn)的范圍(社會(huì)的、歷史的)的嚴(yán)格區(qū)分被拒斥，知識(shí)的獲得和合理性評(píng)價(jià)被看作依賴(lài)于構(gòu)造假說(shuō)的概念框架。理論決定人類(lèi)看待世界的方式，但理論框架并非是確定不變的，而是隨時(shí)間、地點(diǎn)、歷史和文化的變化而改變，只是就它們達(dá)到預(yù)定的認(rèn)識(shí)目的而言，當(dāng)時(shí)無(wú)庸置疑地被接受了。但是，由于新問(wèn)題、新情況的出現(xiàn)而導(dǎo)致的內(nèi)部和外部新要求，這些理論也許不得不進(jìn)行相應(yīng)的變革與調(diào)整，以便能適應(yīng)新的實(shí)踐領(lǐng)域和文化環(huán)境。

既然科學(xué)理論從來(lái)就不可能與所有的證據(jù)材料一致(它們生來(lái)就是被證偽的)，那么僅僅經(jīng)驗(yàn)或證據(jù)與理論不一致不可能是拋棄或替換理論的充分理由;除非有一個(gè)能夠一貫地替換某一理論的理論，它是不會(huì)被拋棄的。然而，替換必然有得有失，而且二者不可能均衡，因此，衡量一組新的基本假設(shè)是否成功，一般不能夠使用適合于舊理論的標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)檎J(rèn)識(shí)的前提(priorites)往往由于同樣的原因根本改變了。這樣，在科學(xué)知識(shí)發(fā)展的后實(shí)證主義說(shuō)明中，“不可通約”作為一個(gè)主要范疇出現(xiàn)了。在這種說(shuō)明中，科學(xué)(包括數(shù)學(xué))理論的變化發(fā)展已不是符合合理性方法論規(guī)則，而是由于理論在新的歷史環(huán)境中出現(xiàn)了疑難問(wèn)題，為了解決新的疑難問(wèn)題而對(duì)概念的結(jié)構(gòu)和論證的方式進(jìn)行根本性變革。對(duì)科學(xué)變革的合理評(píng)價(jià)，包括新、舊綱領(lǐng)的合理比較，邏輯的方法已不適用，迫使我們超越純邏輯的辯護(hù)。

就數(shù)學(xué)而言，大多數(shù)后實(shí)證主義哲學(xué)家認(rèn)為與自然科學(xué)的情況截然不同。確實(shí)，數(shù)學(xué)命題或理論不依賴(lài)于觀(guān)察和實(shí)驗(yàn)，而依賴(lài)于邏輯論證。但是，說(shuō)數(shù)學(xué)陳述是邏輯的，以區(qū)別于經(jīng)驗(yàn)陳述是一回事，在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)之間進(jìn)行嚴(yán)格區(qū)分是另外一回事，科學(xué)和數(shù)學(xué)都不只是由邏輯論證構(gòu)成。

從邏輯的觀(guān)點(diǎn)看，經(jīng)驗(yàn)科學(xué)遠(yuǎn)非“經(jīng)驗(yàn)”的。較成熟的自然科學(xué)極其類(lèi)似于數(shù)學(xué)，它的概念體系和結(jié)構(gòu)在很大程度上是非觀(guān)察的和自給的(self-supporting)，要獲得可以檢驗(yàn)的結(jié)果需要復(fù)雜的理論推導(dǎo)，并且它們的經(jīng)驗(yàn)陳述依賴(lài)于其自己的關(guān)于名詞意義的假定:對(duì)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)條件和過(guò)程、理想化條件的解釋。簡(jiǎn)言之，依賴(lài)于更加基本的觀(guān)察理論。因此，檢驗(yàn)一個(gè)科學(xué)理論，最終意味著看它是否與和它有關(guān)的更低層次理論具有一致性(很類(lèi)似于數(shù)學(xué));而且，不通過(guò)檢驗(yàn)理論而解決“經(jīng)驗(yàn)”的困難總是可能的(但并非總是合理的)。

相反，數(shù)學(xué)在很多方面卻非常像科學(xué)。實(shí)際上，如果數(shù)學(xué)僅是邏輯真(分析的、重言式的)的陳述構(gòu)成的語(yǔ)言系統(tǒng)，那么它必然沒(méi)有任何經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容，它的歷史發(fā)展也必然由連續(xù)的邏輯增生構(gòu)成，而不會(huì)存在不可通約性。然而實(shí)際情況是，在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，不可通約性雖然不明顯但卻較普遍，非常類(lèi)似于我們?cè)谧匀豢茖W(xué)中所見(jiàn)到的。當(dāng)數(shù)學(xué)被假定“無(wú)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容”(means nothing)，它怎么能夠在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)和實(shí)踐中產(chǎn)生重要作用呢?確實(shí)，一旦數(shù)學(xué)用形式的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，它在經(jīng)驗(yàn)上就不可反駁，但理論科學(xué)何嘗不是如此呢?無(wú)論科學(xué)還是數(shù)學(xué)，形式化理論總是能夠免于非形式的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)的反駁，無(wú)論這種證據(jù)的反駁多么頑強(qiáng)——這方面的做法，數(shù)學(xué)和科學(xué)一樣。

探究數(shù)學(xué)后實(shí)證主義解釋可能性的一個(gè)明顯方法是，轉(zhuǎn)換后實(shí)證主義科學(xué)觀(guān)，把科學(xué)和數(shù)學(xué)同樣看待。為此，我們從拉卡托斯的準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)哲學(xué)開(kāi)始談起。

拉卡托斯準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)哲學(xué)

根據(jù)實(shí)證主義觀(guān)點(diǎn)，數(shù)學(xué)理論是依靠邏輯證明為真的，這種邏輯證明完全獨(dú)立于數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程，因而數(shù)學(xué)發(fā)展就是真命題的不斷累積。然而，拉卡托斯等人的研究表明，確立數(shù)學(xué)知識(shí)“合適基礎(chǔ)”(或者是邏輯，或者是語(yǔ)言約定，或者是直覺(jué))的企圖要么會(huì)導(dǎo)致惡性循環(huán)或無(wú)窮回歸，要么就要求助于教條主義信條。為跳出教條主義的窠臼，拉卡托斯在反教條主義(因而他也是可誤論者)基礎(chǔ)上恢復(fù)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)邏輯的基本要素——批判性爭(zhēng)論和討論——的重要地位。

在《證明與反駁》中，他表明了數(shù)學(xué)發(fā)展如何能被看成一個(gè)“借助證明與反駁而改進(jìn)”的辯證過(guò)程，以及準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)(以思想實(shí)驗(yàn)的形式)是如何推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)的發(fā)展就是在已接受的背景知識(shí)中提出猜測(cè)，然后構(gòu)造啟發(fā)性反例(思想實(shí)驗(yàn))，這樣不斷地猜測(cè)與反駁而不斷改進(jìn)的過(guò)程。傳統(tǒng)的旨在建立數(shù)學(xué)知識(shí)真理性的方法論讓位于這樣一種方法論，它否認(rèn)數(shù)學(xué)追求真理性，主張數(shù)學(xué)是盡力去把基本原理闡明得清楚明白;數(shù)學(xué)理論不追求絕對(duì)的真，而追求越來(lái)越好，進(jìn)步而非真理成為數(shù)學(xué)知識(shí)的典范。

拉卡托斯把數(shù)學(xué)看成準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)科學(xué)意味著，在準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)的理論系統(tǒng)中，原初(initial)真值不在“頂部”(at the top)(歐幾里得幾何系統(tǒng)便是如此)，而是在“底部”(at the bottom)。主要的邏輯流向是證偽的不斷傳遞，它從非形式化層次關(guān)于實(shí)在知識(shí)的基本陳述向更高級(jí)的被認(rèn)為準(zhǔn)確、清晰表達(dá)了這些非形式內(nèi)容的公理傳遞。對(duì)非形式內(nèi)容進(jìn)行形式化的形式理論，從它們必須能夠一貫地加以說(shuō)明的前形式知識(shí)的內(nèi)容中獲得意義。與在科學(xué)中一樣，形式化提供了一個(gè)更加準(zhǔn)確、融貫的對(duì)基于直覺(jué)知識(shí)的說(shuō)明，而不是先驗(yàn)的“基礎(chǔ)”。形式理論的非形式模型是“潛在證偽”的源泉:通過(guò)改進(jìn)公理的“錯(cuò)”的推論，數(shù)學(xué)理論的內(nèi)容變得越來(lái)越豐富。

邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義的基本綱領(lǐng)已過(guò)時(shí)，它們已退化為彼此不相干的信念系統(tǒng)。進(jìn)步的綱領(lǐng)是批判的綱領(lǐng)，把數(shù)學(xué)看作準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，它的“邏輯”不是第一原理真理性從“上”向“下”的傳遞，而是在關(guān)于實(shí)在知識(shí)的非形式層次上，以啟發(fā)性反例形式“向上”證偽第一原理的不斷傳遞。

我認(rèn)為，拉卡托斯關(guān)于數(shù)學(xué)性質(zhì)準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)的說(shuō)明顯然是現(xiàn)存最有希望的哲學(xué)綱領(lǐng)。但是，他用來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)增長(zhǎng)的方式受到他的方法論所固有的“相對(duì)性”的妨礙，這使得理解他所主張的數(shù)學(xué)發(fā)展是由合理性方法論指導(dǎo)的過(guò)程成了問(wèn)題，像我在別處已表明的那樣，數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的最重要關(guān)頭，蔑視邏輯(方法論)術(shù)語(yǔ)的重構(gòu)。在下文中我將表明，拉卡托斯的方法論僅僅是事后說(shuō)明，甚至是事后的，也不能說(shuō)明科學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)。

歷史證偽拉卡托斯的元方法論

既然數(shù)學(xué)理論是不能絕對(duì)證實(shí)的(否則也許意味著要求助于教條主義的“第一原理”)，我們只能相對(duì)于在它之前的理論和與它相競(jìng)爭(zhēng)的理論來(lái)評(píng)價(jià)它，被評(píng)價(jià)的是“綱領(lǐng)”——由“硬核”(基本假定)和“保護(hù)帶”(可修正的理論系列)構(gòu)成。就一個(gè)綱領(lǐng)被接受而言，其硬核是不可反駁的。對(duì)綱領(lǐng)的評(píng)價(jià)是看理論系列的變化是進(jìn)化還是退化，即得到還是失去知識(shí)內(nèi)容。就同一綱領(lǐng)而言，能夠根據(jù)內(nèi)容的增減進(jìn)行評(píng)價(jià);不同的綱領(lǐng)，內(nèi)容本身不能直接比較。因此，一個(gè)退化綱領(lǐng)的內(nèi)容也許比正在快速成長(zhǎng)的競(jìng)爭(zhēng)者要“多”。我們也無(wú)法知道一個(gè)非進(jìn)步綱領(lǐng)何時(shí)復(fù)活(歷史上多次出現(xiàn)這種情況)。正如拉卡托斯所指出:“堅(jiān)持一個(gè)退化綱領(lǐng)直到它被競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手取代，甚至在取代之后仍堅(jiān)持它，并非是不合理的?！彼裕M(jìn)步的“相對(duì)性”使方法論評(píng)價(jià)必然是模糊的。

事實(shí)上，如果合理選擇能夠預(yù)先得到辯護(hù)，那么理性的科學(xué)家就能夠無(wú)歧義地同時(shí)達(dá)成共識(shí)，也就沒(méi)有公開(kāi)的理性競(jìng)爭(zhēng)者了。但是，拉卡托斯的方法論使合理選擇完全依賴(lài)于競(jìng)爭(zhēng)綱領(lǐng)間進(jìn)步的相對(duì)評(píng)價(jià)，他的方法論自身消滅了預(yù)先性(forwards-directedness)，只能是事后說(shuō)明(backwards-directed)。

盡管拉卡托斯的方法論是事后說(shuō)明，但很明顯它不是要說(shuō)明數(shù)學(xué)理論實(shí)際上產(chǎn)生、調(diào)整、改正等的曲折過(guò)程，而是重構(gòu)在“世界3”(third-world)層次數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程?！笆澜?”是客觀(guān)知識(shí)(定理、證據(jù)、理論)層次，這種客觀(guān)知識(shí)是從伴有人的因素的變化不定的“實(shí)際歷史”(real history)中“提煉”來(lái)的。所以，拉卡托斯方法論的目的不是普通意義上說(shuō)明數(shù)學(xué)實(shí)際發(fā)展的歷史，而是重構(gòu)被認(rèn)為是它的“世界3”的等價(jià)物——只有他的方法論標(biāo)準(zhǔn)適用于它。這個(gè)方法論模型顯然必須依賴(lài)這些條件:(a)數(shù)學(xué)總體上必然是進(jìn)步的，否則，把數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史作為檢驗(yàn)其方法論的一個(gè)例子是毫無(wú)意義的;且(b)它的進(jìn)步證明了一種方法論排除所有歷史和文化因素是合理的。這些條件不僅和數(shù)學(xué)實(shí)際發(fā)展的歷史不一致，而且它們對(duì)于說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)增長(zhǎng)也非常不必要。

拉卡托斯的歷史重建預(yù)先假定科學(xué)的合理性方面是完全能夠由發(fā)現(xiàn)的邏輯所說(shuō)明的。在這個(gè)意義上，內(nèi)部史被認(rèn)為對(duì)于合理說(shuō)明客觀(guān)知識(shí)的增長(zhǎng)是自足的;而外部史是無(wú)關(guān)緊要的，它僅被用來(lái)說(shuō)明在實(shí)際的歷史和它的合理重構(gòu)的知識(shí)之間極少量不一致的非合理性。拉卡托斯的元方法論綱領(lǐng)有意義僅僅基于這個(gè)假定，就客觀(guān)知識(shí)(objectively articulated products)而言，科學(xué)進(jìn)步必然完全能被方法論所說(shuō)明。依這種觀(guān)點(diǎn)，這些知識(shí)產(chǎn)品與它們的生產(chǎn)者分開(kāi)了，并且有“它們自己的增長(zhǎng)原則，它們自己的辯證法”，這樣“在實(shí)際歷史中所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)家的活動(dòng)只是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)笨拙地探索”。

我認(rèn)為這種假定是不正確的，而且對(duì)于合理解釋數(shù)學(xué)的發(fā)展也是多余的。為什么非方法論的因素，比如說(shuō)“先驗(yàn)的”，對(duì)于理解數(shù)學(xué)知識(shí)增長(zhǎng)就是不合理的和無(wú)關(guān)的呢?數(shù)學(xué)中一些重大的變革事件實(shí)際上已表明，拉卡托斯的辯證法不適用。因?yàn)榘凑绽ㄍ兴沟姆椒ㄕ?，這些重大變革事件必然要?dú)w入“非合理的”、“外部的”和“對(duì)于我們理解數(shù)學(xué)發(fā)展是無(wú)關(guān)的”這一類(lèi)。拉卡托斯也許不得不這么做，但是，這是非常奇怪、有悖常理的!也許真正的進(jìn)步恰好依賴(lài)于非方法論的因素!這并非表明我們要放棄“合理性”的追求，因?yàn)榉艞壸非罂陀^(guān)標(biāo)準(zhǔn)將使我們陷入相對(duì)主義。然則，必然的挑戰(zhàn)是放棄“內(nèi)部(方法論的)邏輯的”考慮之后，如何來(lái)說(shuō)明“合理性”。在我看來(lái)，關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的合理性說(shuō)明不應(yīng)被限制在兩個(gè)連續(xù)理論間的“形式”(formal)關(guān)系;也包括“功能”(functional)方式，在其中，概念結(jié)構(gòu)和推理方式能夠越來(lái)越好地解決它們打算解決的新問(wèn)題。

庫(kù)恩的觀(guān)點(diǎn)

科學(xué)知識(shí)的變化是廣泛而深刻的。數(shù)學(xué)的發(fā)展也具有庫(kù)恩所描述的常規(guī)和非常規(guī)兩個(gè)方面。這兩個(gè)方面研究的方式和重點(diǎn)是非常不同的。一方面，常規(guī)研究方面，學(xué)科研究使用既定的方法或技術(shù)，研究細(xì)節(jié)問(wèn)題，在不斷優(yōu)化研究方法以盡量準(zhǔn)確、全面地解決因嚴(yán)格劃分而導(dǎo)致的特定領(lǐng)域的全部問(wèn)題時(shí)，形成自己特殊領(lǐng)域的專(zhuān)家集團(tuán)。另一方面，非常規(guī)研究，即革命研究，很少執(zhí)著地專(zhuān)注于某一學(xué)科的特殊領(lǐng)域，主要專(zhuān)注于如何改進(jìn)概念的結(jié)構(gòu)和推理方法，以及利用有限的資源去盡力解決跨領(lǐng)域的問(wèn)題。

概念的更新意味著設(shè)定的專(zhuān)業(yè)和學(xué)科間的界限被打破，并因此引進(jìn)了與要解決的新問(wèn)題有關(guān)的方法和理論。這促使我們?cè)趦蓚€(gè)“純”學(xué)科專(zhuān)業(yè)間的灰色區(qū)域進(jìn)行研究探索，在那里，原先專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)方法不再適用。這種情況下，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域(formal areas)研究的合理性在于恰當(dāng)解決具體問(wèn)題的方法而不是好的形式化規(guī)則，形式化的一般規(guī)則只能使數(shù)學(xué)家免于不連貫和不一致。邏輯證明方法不僅不可能完全實(shí)現(xiàn)自證(self-justifying)，而且還要借助對(duì)邏輯證明方法的說(shuō)明和解決問(wèn)題的結(jié)果而證明自己的恰當(dāng)性。為了解決因情況變化而改變了的疑難問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)、論證方法和合理性探究方法的不斷改進(jìn)都是實(shí)用性的(functional)，而不是形式化的。

因此，過(guò)于狹窄的關(guān)于合理性發(fā)展的邏輯或形式概念和分析的內(nèi)涵必須擴(kuò)大，以便包括功用的方法，來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)概念和方法要解決的問(wèn)題的社會(huì)文化性。在顯著進(jìn)步的重要案例中，事后呈現(xiàn)出的具有根本變革的特征是，在新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中引入了看問(wèn)題的新方式和解決問(wèn)題的新方法。

通常，新理論顯示先前被當(dāng)作不相干的問(wèn)題卻是緊密相聯(lián)的，并促使數(shù)學(xué)家在一個(gè)新的、更加統(tǒng)一和綜合的概念和推理系統(tǒng)下把數(shù)學(xué)問(wèn)題分為不同的類(lèi)，并且通過(guò)抽象和理想化來(lái)說(shuō)明這些問(wèn)題而不必求助于原先的教條。新理論的變革導(dǎo)致的顯著變化是數(shù)學(xué)理論對(duì)象內(nèi)容和意義的改變，進(jìn)而改變了數(shù)學(xué)領(lǐng)域亞學(xué)科間的關(guān)系和界限，以及數(shù)學(xué)和其他知識(shí)活動(dòng)(如科學(xué)和技術(shù))間的關(guān)系和界限，而且數(shù)學(xué)家也更深刻地理解了他們自身的工作。

數(shù)學(xué)家審視他們自己的工作，往往強(qiáng)烈地受他們所遵從范式(normative framework)的影響，并且反過(guò)來(lái)，范式又受數(shù)學(xué)家在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)為自己辯護(hù)不得不依賴(lài)的關(guān)于范式的成就、競(jìng)爭(zhēng)力和成熟度的影響。由于范式的“思想體系的封閉性”(ideological closure)，范式徹底的變革就是數(shù)學(xué)總體形象(image)變得與舊范式不可通約，它的對(duì)象、目的和標(biāo)準(zhǔn)也完全改變，新舊觀(guān)點(diǎn)是如此的不同，以至于它們根本不可能達(dá)成一致，并對(duì)對(duì)方作出合理的判斷與評(píng)價(jià)。數(shù)學(xué)研究實(shí)踐是首要的，當(dāng)實(shí)踐研究得到完全不同的新的數(shù)學(xué)范式，并且新舊范式間完全沒(méi)有邏輯聯(lián)系，這樣便沒(méi)有什么理由要求這部分?jǐn)?shù)學(xué)家團(tuán)體不去堅(jiān)持他們自己認(rèn)為成就最高和最有希望的理論。

根據(jù)我的研究，處于競(jìng)爭(zhēng)的舊范式陣營(yíng)的數(shù)學(xué)家群體往往求助于可靠的技術(shù)和流行的觀(guān)念形態(tài)去證明他們的觀(guān)點(diǎn)和支持他們進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的方式。他們選擇的主要方法是比新范式陣營(yíng)有效地控制吸收新成員的穩(wěn)固不變的機(jī)會(huì)，尤其是對(duì)學(xué)生的培訓(xùn)，這些學(xué)生很可能仍持有以往傳授給他們的常規(guī)觀(guān)點(diǎn)。由于學(xué)生在概念框架形成過(guò)程中會(huì)獲得各種技術(shù)，這種培訓(xùn)和前輩數(shù)學(xué)家的專(zhuān)業(yè)經(jīng)驗(yàn)會(huì)繼續(xù)影響他們的專(zhuān)業(yè)評(píng)價(jià)。從社會(huì)選擇的觀(guān)點(diǎn)看，概念框架的不同表現(xiàn)在，在競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境中，共同體對(duì)在知識(shí)和專(zhuān)業(yè)兩方面都熟練而又有競(jìng)爭(zhēng)力的潛在新成員吸引方式的差異。

這些關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)可以說(shuō)反映了庫(kù)恩劃時(shí)代思想的主要特征，尤其是反映了作為范式的數(shù)學(xué)形象(image)的意義。范式塑造我們的世界觀(guān)，并且通常在邏輯上是不可比較的，它對(duì)社會(huì)和歷史過(guò)程具有決定作用。然而，我除了在基本方面和庫(kù)恩一致外，在兩個(gè)密切相關(guān)的問(wèn)題方面存在明顯分歧。在我看來(lái)，心理學(xué)層次實(shí)際上應(yīng)該更少被考慮，重心應(yīng)該是在研究群體的“外部”社會(huì)關(guān)系上，而不是共同體的“內(nèi)部”社會(huì)過(guò)程。兩個(gè)不同方面似乎與被庫(kù)恩看成是格式塔轉(zhuǎn)換的范式轉(zhuǎn)換的理論密切相關(guān)，因?yàn)樗鼈冃枰睦矸治鋈フf(shuō)明因信念危機(jī)導(dǎo)致的向新世界觀(guān)轉(zhuǎn)變的科學(xué)革命。

庫(kù)恩認(rèn)為，常規(guī)科學(xué)研究為革命提供了條件和具體材料(內(nèi)部因素)，革命的產(chǎn)生是由心理上不能忍受的反常積累所導(dǎo)致，也就是在現(xiàn)有范式下盡管持續(xù)不斷地進(jìn)行最大的專(zhuān)業(yè)努力，疑難問(wèn)題仍舊不能解決。碰巧也會(huì)有這樣的情況發(fā)生，出現(xiàn)的危機(jī)并沒(méi)有解決，但難以對(duì)付的問(wèn)題卻被忽略或忘記。然而，危機(jī)也許是革命的序幕，革命中證據(jù)被重新看待，世界以一個(gè)新的方式呈現(xiàn)于我們面前，先前范式中的反常由于基礎(chǔ)理論的根本改變而解決，并且產(chǎn)生出一個(gè)全新的范式。

數(shù)學(xué)中沒(méi)有一種案例適合于我上文描述的“革命”，尤其值得注意的是，不可通約的革命完全不是由“庫(kù)恩危機(jī)”引起，而是由使認(rèn)識(shí)實(shí)踐符合急切的內(nèi)部和外部新要求所導(dǎo)致，這些新要求產(chǎn)生于認(rèn)識(shí)實(shí)踐與社會(huì)文化環(huán)境的相互作用。如同我們前面已提到的，新舊綱領(lǐng)的比較評(píng)價(jià)僅僅考慮內(nèi)部(方法論)邏輯是不夠的，外部關(guān)系和共同體的改變也對(duì)革命有重要影響，甚至起決定作用。由于觀(guān)念體系的封閉性，已確立的“范式”受到挑戰(zhàn)，甚至令人信服地被推翻，原因在于(a)與新范式(framework)密切相關(guān)的理論(intellectual)和技術(shù)的目標(biāo)是完全值得追求的，并且(b)這個(gè)新范式在實(shí)現(xiàn)新的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐的近期和遠(yuǎn)期目標(biāo)方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過(guò)已確立的教條。

庫(kù)恩現(xiàn)在應(yīng)該接受了數(shù)學(xué)中會(huì)發(fā)生“革命”并無(wú)需革命前存在“危機(jī)”的說(shuō)明。不過(guò)，他可能指出他的“危機(jī)模型”適用于科學(xué)而不是數(shù)學(xué)來(lái)為自己辯護(hù)。但是，我在以前的著作中關(guān)于“革命”的論述也已表明:“不可通約”的革命在早期生物學(xué)中同樣可以由無(wú)“危機(jī)”的模型來(lái)加以說(shuō)明。

我認(rèn)為危機(jī)的觀(guān)點(diǎn)在庫(kù)恩的思想中是必不可少的，因?yàn)樗芽茖W(xué)發(fā)展首先看成是競(jìng)爭(zhēng)的科學(xué)家共同體內(nèi)部的事情。據(jù)此確實(shí)很難想象科學(xué)家有什么理由去打破其傳統(tǒng)，除非未解決的疑難問(wèn)題與學(xué)科太相關(guān)并且太重要以至不能忽視。但是，一旦我們意識(shí)到科學(xué)也有社會(huì)功能，并依賴(lài)于公眾和納稅人的支持，我們就能發(fā)現(xiàn)一系列其他非常好的理由，它們與“人類(lèi)共同的觀(guān)念和思想方法就是有解決問(wèn)題的根本需求”有關(guān)。這樣，由信念危機(jī)而導(dǎo)致產(chǎn)生一個(gè)新的信念系統(tǒng)的觀(guān)點(diǎn)變得無(wú)意義了。

庫(kù)恩在對(duì)他的理論進(jìn)行辯護(hù)時(shí)，如果限制在只適用于自然科學(xué)，并把數(shù)學(xué)作為根本不同的知識(shí)形式而排除在外。我認(rèn)為一樣是無(wú)的放矢，也已被最近數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究發(fā)展所否棄，而且也部分減弱了他的理論的力量。庫(kù)恩之前的哲學(xué)家無(wú)一例外地把科學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)作為中心問(wèn)題，而不是科學(xué)發(fā)展的歷史和社會(huì)功用。這導(dǎo)源于他們關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的模型，并將這種模型推廣到所有知識(shí)，使他們的理論名副其實(shí)。現(xiàn)在該是強(qiáng)調(diào)恢復(fù)歐幾里得科學(xué)理想的時(shí)候了，也就是，方法論不僅適用于科學(xué)也適用于數(shù)學(xué)。

模型和數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)

如同我們所看到的，數(shù)學(xué)的變革是廣泛而深刻的，通過(guò)概念變革逐步深入到更加普遍、抽象的更深層次。這樣形成的數(shù)學(xué)的梯次概念結(jié)構(gòu)不是邏輯發(fā)展的必然結(jié)果，而是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史過(guò)程偶然產(chǎn)物。因而，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯重建要消除某些不連貫和不一致的地方，以便適用或覆蓋更大的范圍。但是，這卻無(wú)法說(shuō)明數(shù)學(xué)自身發(fā)展的結(jié)構(gòu)以及它的起源、性質(zhì)和理論基礎(chǔ)(rationale)。

“模型”(非形式的)這個(gè)概念曾經(jīng)表達(dá)了一系列不同層次的概念與相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)性間邏輯聯(lián)系的不完全性。比如“數(shù)”這個(gè)概念，盡管并非每個(gè)人都有不同的數(shù)的概念，但它的客觀(guān)性也不是超歷史、超文化而不變的，關(guān)于數(shù)的公理和邏輯證明甚至在今天也遠(yuǎn)未達(dá)成一致。把數(shù)學(xué)對(duì)象看作“數(shù)”或“模型”解釋了數(shù)學(xué)概念變化的某些事實(shí)，但它們不是“指稱(chēng)”而是“代表”了經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的特征，以一種“更簡(jiǎn)單但相似”的形式表達(dá)了經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的特征。

模型總是模仿別的東西，或者其他“事物”，或者其他模型(或者兩者)。從起源上講，一個(gè)“數(shù)”是“許多”(a number of)，并且早期的數(shù)學(xué)家，諸如畢達(dá)格拉斯主義者，通過(guò)把一些點(diǎn)(代表一個(gè)數(shù)可能有的任何東西)放在幾何圖形中來(lái)研究它們的性質(zhì)。他們研究了矩形的(可除盡的)、直線(xiàn)的(質(zhì)數(shù))、平方、立方和其他種類(lèi)的數(shù)。模型僅表達(dá)所代表事物的某些特征，也即與模型的“功用”有關(guān)的那些特征，如解決問(wèn)題、說(shuō)明和預(yù)測(cè)等功用。所有對(duì)問(wèn)題的解決、說(shuō)明和預(yù)測(cè)等都是暫時(shí)的，還會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題和挑戰(zhàn)，并需要對(duì)模型進(jìn)一步修改、調(diào)整和改進(jìn)。畢達(dá)格拉斯主義者用數(shù)的概念解釋全部宇宙的基本結(jié)構(gòu)，把事物間的所有關(guān)系解釋為數(shù)的比例(ratios)，并認(rèn)為是無(wú)處不在的宇宙和諧的表征。發(fā)現(xiàn)在一些嚴(yán)格定義的幾何量間不存在比例這種現(xiàn)象(如正方形的對(duì)角線(xiàn)和邊的比或者規(guī)則五邊形的對(duì)角線(xiàn)和邊的比)，以一種神秘但嚴(yán)肅的形式削弱了他們關(guān)于數(shù)的觀(guān)念。最終，面對(duì)“不可通約的困境”(在字面意義上)，為了重建關(guān)于數(shù)的模型，在古希臘出現(xiàn)了數(shù)與形的分離。歐幾里得的比率(proportion)理論恰好完全滿(mǎn)足這一需求。從這種新的觀(guān)點(diǎn)看，畢達(dá)格拉斯理論應(yīng)被重新解釋?zhuān)w入一個(gè)特例。但是，從“前瞻”的觀(guān)點(diǎn)看，這種改變簡(jiǎn)直可以說(shuō)預(yù)示著整個(gè)宇宙學(xué)的變革。從“天體和諧”的教條(解釋為自然界“數(shù)”的和諧)到世界是由安排好比率的幾何量構(gòu)成，可以看成是構(gòu)成“可見(jiàn)”的實(shí)在世界“元素”(elements)的根本變革。

模型必須通過(guò)某種媒介來(lái)表達(dá)，語(yǔ)言，即非形式概念或者嚴(yán)格的形式邏輯，是數(shù)學(xué)模型通常被鑄成的媒介。正如上例中所表明的，舊模型中被保留下來(lái)的語(yǔ)言和邏輯被重新構(gòu)造以適應(yīng)新的模型，因而新舊模型中會(huì)有同樣的符號(hào)或概念。事實(shí)上，盡管代表概念的名詞或術(shù)語(yǔ)是同樣的，但在新、舊模型中，有不同的功能和意義，因此邏輯聯(lián)系是不完全的且僅僅是部分傳遞(翻譯)，模型的變化因而從語(yǔ)言上講是不連續(xù)過(guò)程，包含了數(shù)學(xué)形象和性質(zhì)的非連續(xù)的、質(zhì)的變革。

甚至最抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在最終意義上講都是模型，也就是說(shuō)，有一個(gè)漸趨于具體經(jīng)驗(yàn)的模型鏈，在最低層次，圖像或數(shù)的模型挑選(“抽象”)事物的某個(gè)方面，以更加簡(jiǎn)單但相似的形式代表它們，即它比經(jīng)驗(yàn)原型能夠更容易處理和計(jì)算，而且保留了與要解決問(wèn)題相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)特征。這種“抽象”的過(guò)程不斷繼續(xù)、不斷深入，問(wèn)題和解決問(wèn)題的模型就會(huì)進(jìn)入到越來(lái)越抽象的層次。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)的概念等級(jí)是通過(guò)這個(gè)過(guò)程形成的，在其中，每一高層次的概念都是從其前面更低層次抽象出，之所以如此，是因?yàn)榈蛯哟胃拍罱Y(jié)構(gòu)的內(nèi)部壓力和數(shù)學(xué)實(shí)踐的外部要求產(chǎn)生了新的問(wèn)題，需要進(jìn)一步的“抽象”。

數(shù)學(xué)是“在實(shí)踐中”學(xué)習(xí)的社會(huì)認(rèn)識(shí)過(guò)程。從這個(gè)觀(guān)點(diǎn)看，即使最抽象的數(shù)學(xué)在人類(lèi)世界中具有奇跡般的效用也并非不合理的。構(gòu)建新模型的理由(reasons)非常不同于后來(lái)被重構(gòu)作為在“邏輯上”證明是正確的理由。因此，對(duì)數(shù)學(xué)合適的哲學(xué)理解要求我們追溯數(shù)學(xué)發(fā)展的一系列歷史變革，這些變革最終導(dǎo)致形成現(xiàn)在種種數(shù)學(xué)形象并使它們的理由(reasons)變得清晰。

(此文為荷蘭德?tīng)柛ヌ乩砉ご髮W(xué)(DelftUniversity of Technology)數(shù)學(xué)系教授格拉斯(Eduard G las)參加“1993年武漢科學(xué)哲學(xué)與邏輯國(guó)際會(huì)議”所提交的英文會(huì)議論文。當(dāng)時(shí)我作為碩士研究生，受命將該文譯為漢語(yǔ)，供參加會(huì)議的中國(guó)專(zhuān)家學(xué)者參考。此譯文在原來(lái)譯文的基礎(chǔ)上，對(duì)照英文原文進(jìn)行了認(rèn)真修改。)