試圖破譯宇宙演變奧秘的科學(xué)家通常會嘗試著同時從兩個方向入手來解決問題。有些人從最初的宇宙中最微小的宇宙結(jié)構(gòu)變化開始，有些研究當(dāng)下這個宇宙狀態(tài)的所有細節(jié)。前者在研究宇宙演變過程中使用大型計算機來模擬這一進程，而后者采用了一種偵探式的工作方式，力圖從現(xiàn)在宇宙狀態(tài)的大量事實中推演出宇宙的過去。概率論和統(tǒng)計學(xué)的關(guān)系與這種研究十分類似：在概率論中初始狀態(tài)和可變因素是已知的，其目標(biāo)是預(yù)測最可能出現(xiàn)的結(jié)果；而在統(tǒng)計學(xué)中，結(jié)果是已知的，但是原因都是不確定的。

讓我們分析一個簡單的例子來看看這兩門學(xué)科是如何互相補充、相輔相成的，也可以說是怎樣中途相遇的。我們已經(jīng)知道了，統(tǒng)計學(xué)研究表明，大量的物理定量測量，甚至是許多人類生理特征都是按正態(tài)頻率曲線的方式分布的。更準確地說，正態(tài)曲線并不只是一根曲線，它實際上是一簇曲線，所有這類曲線都可以用通用數(shù)學(xué)公式來描述，并且它們的外形特點僅僅通過兩個參量就能完全刻畫出來。第一個量是均值，也就是分布的平均值，以這個值為中心正態(tài)分布的曲線左右對稱。均值的實際大小，當(dāng)然還取決于所測量變量的種類（例如身高、體重、智商等）。甚至對同一變量而言，針對不同人群，均值也可能不同。舉個例子的話，瑞典男人的平均身高可能與秘魯男人的平均身高有差異。第二個定義了正態(tài)曲線的量為標(biāo)準方差。標(biāo)準方差描述了數(shù)據(jù)在平均值周圍的聚焦程度。在圖 5-6中，與其他兩條曲線相比，可以看出曲線 a的測量值是最分散的，也就意味著曲線 a的標(biāo)準方差最大。均值和標(biāo)準方差這兩個量引出了一個非常有趣的事實，那就是無論均值和標(biāo)準方差的具體數(shù)值是多少，68.2%的數(shù)據(jù)都落在了以平均值為中心，以標(biāo)準方差的數(shù)值為兩側(cè)邊界的區(qū)間內(nèi)。如果進行精確研究的話，若一個特定人群（人口數(shù)量足夠大）的智商均值為 100，標(biāo)準方差值為 15，那么 68.2%的人的智商將會在85和115之間。更進一步的研究表明，對于所有的正態(tài)分布曲線，95.4%的數(shù)據(jù)落在以均值為中心，以2倍標(biāo)準方差數(shù)值為邊界的區(qū)間內(nèi)，99.7%的數(shù)據(jù)落在以3倍標(biāo)準方差數(shù)值為邊界的區(qū)間內(nèi)。還是用我們剛才提過的那個案例來分析，95.4%的人的智商值在70和130之間，而99.7%的人的智商值在55和145之間。

圖5-6

假設(shè)我們想預(yù)測一個從人群中隨機挑選出的人的智商在85到100之間的概率有多大。圖5-7告訴我們概率為0.341（34.1%），因為從概率論的定律我們知道，概率不過是想要的結(jié)果除以所有可能結(jié)果數(shù)量的商。如果我們還對從人群中隨機挑選的一個人的智商高于 130的概率有多大感興趣，只看一眼圖5-7就能說出答案，這種情況的概率僅有0.022（2.22%）。與此非常相似，通過利用正態(tài)分布的屬性和積分這樣的工具（積分用來計算曲線的面積），我們能計算任何給定范圍的智商概率。也就是說，概率論和它的合作伙伴統(tǒng)計學(xué)，聯(lián)合起來為我們提供了答案。

圖5-7

我在前面已經(jīng)多次指出，概率論和統(tǒng)計學(xué)在處理大樣本事件時才會有意義，它們從來不是用來解決個體問題的。這一基本認識，也就是著名的大數(shù)定理，雅各布·伯努利在他所著的《推測的藝術(shù)》（The Art ofConjecturing）一書中進行了系統(tǒng)的闡述（圖5-8展示的是這本書在首版時的封面）^［168］。簡而言之，大數(shù)定理表明，如果某一事件發(fā)生的概率是P，那么對于所有試驗，P是事件發(fā)生最有可能的比例，而且如果試驗次數(shù)接近無窮的話，事件發(fā)生的比例成為P是確定無疑的。伯努利在他的《推測的藝術(shù)》一書中這樣介紹大數(shù)定理：“還需要進一步研究的是，增加觀察次數(shù)是否能讓有利事件與不利事件的比例更接近真實的比例。”伯努利隨后使用了一個特別的例子解釋了這一概念^［169］：

圖5-8

假設(shè)我們有一個罐子，里面有3000塊白色的鵝卵石和2000塊黑色的鵝卵石。假如我們事先并不知道這個罐子里究竟有多少塊鵝卵石是黑色的，有多少塊是白色的，而我們又想通過試驗來得出罐子里黑色與白色鵝卵石的比例，應(yīng)當(dāng)怎么做呢？我們可以從罐子里一個接一個地取鵝卵石，并把每次取出的石頭顏色記錄下來，最后看看到底有多少次取出了黑色的鵝卵石，有多少次取出了白色的鵝卵石（在這里我要提醒你的重要一點是，在取石頭的過程中，當(dāng)你取出一塊鵝卵石，記錄下顏色后就應(yīng)當(dāng)把它放回到罐子里，然后再繼續(xù)取，再放回去，這樣罐子中的鵝卵石數(shù)量就總是保持著一個常數(shù)）?，F(xiàn)在我們要問，如果允許你無限地取下去，例如試驗的次數(shù)為101 001 000次，同時試驗的時間也是無限的（并且最終達到“實際上的確定”），取出白色鵝卵石與取出黑色鵝卵石的比例數(shù)值是否與罐子中石頭實際的比例相同呢？或者是另外一個不同的數(shù)值？如果答案是不相同的話，那么我承認，要通過觀察來確定每種情況發(fā)生的次數(shù)，這可能是失敗的（例如罐子中黑色鵝卵石與白色鵝卵石的數(shù)量）。但是如果我們的確能用這種方法最終實現(xiàn)實際上的確定[17]……那么我們就能非常精確地斷定一種后驗情況發(fā)生的次數(shù)，就好像這是我們已知的一種先驗情況。

雅各布·伯努利花了20年的時間來完善這一理論，而它也的確成為了統(tǒng)計學(xué)的支柱理論之一。他認為甚至那些表面看起來只是碰運氣的事情，事實上也存在支配性的法則，并最終以這種信仰作為他著作的結(jié)束語：

如果我們持續(xù)不斷地觀察從現(xiàn)在直到永遠發(fā)生的所有事情（因此概率可能最終是確定的），我們可以發(fā)現(xiàn)世界上所有的事情都有其必然的原因，并且絕對遵循某些確定的法則。所以說我們是被強制地認為存在某種確定的自然規(guī)律，甚至是對那些看起來十分偶然的事件，也似乎是命中注定的。我知道這是柏拉圖在關(guān)于宇宙循環(huán)學(xué)說中曾經(jīng)提及過的，他認為在經(jīng)歷了無窮盡的時間之后，所有的事物都將會回到它們本源的狀態(tài)。

關(guān)于不確定性科學(xué)的故事結(jié)局十分簡單：數(shù)學(xué)在某些方面甚至可以應(yīng)用在那些我們生活中不太“科學(xué)”的領(lǐng)域中，包括那些表面看起來完全是由運氣支配的領(lǐng)域。因此，在試圖解釋數(shù)學(xué)“無理由的有效性”時，我們不能把我們注意力僅僅限制在物理學(xué)領(lǐng)域中，我們可能最終不得不以某種方式弄明白究竟是什么原因?qū)е聰?shù)學(xué)無處不在。

數(shù)學(xué)那令人難以置信的力量在著名的劇作家和散文作家喬治·蕭伯納（George Bernard Shaw）那里也沒有失去效力。蕭伯納絕對不是因為他的數(shù)學(xué)才能而聞名的，但是他曾經(jīng)寫過一篇關(guān)于統(tǒng)計學(xué)和概率論的文章，這篇觀點極為深刻的文章題目為《賭博的邪惡和保險的美德》（The Vice of Gambling and the Virtue of Insurance）^［170］。在這篇文章里，蕭伯納承認對他來說保險是“建立在那些無法解釋的事實，以及只有專業(yè)的數(shù)學(xué)家才能計算的冒險基礎(chǔ)之上的”。然而緊接著，他又寫下了下面這段含義十分豐富的文字：

試想有一場商業(yè)談判，一方是一位希望做國際貿(mào)易的商人，但他極度恐懼會遭遇海難事故或被野蠻人給吃了；另一方是一位船長，他希望有大量的貨物和乘客。船長回答商人，他的貨物會十分安全，并且如果他隨船出海的話，他本人也同樣安全。但是這位商人滿腦子都是約拿[18]、圣保羅·奧德休斯和羅賓遜·克魯索，不敢去冒險。他們之間的交流將可能會是下面這樣。

船長：放心！我保證如果你乘坐我的船出海，明年的今天你還會好好地坐在這里。我可以和你打賭，賭注多少都行。

商人：但是如果我和你打賭，我賭我在這一年里會死。

船長：你肯定會輸?shù)?，你為什么不賭你會活下來？

商人：但是如果我被淹死了，同時你也被淹死了，那我們的賭注是什么？

船長：這樣的話，我會為你找一個沒有出海的人，他將會和你的妻子及家人打賭。

商人：當(dāng)然這改變了游戲規(guī)則，但是我的貨物會怎么樣？

船長：呸！這個賭也可以包括貨物?；蛘呶覀兇騼蓚€賭：一個是賭你的生命，另一個是賭你的貨物。我向你保證，這兩樣都會很安全，什么意外都不會發(fā)生，并且你會看到海外所有的瑰麗風(fēng)光和奇觀異景。

商人：但是如果我和我的貨物全部都安全的話，我還得額外再為我的生命和貨物安全付給你一大筆錢。如果我沒有被淹死，我也會破產(chǎn)的。

船長：這的確是事實。對我來說這筆錢并不像你想象的那么重要。如果你被淹死了，我可能是第一個被淹死的人，因為如果船沉了，我肯定是最后一個離開船而獲救的人。然而，我還是勸你去冒這個險。這樣吧，我和你賭10倍的賭注，這能讓你動心嗎？

商人：嗯，這樣的話……

這位船長已經(jīng)認識到了保險的概念，正如金匠發(fā)現(xiàn)了銀行一樣，對某些人來講，諸如蕭伯納，他們抱怨在他們所接受的整個教育中，“從來沒有一個人就數(shù)學(xué)的意義或效用對我們提過哪怕一個字”，這段幽默的文字生動地描述了關(guān)于保險的數(shù)學(xué)“歷史”值得關(guān)注，它很能說明問題。

除了蕭伯納的文章外，到目前為止，我們已經(jīng)或多或少地透過數(shù)學(xué)家的眼睛，看到了數(shù)學(xué)的某些分支的發(fā)展。對于我們每個人，以及許多理性主義的哲學(xué)家，例如斯賓諾莎和柏拉圖主義者們，這是很淺顯的事實。毫無疑問，數(shù)學(xué)真理存在于它們自己的世界，并且人類思維僅僅通過推理的力量就能接近這些真理而不用觀察任何現(xiàn)象。愛爾蘭哲學(xué)家、克羅因（Cloyne）的主教喬治·貝克萊爾（Geroge Berkeley，1685—1753），第一個揭示了人類把歐幾里得幾何學(xué)作為普遍存在真理集合的這種觀點，與數(shù)學(xué)的其他分支之間存在著某種潛在的差距。在他的《分析者》（又名《寫給一位異教徒數(shù)學(xué)家的論文》）（The Analyst；Or a Discourse Addressed to An Infidel Mathematician）著作中（這里所說的異教徒一般被認為是愛德蒙德·哈雷）^［171］，貝克萊爾從根本上批評了牛頓（在《原理》中）和萊布尼茨引入的微積分和解析法。貝克萊爾還證明了牛頓關(guān)于“流數(shù)”的概念（變化的瞬時速度）沒有經(jīng)過嚴格的定義，在貝克萊爾的眼中這足以讓人們對其整個學(xué)科產(chǎn)生懷疑。

流數(shù)方法是一把通用的鑰匙，它幫助現(xiàn)代數(shù)學(xué)家解開幾何的奧秘，進而解開自然界的奧秘……但是這一方法是清晰的還是晦澀的，是始終如一的還是前后矛盾的，是結(jié)論性的或是證據(jù)不足的，如果說我的態(tài)度還不夠公允的話，那么我把我的疑問交給最公正的讀者們來判斷。

貝克萊爾的確認識到了這個問題，事實上關(guān)于解析的一致性理論直到20世紀60年代才真正形成。但是數(shù)學(xué)家在19世紀卻經(jīng)歷了一場非常具有戲劇性的大轉(zhuǎn)折。