第十一章　脈沖噪聲環(huán)境中基于FLOWVD和FrDT?CWT的設(shè)備故障時(shí)頻監(jiān)測(cè)與分析

第一節(jié)　基于FLOWVD的故障時(shí)頻監(jiān)測(cè)

Wigner-Ville分布（WVD）在時(shí)頻分析領(lǐng)域占有很重要的地位，不僅因?yàn)樗亲钤鐔?wèn)世的二次時(shí)頻分布，還因?yàn)槠渌卸螘r(shí)頻分布都可以看作是它的加窗形式［88］。與其他的時(shí)頻表示如短時(shí)Fourier變換譜、小波變換中的時(shí)間尺度譜相比，它能更好地描述信號(hào)的時(shí)變特征［200］。Qingfeng Meng等［201］應(yīng)用Wigner 分布方法來(lái)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷；石林鎖等［202］研究了基于WVD的譜峭度法在軸承故障診斷中的應(yīng)用；劉立州等［203］將Wigner分布與分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FrFT）相結(jié)合，提出了一種基于FrFT的Wigner分布（分?jǐn)?shù)階Wigner分布）的機(jī)械故障診斷方法。

在傳統(tǒng)的信號(hào)處理中，高斯信號(hào)模型占據(jù)主導(dǎo)地位，這種信號(hào)和噪聲的高斯分布的假定在許多情況下是合理的。但是在實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)，在諸如地震勘探、水聲信號(hào)處理、生物醫(yī)學(xué)工程等許多領(lǐng)域所遇到的信號(hào)和噪聲往往是非高斯分布的。后來(lái)出現(xiàn)了關(guān)于高階譜和高階累積量研究的熱潮，如：李志農(nóng)等［204］研究了基于Wigner高階譜的機(jī)械故障診斷方法；左長(zhǎng)青等［205］研究了矢Wigner高階譜在齒輪故障診斷中的應(yīng)用；劉衛(wèi)兵等［206］研究了基于局域均值分解和Wigner高階矩譜的機(jī)械故障診斷方法。緊接著又發(fā)展了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理理論和方法，如：龍俊波等［207］研究了基于穩(wěn)定分布噪聲的分?jǐn)?shù)低階自適應(yīng)時(shí)頻分布；邊勇等［208］研究了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)模型的自適應(yīng)濾波器組譜估計(jì)方法；Yang Liu等［209］討論了循環(huán)穩(wěn)定信號(hào)在α 穩(wěn)定分布的脈沖噪聲環(huán)境下的濾波問(wèn)題。α 穩(wěn)定分布就是包括高斯分布在內(nèi)的適用范圍很廣的一種分布，其特征指數(shù)α∈(0,2]，當(dāng)α ＝2并且另外一個(gè)參數(shù)β ＝0時(shí)，它就是高斯分布，除此之外就是基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的非高斯分布。本文通過(guò)對(duì)某現(xiàn)場(chǎng)機(jī)械設(shè)備運(yùn)行的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分布特性分析，指出這種機(jī)械設(shè)備振動(dòng)信號(hào)的分布符合基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的非高斯分布——分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布。

在無(wú)噪聲或高斯噪聲條件下，WVD具有很好的特性，然而在很多實(shí)際情況下，噪聲并不是高斯分布的，而往往服從分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布。因此，研究在分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布下的WVD具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布（Fractional Lower Order Wigner-Ville Distribution，F(xiàn)LOWVD）實(shí)際上是一種抗噪能力更強(qiáng)的WVD。S. Chandra Sekhar等［210］用偽Wigner分布來(lái)計(jì)算信號(hào)的瞬時(shí)頻率，本章將研究基于FLOWVD的機(jī)械設(shè)備故障時(shí)頻監(jiān)測(cè)方法。

一、分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布及其算法

1. 分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布定義［211、212、213］

α 穩(wěn)定分布比高斯分布具有更普遍的意義，能夠描述更加廣泛的數(shù)據(jù)。其特征函數(shù)表示如下：

式中，

參數(shù)α∈(0,2]為特征指數(shù)，參數(shù)β∈(?1,1)為對(duì)稱度參數(shù)，參數(shù)γ≥0為分散度參數(shù)，參數(shù)δ 為均值的位置參數(shù)。α 用來(lái)度量分布函數(shù)拖尾的厚度，其值越小，拖尾越厚，信號(hào)的脈沖特性越顯著。α =2時(shí)與高斯分布一致。

由以上參數(shù)α 的取值范圍可知，在二階和高階統(tǒng)計(jì)量之外，還存在低于二階的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量，因此，基于α 穩(wěn)定分布的WVD就稱為分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布（FLOWVD）。

常規(guī)WVD是一種得到廣泛重視和應(yīng)用的時(shí)頻分析方法，其連續(xù)和離散的定義式如下：

設(shè)x(t)為一連續(xù)時(shí)間信號(hào)，則：

離散形式為：

式中，x*(t)是x(t)的復(fù)共軛。

FLOWVD是在常規(guī)WVD的基礎(chǔ)上，根據(jù)分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布的相關(guān)理論，把上式中x(t)換成相應(yīng)的分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布下的表達(dá)式x<b>(t)，x*(t)換成相應(yīng)的x?<b>(t)，所以FLOWVD的連續(xù)和離散的定義式如下：

連續(xù)形式：

離散形式：

式中，。

2. 分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布算法

WVD是信號(hào)x(t)的瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)x(t+τ/2)x*(t?τ/2)關(guān)于滯后τ的Fourier變換，若信號(hào)x(t)以服從分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布的形式x<b>(t)表示，則FLOWVD就是信號(hào)x<b>(t)的瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)x<b>(t+τ/2)x?<b>(t?τ/2)關(guān)于滯后τ的Fourier變換。因此，仿照偽WVD（Pseudo-WVD）的算法，F(xiàn)LOWVD算法設(shè)計(jì)如下：

（1） 確定信號(hào)x(t)在α 穩(wěn)定分布下的特征指數(shù)α 值，按0<b<α/2取定b值；

（2） 將實(shí)信號(hào)x(t)經(jīng)Hilbert變換轉(zhuǎn)換成解析信號(hào)y(t)；

（3） 設(shè)w(k)是中心在n處的時(shí)間窗函數(shù)，且具有長(zhǎng)度M=2L?1，則離散FLOWVD表達(dá)式如下：

式中，p(k)=w(k)w*(k)，mπ/M是圓頻率。對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻n計(jì)算上式即得到FLOWVD。

二、機(jī)械設(shè)備故障時(shí)頻監(jiān)測(cè)方法

在機(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)中對(duì)時(shí)頻的監(jiān)測(cè)是一個(gè)重要的考查內(nèi)容［201］，因?yàn)闀r(shí)頻監(jiān)測(cè)能同時(shí)考慮時(shí)域和頻域信息，能盡可能完善地反映設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)。本節(jié)提出基于FLOWVD的機(jī)械設(shè)備故障時(shí)頻監(jiān)測(cè)方法，該方法通過(guò)監(jiān)測(cè)設(shè)備的頻率的時(shí)變信息來(lái)判斷設(shè)備狀態(tài)。

1. 仿真信號(hào)

（1）無(wú)噪聲情況下的調(diào)頻信號(hào)

取調(diào)頻信號(hào)x=cos(400πt+10cos(20πt))，采樣頻率為2 000Hz，采樣點(diǎn)數(shù)512點(diǎn)。其WVD和FLOWVD（取參數(shù)b=0.1）如圖11.1所示?？梢姡涸跓o(wú)噪聲情況下FLOWVD的時(shí)頻表現(xiàn)效果絲毫不比WVD差。

圖11.1　無(wú)噪聲情況下的調(diào)頻信號(hào)的WVD和FLOWVD

（2）加上非高斯噪聲情況下的調(diào)頻信號(hào)

現(xiàn)加上人為噪聲，該噪聲在分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布下的參數(shù)取值為：α =1.5，β =0，γ =0.3，δ =0，在高斯分布下參數(shù)取值為：α =2，β =0，γ =0.3，δ =0。調(diào)頻信號(hào)和采樣頻率同圖11.1，采樣點(diǎn)數(shù)取512點(diǎn)。

各信號(hào)的時(shí)域圖如圖11.2所示，混合信號(hào)的WVD和FLOWVD如圖11.3所示。對(duì)比圖11.3（c）和圖11.3（d）可見：在加上高斯噪聲情況下FLOWVD 比WVD沒(méi)有明顯的優(yōu)勢(shì)，但在表達(dá)時(shí)頻特征上絲毫不遜色。而對(duì)比圖11.3 （a）和圖11.3（b）可見：在加上非高斯噪聲情況下FLOWVD仍能很好地表現(xiàn)出混合信號(hào)的時(shí)頻特性，而此時(shí)WVD卻表達(dá)不清?？傊梢哉f(shuō)FLOWVD明顯比WVD有更好的抗噪能力。

圖11.2　時(shí)域信號(hào)（一）

圖11.2　時(shí)域信號(hào)（二）

圖11.3　加上高斯噪聲和非高斯噪聲情況下的調(diào)頻信號(hào)的WVD和FLOWVD

2. 實(shí)際信號(hào)

以下是鞍鋼某軋機(jī)950軸承座上測(cè)得的實(shí)際信號(hào)，故障情況下采集512點(diǎn)，采樣頻率2 400Hz，采集的是豎直方向上的振動(dòng)信號(hào)。電機(jī)轉(zhuǎn)速：80轉(zhuǎn)/分，功率：4 760W，這是典型的低速重載工況。該實(shí)際信號(hào)的原始和濾波后的時(shí)域及頻譜圖如圖11.4所示。

圖11.4　實(shí)際信號(hào)的原始和濾波后的時(shí)域及頻譜圖

故障情況下該振動(dòng)信號(hào)在分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布下的參數(shù)取值為：α =1.26，β=0.21，γ =0.92，δ=?0.13。其P?P概率圖（Probability-Probability plot）如圖11.5所示。P?P圖以樣本的累計(jì)概率為橫軸，以指定理論分布的累計(jì)概率為縱軸繪制散點(diǎn)圖，主要用于驗(yàn)證樣本數(shù)據(jù)是否服從某個(gè)指定的分布，當(dāng)數(shù)據(jù)符合指定分布時(shí)，P?P圖中各點(diǎn)近似呈一條直線［214］。圖11.5上圖是用α 穩(wěn)定分布擬合時(shí)的P?P圖，圖11.5下圖是假設(shè)數(shù)據(jù)為高斯分布時(shí)的P?P圖。從圖11.5可以看出：該設(shè)備在故障情況下的振動(dòng)信號(hào)的分布服從分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布，而對(duì)高斯分布誤差相對(duì)較大。

圖11.5　分布擬合數(shù)據(jù)時(shí)的P?P圖

FLOWVD中取b=0.2。該實(shí)際信號(hào)經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVD如圖11.6所示。又測(cè)得該設(shè)備在正常工況下的實(shí)際信號(hào)經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVD如圖11.7所示。

圖11.6　實(shí)際故障信號(hào)經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVD

從圖11.4、圖11.6、圖11.7中可以看出，軋機(jī)在故障情況下受到了很大的周期性的外力的作用，從圖11.6中的WVD和FLOWVD都可以看出這個(gè)外力產(chǎn)生的頻率約為3.5/512*2 400=16.4Hz，正常工況下的約50Hz的頻率受到該16.4Hz的調(diào)制，但是該圖中FLOWVD比WVD能更清晰地表現(xiàn)這種時(shí)變特征。圖11.7中也是FLOWVD比WVD能更清晰地表現(xiàn)頻率的時(shí)變特征。

圖11.7　實(shí)際正常信號(hào)經(jīng)濾波后的WVD和FLOWVD

三、小結(jié)

（1） 在機(jī)械設(shè)備故障診斷領(lǐng)域引入了一種比常規(guī)Wigner-Ville分布（WVD）抗噪能力更強(qiáng)的分?jǐn)?shù)低階Wigner-Ville分布（FLOWVD），仿真信號(hào)和實(shí)際信號(hào)的驗(yàn)證表明，F(xiàn)LOWVD是一種比WVD更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值、應(yīng)用更加廣泛的新的時(shí)頻分析工具。

（2） 機(jī)械設(shè)備運(yùn)行現(xiàn)場(chǎng)的振動(dòng)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布特性有些服從分?jǐn)?shù)低階α 穩(wěn)定分布，因此在作機(jī)械設(shè)備的故障診斷時(shí)要考慮噪聲的非高斯分布特性。

第二節(jié)　基于FrDT?CWT的故障時(shí)頻分析

故障診斷技術(shù)給工業(yè)自動(dòng)化等各行業(yè)的發(fā)展帶來(lái)了巨大的經(jīng)濟(jì)效益，成為各國(guó)研究的熱點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)機(jī)械是工業(yè)部門應(yīng)用最廣泛的一類機(jī)械設(shè)備，例如軋機(jī)、機(jī)床、風(fēng)機(jī)、汽輪機(jī)、壓縮機(jī)等，在冶金、電力、資源、交通、石油化工以及國(guó)防等各行各業(yè)中都發(fā)揮著不可替代的作用。對(duì)這些關(guān)鍵設(shè)備進(jìn)行實(shí)時(shí)狀態(tài)監(jiān)測(cè)及故障診斷可提高設(shè)備的可靠性，避免重大事故的發(fā)生［215］。軸承、齒輪和轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要組成部分，也是非常容易且經(jīng)常發(fā)生故障的部件。在需要系統(tǒng)地進(jìn)行狀態(tài)檢測(cè)的地方，大部分測(cè)量都是針對(duì)這些旋轉(zhuǎn)部件展開的，通過(guò)分析這些部件的特征頻率等信息來(lái)判斷是否有故障及故障類型。由于受傳感器測(cè)點(diǎn)安裝位置的限制、現(xiàn)場(chǎng)工作環(huán)境的惡劣程度等各種因素的影響，這些部件發(fā)生的故障信息有時(shí)幾乎完全淹沒(méi)在強(qiáng)背景噪聲中，尤其是眾人很關(guān)注的早期故障信息更是令人難以判斷。開展對(duì)旋轉(zhuǎn)部件的故障診斷研究尤其是弱故障和早期故障分析是現(xiàn)實(shí)的緊迫需求，弱故障信息提取一直是故障診斷領(lǐng)域研究的難點(diǎn)。以旋轉(zhuǎn)部件為研究對(duì)象，將分?jǐn)?shù)階對(duì)偶樹復(fù)小波變換（Fractional Dual-tree Complex Wavelet Transform，F(xiàn)rDT?CWT）在故障診斷領(lǐng)域尤其是弱故障和早期故障信息提取的應(yīng)用進(jìn)行研究，利用其多分辨率、平移不變、時(shí)頻旋轉(zhuǎn)以及精確重構(gòu)等對(duì)提取弱信息至關(guān)重要的特性，明顯增強(qiáng)在分析旋轉(zhuǎn)部件出現(xiàn)故障時(shí)的降噪和特征提取的效果，進(jìn)一步提高故障診斷確診率。

FrDT?CWT是Gaurav Bhatnagar等［216］在最近才提出來(lái)的一種新的信號(hào)處理工具，它融合了對(duì)偶樹復(fù)小波變換（Dual-Tree Complex Wavelet Transform，DT?CWT）和分?jǐn)?shù)階Fourier變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)rFT）的優(yōu)點(diǎn)。DT?CWT在常規(guī)的離散正交小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT）和復(fù)小波變換的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，是一種比DWT等其他小波方法有更多優(yōu)良特性的小波變換形式。FrFT是傳統(tǒng)Fourier變換（Fourier Transform，F(xiàn)T）的廣義化，它在保留了FT的性質(zhì)和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上又添加了其特有的新優(yōu)勢(shì)。DWT和FT及其相關(guān)技術(shù)在目前應(yīng)用非常廣泛，那么FrDT?CWT及其相關(guān)技術(shù)也應(yīng)具有良好的應(yīng)用前景，本節(jié)提出的基于FrDT?CWT的一些方法除了能提取旋轉(zhuǎn)部件的弱故障信息外，還能應(yīng)用于其他一維信號(hào)的分析，甚至是二維圖像和三維視頻的處理。本節(jié)所述方法的應(yīng)用可盡量避免災(zāi)難事故的發(fā)生，保障現(xiàn)場(chǎng)工作人員的人身安全，同時(shí)也為企業(yè)節(jié)省大量開支。

一、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及發(fā)展動(dòng)態(tài)分析

軸承、齒輪和轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的重要且故障發(fā)生頻率很高的工作部件，狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷實(shí)踐經(jīng)常是通過(guò)監(jiān)測(cè)它們的特征頻率來(lái)判斷機(jī)器是否運(yùn)轉(zhuǎn)正常或何種故障。但由于種種原因，這些部件所產(chǎn)生的故障信息往往非常微弱，且信噪耦合情況也異常復(fù)雜。因此實(shí)際測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)用于分析故障時(shí)有必要先進(jìn)行一定的降噪處理，然后再進(jìn)行頻譜分析以及其他方法的故障分析。

1. 分?jǐn)?shù)階Fourier變換的提出及其局限性

傳統(tǒng)的FT是分析和處理平穩(wěn)信號(hào)的一種標(biāo)準(zhǔn)且有力的工具，在故障診斷實(shí)踐中占有極其重要的地位。它將信號(hào)在整體上分解為具有不同頻率的正弦分量，得到的是信號(hào)的整體頻譜，不能獲得信號(hào)的局部特性。FrFT是FT的一種廣義形式［217，218］，可解釋為信號(hào)在時(shí)頻平面內(nèi)繞坐標(biāo)軸原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度后構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階Fourier域上的表示方法，當(dāng)這個(gè)角度為π/2時(shí)即旋轉(zhuǎn)到了頻率域上，此時(shí)即為傳統(tǒng)FT。FrFT隨著變換階數(shù)連續(xù)增長(zhǎng)而展示出信號(hào)從時(shí)域逐步變化到頻域的所有特征。FrFT近年受到很多研究人員的重視，因?yàn)樗哂泻芏郌T所不具備的性質(zhì)，其中跟本項(xiàng)目相關(guān)的最重要特性就是它的時(shí)頻旋轉(zhuǎn)特性及信號(hào)重構(gòu)功能，它可以濾除用常規(guī)方法所無(wú)法濾除的復(fù)雜背景噪聲。陶然等［218］指出對(duì)于一般信號(hào)，如果信號(hào)和噪聲在時(shí)域沒(méi)有耦合，可以在時(shí)域通過(guò)合適的濾波器濾掉噪聲（見圖11.8（a））；如果信號(hào)和噪聲在頻域沒(méi)有耦合，那么可以在頻域通過(guò)合適的濾波器濾掉噪聲（見圖11.8（b））；如果信號(hào)和噪聲在時(shí)域、頻域都存在耦合（見圖11.8（c）），則不可能僅僅通過(guò)時(shí)域或頻域?yàn)V波來(lái)完全濾除掉噪聲，但從其時(shí)頻分布可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)到某一角度來(lái)解除耦合，在該旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下能夠?yàn)V除掉噪聲，即在某個(gè)角度的分?jǐn)?shù)階Fourier 域?yàn)V波能夠得到更好的效果。通常信號(hào)與噪聲變換到某階分?jǐn)?shù)階Fourier 域后能夠完全或大部分分離開，如果一次變換不能達(dá)到目的，那么可以考慮級(jí)聯(lián)多次不同階數(shù)分?jǐn)?shù)階Fourier 域?yàn)V波來(lái)實(shí)現(xiàn)。

圖11.8　信號(hào)和噪聲的時(shí)頻聯(lián)合分布

FrFT擴(kuò)展了FT的應(yīng)用［219］，但它本質(zhì)上只是FT的廣義化，仍不能在時(shí)頻圖上明確表征信號(hào)的時(shí)頻局部特征。

2. 分?jǐn)?shù)階小波變換的提出及其局限性

窗口Fourier變換引入了時(shí)頻局部化思想，但它的窗口大小是固定不變的，不能敏感地反映信號(hào)的突變［220］。小波變換（Wavelet Transform，WT）作為處理時(shí)變信號(hào)的有力工具而發(fā)展起來(lái)。在WT中，可以根據(jù)不同的需要構(gòu)造不同的小波函數(shù)，正是有不同的小波基可以選擇，使得WT在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中有很強(qiáng)的適應(yīng)性［221］，在一定程度上能夠滿足不同的需要。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)WT及其相關(guān)技術(shù)在故障診斷領(lǐng)域中的應(yīng)用狀況進(jìn)行了詳細(xì)的研究，如：徐增丙等［222］提出了一種基于小波灰度矩向量與連續(xù)隱馬爾可夫模型的滾動(dòng)軸承故障診斷方法；張邦基等［223］結(jié)合小波和粗糙集理論的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種基于小波變換和粗集理論的故障診斷規(guī)則獲取方法并成功應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷；張進(jìn)等［224］提出一種時(shí)間——小波能量譜信號(hào)處理方法以提取出振動(dòng)信號(hào)中沖擊成分的時(shí)域和頻域特征。但WT有些不足［104］，WT的具體實(shí)現(xiàn)形式有多種，其中離散正交小波變換由于缺乏平移不變性等缺陷而阻礙著它的進(jìn)一步應(yīng)用；采用多孔算法進(jìn)行非下采樣的小波變換（如平穩(wěn)小波變換）可以解決不具有平移不變性的缺點(diǎn)，然而這樣做會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的急劇增加，且使得輸出信息存在很大的冗余，給后續(xù)處理帶來(lái)冗余計(jì)算；常規(guī)復(fù)小波在給變換帶來(lái)一定的冗余的同時(shí)可以克服這個(gè)問(wèn)題，但是超過(guò)一層分解的復(fù)小波變換的輸入是復(fù)數(shù)形式，要構(gòu)造它的完全重構(gòu)的逆濾波器非常困難；連續(xù)小波變換計(jì)算量大，且實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常只在某段尺度上進(jìn)行計(jì)算和分析。

在FrFT和WT的基礎(chǔ)上，有學(xué)者提出了分?jǐn)?shù)階小波變換（Fractional Wavelet Transform，F(xiàn)rWT）［225，226］。FrWT融合了FrFT和WT的優(yōu)點(diǎn)，在信號(hào)和圖像處理領(lǐng)域成為一個(gè)有力的分析工具。這種小波變換多了一個(gè)可選因子即變換階次，且這個(gè)階次可以是分?jǐn)?shù)。在此基礎(chǔ)上，有學(xué)者提出了新的信號(hào)降噪方法，如：申永軍等［227］利用不同信號(hào)在分?jǐn)?shù)小波域具有不同的相關(guān)性的特點(diǎn)、黃雨青等［228］利用輸出信號(hào)信噪比作為判據(jù)并采用遺傳算法尋找分?jǐn)?shù)階小波變換的最優(yōu)分?jǐn)?shù)階值，分別通過(guò)FrWT處理，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階小波域內(nèi)的信號(hào)去噪。

但FrWT仍然存在WT的局限。

3. FrDT?CWT的提出及其優(yōu)勢(shì)

為了解決WT存在的問(wèn)題，Kingsbury和Selesnick等［229］提出并詳細(xì)論述了DT?CWT的實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用優(yōu)勢(shì)。這種DT?CWT既滿足完全重構(gòu)條件，又保留了復(fù)小波的一些優(yōu)點(diǎn)。DT?CWT相當(dāng)于用兩個(gè)實(shí)的DWT通過(guò)在分解的每一層都使采樣率加倍，從而獲得近似平移不變性，它能顯著改善DWT等普通小波的某些缺陷，例如：具有優(yōu)良的平移不變性、良好的方向選擇性、完全重構(gòu)特性、有限的冗余度、計(jì)算量小和計(jì)算效率高等。

在2012年，Gaurav Bhatnagar等［216］針對(duì)FrFT和DT?CWT各自的優(yōu)點(diǎn)以及WT和FrWT的不足，首次提出了FrDT?CWT。其執(zhí)行過(guò)程是：對(duì)輸入的時(shí)域信號(hào)先進(jìn)行FrFT再進(jìn)行DT?CWT，由此得到Fourier-complex wavelet域（傅里葉——復(fù)小波域，即：分?jǐn)?shù)階對(duì)偶樹復(fù)小波時(shí)頻域）的輸出信號(hào)。當(dāng)分?jǐn)?shù)階參數(shù)α=0時(shí)，F(xiàn)rDT?CWT就是DT?CWT；當(dāng)α=π/2時(shí)，經(jīng)過(guò)FrDT?CWT后就得到對(duì)偶頻率變換信號(hào)，不同的α 就得到不同的輸出信號(hào)。對(duì)信號(hào)在分?jǐn)?shù)階Fourier域和在Fourier?Complex Wavelet域分別進(jìn)行一定處理，就可進(jìn)行特征提?。换蛘咛幚碇罄镁_重構(gòu)特性進(jìn)行逆變換，就得到降噪后的信號(hào)。

可見，F(xiàn)rDT?CWT兼具FrFT和DT?CWT的優(yōu)良特性，即時(shí)頻旋轉(zhuǎn)、多分辨率、平移不變、精確重構(gòu)和較小計(jì)算量等對(duì)快速提取弱故障信息有很大影響的性質(zhì)。由于FrFT可連續(xù)展示信號(hào)從時(shí)域逐步變化到頻域的所有特征，原始振動(dòng)信號(hào)經(jīng)FrDT?CWT處理可被映射到連續(xù)變化的全新的時(shí)頻域空間，此變化空間包含了極為豐富的各種狀態(tài)特征信息。

二、基于FrDT?CWT的故障時(shí)頻分析

傳統(tǒng)的Fourier變換可有效地分析平穩(wěn)信號(hào)，而且很多方法如包絡(luò)分析、雙譜分析等都需要用到Fourier變換。但對(duì)于眾多的非平穩(wěn)信號(hào)采用小波變換能起到好的分析效果。一般的小波分析方法往往是采用給定的小波參數(shù)，把信號(hào)分解到各個(gè)頻帶，然后對(duì)信號(hào)做進(jìn)一步的分析，比如現(xiàn)有的大致可分為3類的小波濾波方法：小波域相關(guān)濾波、基于奇異性檢測(cè)的濾波和小波域閾值濾波。這些方法在實(shí)際應(yīng)用中均取得很好的效果，但在有些地方不盡如人意。匹配追蹤方法是Mallat等人在1993年提出的一種自適應(yīng)的信號(hào)分解算法，目前已在信號(hào)處理中得到了大量應(yīng)用，用來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的雷達(dá)輻射源識(shí)別、特征提取和故障診斷等。其思想是把信號(hào)在一個(gè)冗余的原子庫(kù)上展開，選擇和信號(hào)匹配的原子來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的自適應(yīng)表示。如果原子與信號(hào)成分相似，則能有效提取出信號(hào)中的特征，對(duì)于待處理信號(hào)，選擇合適的原子非常重要。因?yàn)樗梢跃_重構(gòu)，所以如果在重構(gòu)過(guò)程中進(jìn)行處理，可以達(dá)到提取信號(hào)的目的，也即相當(dāng)于降噪。對(duì)偶樹復(fù)小波變換（Dual Tree Complex Wavelet Transform，DT?CWT）同時(shí)采用兩個(gè)互為Hilbert變換的小波對(duì)處理信號(hào)，通過(guò)兩個(gè)不同系統(tǒng)的綜合信息來(lái)更有效地表示信號(hào)中各向異性的奇異性。

由此提出一種基于FrDT?CWT的匹配追蹤特征信號(hào)提取方法，用互為Hilbert變換對(duì)的小波作為待用原子庫(kù)。對(duì)仿真信號(hào)和試驗(yàn)得到的信號(hào)分別用匹配追蹤方法進(jìn)行了處理，并和基于DWT的匹配追蹤方法結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明基于FrDT?CWT的匹配追蹤方法能更有效提取狀態(tài)信號(hào)中的特征，在低信噪比時(shí)能獲得比其他小波方法更多的特征信息。

匹配追蹤信號(hào)提取過(guò)程示意圖如圖11.9所示，基于FrDT?CWT的匹配追蹤信號(hào)提取方法流程圖如圖11.10所示。仿真的沖擊信號(hào)及其疊加高斯白噪聲的信噪比約為?7.5dB左右的染噪信號(hào)、用基于DWT的匹配追蹤方法提取的信號(hào)以及用基于FrDT?CWT的匹配追蹤方法提取的信號(hào)分別如圖11.11和圖11.12所示。從圖11.11和圖11.12中可看出基于FrDT?CWT的故障時(shí)頻分析效果是很好的。

圖11.9　匹配追蹤信號(hào)提取過(guò)程示意圖

圖11.10　基于FrDT?CWT的匹配追蹤信號(hào)提取方法流程圖

圖11.11　仿真的沖擊信號(hào)及其疊加高斯白噪聲的信噪比約為?7.5dB左右的染噪信號(hào)、用基于DWT的匹配追蹤方法提取的信號(hào)以及用基于FrDT?CWT的匹配追蹤方法提取的信號(hào)

圖11.12　仿真的沖擊信號(hào)及其疊加高斯白噪聲的信噪比約為?7.5dB左右的染噪信號(hào)、用基于DWT的匹配追蹤方法提取的信號(hào)以及用基于FrDT?CWT的匹配追蹤方法提取的信號(hào)